1、山东省青岛市第二中学2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题1.下列命题正确的是A. 若 ab,则a2b2B. 若ab，则 acbcC. 若ab，则a3b3D. 若ab，则 【答案】C【解析】对于，若，则不成立；对于，若，则不成立；对于，若，则，则正确；对于，则不成立.故选C2.设直线是空间中两条不同的直线，平面是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】利用空间直线和平面的位置关系对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A. 若，则与平行或异面或相交，所以该选项不正确；B. 若，则或，所以该选
2、项不正确；C. 若，则或，所以该选项不正确；D. 若，则，所以该选项正确.故选：D【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.等腰直角三角形，直角边长为.以斜边所在直线为旋转迪，将该直角三角形旋转一周所得几何的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可【详解】如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体由题得等腰直角三角形的斜边上的高为1.所以故选：【点睛】本题主要考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平4.的三个内角的对边分别是.已知，则（ ）A.
3、B. C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】先利用正弦定理求出角C,再求角A得解.【详解】由正弦定理得因为cb,所以或.所以或.故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.5.一个等差数列共有项，奇数项之和为，则这个数列的中间项为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设数列为，由题得即得解.【详解】设数列为，由题得，所以.所以这个数列的中间项为13.故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.在中，角所对的边分别为.若，则的形状可能是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 钝角或锐角三角形
4、D. 锐角、钝角或直角三角形【答案】C【解析】【分析】由正弦定理得, 求出角B的范围，再求出角C的范围得解.【详解】由正弦定理得,因为，所以,且,所以.所以三角形是锐角三角形或钝角三角形.故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.等差数列，的前项和分别为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用即可得解.【详解】由题得.故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.设，若是与的等比中项，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题得，再利用基本
5、不等式求最值得解.【详解】因为是与的等比中项，所以.所以当且仅当时取等故选：A【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，考查等比中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.已知函数，若对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题得 对任意实数恒成立，再利用基本不等式求解即可.【详解】由题得已知函数对任意实数恒成立，所以 对任意实数恒成立，因为（当且仅当x=2时取等）所以.故选：B【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.若等差数列单调递减，为函数两个零点，则数列的前项和取得
6、最大值时，正整数的值为（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】先求出，再得到，即得解.【详解】因为等差数列单调递减，为函数的两个零点，所以.令.所以，所以数列前4项或前5项的和最大.故选：C【点睛】本题主要考查等差数列的前n项和的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.在九章算术中，底面是直角三角形的直棱柱成为“堑堵”.某个“堑堵”的高为，且该“堑堵”的外接球表面积为，则该“堑堵”的表面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设底面直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,求出，再利用基本不等式求出a+b的范围，利用二次函数的图象得
7、解.【详解】设底面直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,由题得.由题得该“堑堵”的表面积为.因为.所以令，所以当t=4时，S最大为.故选：B【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题和基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.已知数列的前项和，数列满足，是数列的前项和，若，则与的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出，再利用数学归纳法证明即得解.【详解】因为，所以适合n=1,所以.所以，所以，下面利用数学归纳法证明不等式（1）当时，左边，右边，左边右边，不等式成立，（2），即即，假设当时，原式成立，即，那么当时，即，即时结论成立根据（
