1、吉林省长春市第二十九中学2020届高三数学上学期期末考试试题 理（含解析）答题时间：120分钟 满分：150分一、选择题（每小题5分，共60分）1.若集合，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据交集的概念，直接计算，即可得出结果.【详解】因为集合，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查交集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.2.已知为虚数单位，复数满足，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】在等式两边同时除以，可求出复数.【详解】，故选B.【点睛】本题考查复数的除法，考查计算能力，属于基础题.3.设xR，则“|x|3”是“2x8”的（ ）.A.
2、 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别解出不等式，利用充要条件的判定方法即可得出详解】由，则或，所以或，故充分性不成立；若，则，所以，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B【点睛】本题考查了不等式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4.已知函数则的值为（ ）A. B. 2C. D. 9【答案】D【解析】【分析】根据分段函数的解析式，先求出的值，从而可得的值.【详解】因为，所以，所以，故选D.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问
3、题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰. 当出现的形式时，应从内到外依次求值5.已知，则的大小关系为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用利用等中间值区分各个数值的大小【详解】；故故选A【点睛】利用指数函数、对数函数单调性时要根据底数与的大小区别对待6.点是角终边上一点，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用三角函数的定义求出的值，然后利用诱导公式可求出的值.【详解】由三角函数的定义可得，由诱导公式可得.故选A.【点睛】本题考查三角函数的定义，同时也考查了利用诱导公式求值，在利用诱导公式求值时，充分理解“奇
4、变偶不变，符号看象限”这个规律，考查计算能力，属于基础题.7.设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】A中，也可能相交；B中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C中，也可能相交；D中，也可能在平面内.【考点定位】点线面的位置关系8.函数yln|x|1的图象大致为 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】当时，yln|x|1的图象由向上平移一个单位，故选A9.已知正数、满足，则最小值为（ ）A. 8B. 12C. 10D. 9【答案】D【解析】【分析】根据不等式性质的到【详解】正数、满足，根据不等
5、式性质得到：等号成立的条件为 故答案为D.【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10.若向量，满足|= ，=（2，1），=5，则与的夹角为（）A. 90B. 60C. 45D. 30【答案】C【解析】【详解】由题意可得,所以,又因为,所以,选C.11.为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）A. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移个单
6、位B. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移个单位C. 横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位D. 横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位【答案】A【解析】【分析】由条件利用 的图像变换规律，得到结论【详解】把函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变得到函数，再将函数的图像上所有点向右平移个单位得到函数故选A【点睛】解决本题的关键在于 的图像变换规律的掌握，要灵活运用，一般分为两种：（1）先相位变换再周期变换；（2）先周期变换再相位变换12.已知函数的定义域为，对任意实数恒成立，若真，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】
7、【分析】由真得出两个命题均为真命题，求出、均为真命题时对应的参数的取值范围，取交集即可得出实数的取值范围.【详解】由于命题为真命题，则命题、均为真命题.若命题为真命题，则，解得.若命题为真命题，构造函数，则，且.（1）当时，对任意的恒成立，此时，函数单调递增，且当时，不合乎题意；（2）当时，恒成立；（3）当时，令，得.当时，当时，.，即，解得.所以，当命题为真命题时，.因此，实数的取值范围是.故选A.【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数的取值范围，同时也考查了对数型函数的定义域与不等式恒成立问题，解题时要根据复合命题的真假判断出简单命题的真假，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题（每小
