1、第5讲 函数的单调性与最值 课标要求考情风向标1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质函数的单调性、奇偶性常与函数的其他性质，如与周期性、对称性相结合求函数值或参数的取值范围，是高考的热点及重点.常与函数的图象及其他性质交汇命题.题型多以选择题、填空题形式出现，若与导数交汇，则多为解答题1.函数的单调性函数定义等价形式导数单调增函数设函数 yf(x)的定义域为 A，区间 IA，如果对于区间 I 内的任意两个值 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)0，那么 f(x)为区间 I 上的增函数(续表)函数定义等价形
2、式导数单调减函数如果对于区间 I 内的任意两个值 x1，x2，当 x1f(x2)，那么就说 yf(x)在区间 I 上是单调减函数，I 称为yf(x)的单调减区间fx1fx2x1x20；(x1x2)f(x1)f(x2)0如果在某区间I 上 f(x)f(0)对任意的 x(0,2都成立，则 f(x)在0,2上是增函数”为假命题的一个函数是_.ysin x0,4)23.函数 y 164x的值域是_.解析：4x0，0164x0，x4，f(x)ln(x22x8)的定义域为(，2)(4，).又 yx22x8(x1)29，当 x1 时单调递增，函数 f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是(4，).故选 D
3、.答案：D(2)(2019 年江苏无锡模拟)函数 f(x)|x2|x 的单调递减区间是()A.1,2C.0,2B.1,0D.2，)解析：由于 f(x)|x2|xx22x，x2，x22x，x0得x22x3(x3)(x1)0，即3x0 恒成立，则下列不等式成立的是()A.f(3)f(4)f(5)B.f(4)f(5)C.f(5)f(3)f(4)D.f(4)f(5)0，即 f(x)0，f(x)在(，0)上单调递减，又 f(x)为偶函数，f(x)在(0，)上单调递增.f(3)f(4)f(5)，f(3)f(4)f(232)f(223)B.flog314 f(223)f(232)C.f(232)f(223)
4、flog314D.f(223)f(232)flog314答案：C解析：f(x)是定义域为 R 的偶函数，flog314 f(log34).log34log331,120223232，log34223232，又 f(x)在(0，)单调递减，f(log34)f(223)f(223)flog314，故选 C.考向 2 解不等式例 4：(1)(2017 年新课标)函数 f(x)在(，)上单调递减，且为奇函数.若 f(1)1，则满足1f(x2)1 的 x的取值范围是()A.2,2B.1,1C.0,4D.1,3解析：函数 f(x)为奇函数，f(1)1，f(1)1，1 f(x2)1f(1)f(x2)f(1)
5、，函数 f(x)在(，)单调递减，有1x21，解得 1x3.故选 D.答案：D(2)函数 yf(x)是 R 上的增函数，且 yf(x)的图象经过点A(2，3)和 B(1,3)，则不等式|f(2x1)|3 的解集为_.解析：yf(x)的图象经过点 A(2，3)和 B(1,3)，f(2)3，f(1)3.又|f(2x1)|3，3f(2x1)3，即 f(2)f(2x1)f(1).函数 yf(x)是 R 上的增函数，22x12，2x112，x1，12x1.答案：12，1考向 3 求参数的取值范围例 5：(1)(2019 年北京)设函数f(x)exaex(a为常数).若f(x)为奇函数，则 a_；若 f(
6、x)是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是_.解析：若函数f(x)exaex为奇函数，则f(x)f(x)，exaex(exaex)，(a1)(exex)0对任意的x恒成立，a10，a1.答案：1(，0若函数f(x)exaex是R上的增函数，则f(x)exaex0恒成立，ae2x，a0.即实数a的取值范围是(，0.(2)(2017 年浙江)已知 aR，函数 f(x)x4xa a 在区间1,4上的最大值是 5，则 a 的取值范围是_.解析：x1,4，x4x4,5，分类讨论：当 a5 时，f(x)x4xa aax4xa2ax4x，函数的最大值 2a45，a92(舍)；当 a4 时，f(x)x4xa
7、 ax4xaax4x5，命题成立；当 4a5 时，f(x)maxmax|4a|a，|5a|a，则|4a|a|5a|a，|4a|a5或|4a|a|5a|a，|5a|a5.解得 a92，或 a1)；(4)y|x1|x2|.解：(1)方法一，y3x2x2 3x68x23 8x2，8x20，y3.函数 y3x2x2 的值域是y|yR，且 y3.方法二，由 y3x2x2，得 x2y1y3.y3.(2)方法一，y x2xx2x111x2x1.x2x1x1223434，1311x2x11，即13y0).ytt12t3tt23t41t4t3.t4t4(t2 时取等号)，t4t37.01)的值域为0，17.(4
