1、【母题来源】2014北京卷理18【母题原题】已知函数（1）求证：；（2）若对恒成立，求的最大值与的最小值【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性、含参数的不等式恒成立问题等基础知识，意在考查学生运用转化与划归思想，分析问题解决问题的能力，运算求解能力【方法技巧】函数在区间上单调递增等价于在区间上恒成立；函数在区间上单调递减等价于在区间上恒成立但要注意取等号时，是否为常函数利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题比如要证明对任意都有，可设只要利用导数说明在上的最小值为0即可解题技巧总结如下：（1）树立服务意识：所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性
2、质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式；（2）强化变形技巧：所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明例如采用两边取对数（指数），移项通分等等要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式；（3）巧妙构造函数：所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征，构造函数，利用函数的最值进行解决在构造函数的时候灵活多样，注意积累经验，体现一个“巧妙”解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：函数性质法；主参换位法；分离参数法；数形结合法；消元转化法从集合观点看，含参不
3、等式在区间上恒成立，而含参不等式在区间上能成立至少存在一个实数使不等式成立1【2014辽宁高考理第11题】当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A B C D2【2014全国1高考理第11题】已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ）A B C D3【2014全国2高考理第12题】设函数若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ）A B C D3，而已知，所以3，故，解得或，故选C4【2014高考大纲理第22题】函数（I）讨论的单调性；（II）设，证明：5【2014高考福建理第20题】已知函数（为常数）的图象与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为-1（I）求的值及函数的极值；（II
4、）证明：当时，；（III）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有6【2014高考湖南理第22题】已知常数,函数(1)讨论在区间上的单调性;(2)若存在两个极值点,且,求的取值范围7【2014高考全国1第21题】设函数，曲线在点处的切线方程为（I）求（II）证明：8【2014高考全国2第21题】已知函数=（）讨论的单调性；（）设，当时，,求的最大值；（）已知，估计ln2的近似值（精确到0001）9【2014高考山东卷第20题】设函数（为常数，是自然对数的底数）（）当时，求函数的单调区间；（）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围10【2014高考陕西第21题】设函数，其中是的导函数（1） ，求的表达式；（2） 若恒成立，求实数的取值范围；（3）设，比较与的大小，并加以证明【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析11【2014高考四川第21题】已知函数，其中，为自然对数的底数（）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；（）若，函数在区间内有零点，求的取值范围12【2014高考天津第20题】已知函数，已知函数有两个零点，且（）求的取值范围；（）证明随着的减小而增大；（）证明随着的减小而增大13【2014高考浙江理第22题】已知函数（1） 若在上的最大值和最小值分别记为，求；（2） 设若对恒成立，求的取值范围