8、1）和（2）可知不等式对任意正整数都成立所以，因为0a1，所以，所以.故选：C【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，考查数学归纳法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题13.已知等比数列的前项和，则_.【答案】2【解析】【分析】求出，解方程即得解.【详解】当n=1时，当n2时，适合n=1.所以.故答案为：2【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.已知函数，若实数，则的最小值为_.【答案】4【解析】【分析】求出，再利用基本不等式求解.【详解】由题得，所以.当且仅当时取等.故答案为：4【点睛】本题主要考查基本不等
9、式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.在中，的角平分线交于点，若，则_.【答案】【解析】【分析】先利用余弦定理求出，得到，再利用正弦定理得解【详解】在ABC中，由余弦定理得.所以.所以.在ABD中，由正弦定理得.故答案为：.【点睛】本题主要考查正弦余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16.如图所示，在正方体中，点是棱的中点，动点在体对角线上（点与点，不重合），则平面可能经过该正方体的顶点是_.（写出满足条件的所有顶点）【答案】【解析】【分析】取中点E，取中点F, 在平面两侧，在平面两侧，分析即得解.【详解】见上面左图，取中点E，因为ME,所以A,M,E,四点
10、共面，在平面两侧，所以和平面交于点N,此时平面AMN过点A, ;见上面右图，取中点F,因为,所以四点共面，在平面两侧，所以和平面交于点N,此时平面AMN过点A, ;综上，平面可能经过该正方体的顶点是.故答案为：【点睛】本题主要考查棱柱的几何特征和共面定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题17.证明：对任意实数，不等式恒成立.【答案】证明见解析【解析】【分析】利用分析法证明即可.【详解】要证明对任意实数，不等式恒成立，只需证明，只需证明，只需证明，只需证明，只需证明，而显然成立，所以对任意实数，不等式恒成立.所以原题得证.【点睛】本题主要考查分析法证明不等式，意在考查学生对该知识
11、的理解掌握水平.18.在中，角所对的边分别是，且.（）求角；（）若，的面积为，求.【答案】（）（）8.【解析】【分析】（）利用正弦定理化简即得角B的大小；（）先求出ac=15,再利用余弦定理求出a+c的大小即得解.【详解】（）由题得,因为,所以.（）由题得.由，所以.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.已知数列的前项和满足，且.求数列的前项和.【答案】数列的前项和【解析】【分析】先通过已知求出，再分类讨论求出数列的前项和.【详解】由题得，所以 ，所以.当n2时，当n=1时，.所以数列是一个以10为首项，以-2为公差的等差数列，所以.所以n6
12、时，n6时，.设数列的前项和为,当n6时，；当n6时，.所以数列的前项和.【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查等差数列的前n项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.20.在正方体中，点为棱的中点.问：在棱上是否存在点，使得面？若存在，请说明点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】在棱上存在点，使得面，就是的中点.【解析】【分析】如图，取的中点N,的中点E,连接DE,.证明平面平面即得解.【详解】如图，取的中点N,的中点E,连接DE,.由题得,因为平面，平面，所以NE平面.由题得平面,平面,所以平面.因为平面,所以平面平面，因为平面,所以平面.所以在棱上存在点，使得面，就
13、是的中点.【点睛】本题主要考查直线平面位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21.已知是数列的前项和，当时，且，.（）求数列的通项公式；（）等比数列满足，求数列的前项和.【答案】（）;（）.【解析】【分析】（）根据得到数列是一个以0为首项，以4为公差的等差数列，即得数列的通项公式；（）利用错位相减求数列的前项和.【详解】（）由题得时，因为，.所以数列是一个以0为首项，以4为公差的等差数列.所以.（）因为，所以.所以.所以，两式相减得，所以，所以.【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.22.已知数列的前项和满足，且
14、.（）求数列的通项公式；（）设，且数列的前项和满足对任意正整数恒成立，求实数的取值范围；（）设，问：是否存在正整数，使得对一切正整数恒成立？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由.【答案】（）；（）或；（）m=3时，使得对一切正整数恒成立.【解析】【详解】（）由题得，所以数列是一个以1为首项，以1为公差的等差数列，所以.当n2时，适合n=1.所以.（），所以，所以或.（）,所以.所以n2时，.n2时，所以m=3时，使得对一切正整数恒成立【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查裂项相消法求和，考查数列的单调性和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23.在数列中，.当时，.若表示不超过的最大整数，求的值.【答案】2018【解析】【分析】构造，推出数列是4为首项2为公差的等差数列，求出，利用累加法求解数列的通项公式化简数列的通项公式利用裂项消项法求解数列的和，然后求解即可【详解】构造，则，由题意可得，(n2).故数列是以4为首项2为公差的等差数列，故，故，以上个式子相加可得，所以，则【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.