8、题5分，共20分）13.函数的最小正周期为_.【答案】【解析】函数的周期故答案为14.若满足约束条件，则目标函数的最小值为_【答案】1【解析】【分析】根据约束条件，画出可行域，化目标函数为，则表示直线在轴截距的倍，结合图象，即可求出结果.【详解】根据约束条件画出可行域如下：因为目标函数可化为，则表示直线在轴截距的倍，由图象可得，当直线过点时，截距最小，即最小；由得，即；因此，.故答案为：.【点睛】本题主要考查线性规划的问题，根据数形结合的方法，即可求解，属于常考题型.15.已知函数_.【答案】1【解析】【分析】求导得，令，则，求出可得函数及导函数的解析式，将代入可得答案【详解】函数，令，则，解
9、得，即， ，故答案为.【点睛】本题考查的知识点是导数计算，以及方程思想，难度中档16.已知三棱锥，底面正三角形的边长为，平面，三棱锥外接球的表面积为_【答案】8【解析】【分析】先由题意，得到三棱锥的外接球，即为以为底面，以为高的三棱柱的外接球，根据题中数据，先求出底面外接圆半径，进而可求出外接球的半径，即可求出结果.【详解】因为平面，底面是边长为的正三角形，所以，三棱锥的外接球，即为以为底面，以为高的三棱柱的外接球，因为是边长为的正三角形，所以的外接圆半径为，球心到的外接圆圆心的距离为，因此，球的半径为，所以，三棱锥外接球的表面积为.故答案为：.【点睛】本题主要考查求三棱锥的外接球问题，熟记棱
10、锥的几何特征，以及球的表面积公式即可，属于常考题型.三、解答题1（1721题每题13分，22题5分，共70分）17.在中，角，的对边分别为，已知，（1）求；（2）求的值【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】分析：（1）在中，由余弦定理可得（2）由得根据正弦定理得，从而，故得【详解】（1）在中，由余弦定理得，（2）在中，由得，在中，由正弦定理得，即，又，故，【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利
11、用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.18.已知是等差数列，是等比数列，且，. （1）求的通项公式；（2）设求数列的前项和.【答案】（1）=，=3n-2； （2）=（3n-5)+5【解析】【分析】（1）先设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题中条件，求出公比与公差，即可得出通项公式；（2）根据错位相减法，即可求出结果.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，所以，因此，因此，所以；因此；（2）由（1）得，所以，所以得，所以.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式，以及错位相减法求数列的和，属于
12、常考题型.19.已知函数=的部分图象如图所示(1)求的值;(2)求的单调增区间;(3)求在区间上的最大值和最小值【答案】(1);（2）单调递增区间为(3)时,取得最大值1;时,f(x)取得最小值【解析】试题分析：(1)利用图象的最高点和最低点的纵坐标确定振幅,由相邻对称轴间的距离确定函数的周期和值;(2)利用正弦函数的单调性和整体思想进行求解;(3)利用三角函数的单调性和最值进行求解试题解析：(1)由图象知由图象得函数最小正周期为=,则由=得(2)令.所以f(x)的单调递增区间为（3）.当即时,取得最大值1;当即时,f(x)取得最小值20.如图所示，在三棱锥中，平面，分别为线段上的点，且（I）
13、证明：平面；（II）求二面角的余弦值【答案】（I）证明见解析；（II）【解析】【分析】（I）根据平面并结合的形状，利用线面垂直的判定定理进行证明；（II）建立空间直角坐标系，求解出平面的一个法向量，写出平面的一个法向量，计算出法向量夹角的余弦并结合图形判断二面角是钝角还是锐角，从而计算出二面角的余弦值.详解】（I）证明：因为平面，平面，所以由得为等腰直角三角形，故，又，且面，面，故平面（II）如图，以点为原点，分别以的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立直角坐标系，设平面的法向量为，则，即，令，则，故可取由（I）可知平面，故平面的法向量可取为，即，则，又二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为【点
14、睛】本题考查线面垂直的证明以及利用空间向量求解二面角的余弦值，难度一般.利用空间向量求解二面角的余弦值时，可通过平面法向量夹角的余弦值结合图形中二面角的实际情况完成求解.21.已知函数，.（1）如=2，求函数的递增区间；（2）若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）递增区间为；（2）【解析】【分析】（1）先由得，对函数求导，由，即可求出单调增区间；（2）先由题意，将“恒成立”化为恒成立，令，对其求导，研究其单调性，求出最大值，即可得出结果.【详解】（1）因为，所以，所以，由得，所以，函数的递增区间为；（2）若恒成立，则恒成立，即恒成立，令，则，令，则显然在上恒成立，所以在上单调递减，又，所以当时，即；当时，即；所以，函数在上单调递增，在上单调递减，因此，又恒成立，所以，只需.【点睛】本题主要考查求函数的单调区间，以及由导数的方法研究不等式恒成立的问题，属于常考题型.22.已知函数f(x)，若函数g(x)f(x)k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是_【答案】【解析】画出函数f(x)图象如图要使函数g(x)f(x)k有两个不同零点，只需yf(x)与yk的图象有两个不同交点，由图易知k.