8、)方法一(绝对值不等式法)，由于|x1|x2|(x1)(x2)|3，函数值域为3，).画出此分段函数的图象如图 2-5-1，可知值域为3，).图 2-5-1方法二(数形结合法)，y2x1x2.【规律方法】常用的求值域的方法有：代入法：适用于定义域为有限集的函数；分离系数法：若函数 yf(x)的解析式中含有|x|，x2，sin x，cos x 等元素，又能用 y 表示出来，则利用这些元素的有 界性解出 y 的范围；配方法：适用于二次函数类的函数；反函数法：适用于形如 y类的函数；xaxbcxd判别式法：适用于形如y类的函数；换元法：主要处理一些根式类的函数；不等式法：借助于不等式的性质和均值不等
9、式等工具求 最值；最值法：通过求导数进而求出最值；求三角函数的值域主要有三条途径：将sin x 或cos x 用 所求变量y 来表示，如sin xf(y)，再由|sin x|1 得到一个关于y 的不等式|f(y)|1，从而求得 y 的取值范围.ax2bxcmx2nxp【跟踪训练】求下列函数的值域：(1)y142 2xx；(2)y 2x2x3；(3)yx2x1x；(4)yx 12x.解：(1)令 x22xt，x22x(x1)211，t1，又 y14t 在1，)上单调递减，0y1414，0y4.函数 f(x)142 2xx的值域为(0,4.(2)(配方法)y2x142258，0y5 24，值域为0
10、，5 24.(3)yx2x1xx1x1.方法一(基本不等式法)，由 yx1x1(x0)，得 y1x1x.x1x|x|1x 2|x|1x 2，|y1|2，即 y1 或 y3.即函数值域为(，13，)方法二(判别式法)，由 yx2x1x，得 x2(1y)x10.方程有实根，(1y)240.即(y1)24，y12 或 y12.得 y1 或 y3.即函数的值域为(，13，).方法三(导数法单调性)，令 y11x2x1x1x20，得1x0 或 0 x1.函数在(0,1)上递减，在(1，)上递增，此时 y3；函数在(1,0)上递减，在(，1)上递增，此时 y 1.y1 或 y3.即函数值域为(，13，).
11、(4)方法一(换元法)，设 12xt(t0)，得 x1t22，y1t22 t12(t1)2112(t0)，y，12.即函数的值域为，12.方法二(单调性法)，12x0，x12，定义域为，12.又函数 yx，y 12x在，12 上均单调递增，y12121212，y，12.1.求函数的单调性或单调区间的方法.(1)利用已知函数的单调性.(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.(3)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间.(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间.(5)复合函数 yfg(x)根据“同增异减”判断.2.利用定
12、义判断或证明函数的单调性.函数的单调性是通过任意两点的变化趋势来刻画整体的变化趋势，“任意”两个字是必不可少的.如果只用其中两点的函数值(比如说端点值)进行大小比较是不能确定函数的单调性的.注意定义的如下两种等价形式：设任意 x1，x2a，b，那么：(1)fx1fx2x1x20f(x)在a，b上是增函数；fx1fx2x1x20f(x)在a，b上是减函数.(2)(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是减函数.3.求函数的单调区间.讨论函数单调性必须在其定义域内进行，函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性时
13、，应先确定函数的定义域，其次对单调区间的表述要准确.如函数 f(x)1x的单调减区间为(，0)和(0，)，而不能表述为(，0)(0，).4.复合函数的单调性.对于复合函数 yfg(x)，若 tg(x)在区间(a，b)上是单调函数，且 yf(t)在区间(g(a)，g(b)或者(g(b)，g(a)上是单调函数，若 tg(x)与 yf(t)的单调性相同(同时为增或减)，则 yfg(x)为增函数；若 tg(x)与 yf(t)的单调性相反，则 yfg(x)为减函数.简称：同增异减.5.最值问题.并不是所有的函数都有最值，有的函数只有最大值而无最小值，如yx2；有的函数只有最小值而无最大值，如yx2；有的函数既无最大值也无最小值，如 y1x.