1、2024年5月30日星期四新疆王新敞特级教师源头学子 小屋http:/w ww.xj xc/w w http:/w ww.xj xc/源头学子 小屋特级教师王新敞新疆1.如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，090,BADFABBC12 AD，BE12 AF.求证：C,D,F,B四点共面.ABCDEF证明：延长 DC 交 AB 的延长线于点G，G由 BC12 AD 得12GBGCBCGAGDAD延长 FE 交 AB 的延长线于G同理可得12G EG BBEG FG AAF故G BGBG AGA，即G 与G 重合.因此直线CD,EF相交于点G，即C,D,E,F四点
2、共面.G1.如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，090,BADFABBC12 AD，BE12 AF.求证：C,D,F,B四点共面.ABCDEF另法：x C,D,E,F四点共面.yz由平面ABEF平面ABCD，AFAB，得AF平面ABCD，以A为坐标原点，射线AB为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系A-xyz,设,ABa BCb BEc,0,0,0,0,0,2,0,0,0,2B aC a bE acDbFc则,0,0,2,2ECbcFDbc12ECFD从而由点 EFD，得/ECFD.2.如图，正四棱柱1111ABCDABC D中，124AAAB，点 E 在1C
3、C 上且ECEC31 求证：1AC 平面 BED.ABCDA1B1C1D1E证明：依题设知AB=2，CE=1连结AC，则BDAC由三垂线定理知，1BDAC连结1BC，由于12BBBCBCCE，1RtRtB BCBCE1BBCCBE 1BB C与1EBB互余于是1BCBE，由三垂线定理知，1BEAC1AC 与平面 BED 内两条相交直线 BDE，B都垂直，所以1AC 平面 BED 2.如图，正四棱柱1111ABCDABC D中，124AAAB，点 E 在1CC 上且ECEC31 求证：1AC 平面 BED.ABCDA1B1C1D1E另法：依题设知AB=2，CE=11AC 与平面 BED 内两条相
4、交直线 BDE，B都垂直，所以1AC 平面 BED 以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D-xyzxyz1(2 2 0)(0 2 0)(0 21)(2 0 4)BCEA则，(0 21)(2 2 0)DEDB，1(2 24)AC ，110,0AC DEAC DB11,ACBD ACDE3如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=PC=2，90,.ACBAPBPAB PCAC（）求证：PCAB；（）求点C到平面APB的距离ABCP()证明：,ACBC APBP PCPCAPCBPC90ACBPCAC，,PCBCACBCCPC平面ABCABABC 平面PCAB另法：D取AB中
5、点D，连结PD,CD,APBPPDAB,ACBCCDABPDCDDAB平面PCD PCPCD 平面PCAB3如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=PC=2，90,.ACBAPBPAB PCAC（）求点C到平面APB的距离ABCP()解：D由（）知 AB 平面 PCD，平面 APB 平面 PCD 过C 作CHPD，垂足为H H平面 APB平面 PCDPD，CH 平面 APB CH的长即为点C到平面APB的距离由()及条件:AC=BC=PC=2，ACBC，PC平面ABC122CDAB22,6PDPCCD2 33PCCDCHPD点C到平面APB的距离为 2 333如图，在三棱锥P-ABC中，AC=
6、BC=PC=2，90,.ACBAPBPAB PCAC（）求点C到平面APB的距离ABCP()另法：由()及条件:ACBC，PC平面ABC.点C到平面APB的距离为|22 3|33CA nn如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyzxyz(0 0 0)(2 0 0)(0 2 0)(0 0 2)CABP，(2,02),(0,2,2)PAPB可得x=y=z=1,设平面APB的一个法向量为(,)nx y z220,220PA nxzPB nyz(1,1,1)n 3如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=PC=2，90,.ACBAPBPAB PCAC（）求点C到平面APB的距离ABCP()另法：由()
7、及条件:ACBC，PC平面ABC.点C到平面APB的距离为222|0002|22 333111如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyzxyz(0 0 0)(2 0 0)(0 2 0)(0 0 2)CABP，,可得A=B=C=1,D=-2设平面APB的方程为：(1,1,1)n 则2A+D=0，2B+D=0，2C+D=0Ax+By+Cz+D=0平面APB的方程为：x+y+z-2=0ABCPQ4 如图，已知直二面角-PQ-,APQ,B,C，CA=CB,BAP=45,直线 CA 和平面 所成的角为 30（I）证明：（I）求证 BCPQ；（II）求二面角 BACP的大小在平面内过点C作COPQ于点O
8、，连结OBO,PQ CO又因为CA=CB，所以OA=OB45BAO45ABO90AOBBOPQCOPQPQOBC平面BCOBC 平面PQBCABCPQ4 如图，已知直二面角-PQ-,APQ,B,C，CA=CB,BAP=45,直线 CA 和平面 所成的角为 30（）解：（I）求证 BCPQ；（II）求二面角 BACP的大小在平面内过点O作OHAC于点H，连结HBO由（I）知，BOPQ，,PQBO，BOH由三垂线定理知，BHAC故BHO是二面角 BACP的平面角由（I）知CO，所以CAO是CA 和平面 所成的角，113022CAOOHOAOB，tan2BOBHOOH故二面角B-AC-P的大小为ar
9、ctan2.则 O(0,0,0),A(0,3,0),B(3,0,0),C(0,0,)ABCPQ4 如图，已知直二面角-PQ-,APQ,B,C，CA=CB,BAP=45,直线 CA 和平面 所成的角为 30（）另法：（I）求证 BCPQ；（II）求二面角 BACP的大小O由（I）知，OBOA,OA OC，OBOC故可以O为原点，分别以直线OB,OA,OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz xyz不妨设OA=OB=3,则OC=33设平面 ABC 的一个法向量为(,)mx y z(3 3 0),(033)ABAC，ABCPQ4 如图，已知直二面角-PQ-,APQ,B,C，CA=CB,BA
10、P=45,直线 CA 和平面 所成的角为 30（）另法：（I）求证 BCPQ；（II）求二面角 BACP的大小Oxyz3平面的一个法向量为(1,0,0)n 设平面 ABC 的一个法向量为(,)mx y z(3 3 0),(033)ABAC，330330m ABxym ACyz，可得x=y=1,z=(1,1,3)m设二面角B-AC-P的平面角为，15cos5|5 1n mnm 故二面角 B-AC-P 的大小为5arccos55 四棱锥SABCD中，底面 ABCD 为平行四边形，侧面SBC 底面 ABCD，已知45ABC，2AB ，2 2BC，3SASB，求直线SD与平面SBC所成角的大小ABCD
11、S解：连结AC，则222(2 2)2 2 2 2 cos2ACABC AC=AB,ACAB O取BC的中点O,连AO面SBCAO=OB=OC=,2连SO=1,由SA=,3由AOBC得SAAD 2211SDADSAH作DHBC于H则DH=AO=2连SH,则DSH就是直线SD与平面SBC所成的角.222sin1111DHAODSHSDSD所以，直线SD与平面SBC所成的角为22arcsin 115 四棱锥SABCD中，底面 ABCD 为平行四边形，侧面SBC 底面 ABCD，已知45ABC，2AB ，2 2BC，3SASB，求直线SD与平面SBC所成角的大小ABCDS另解：连结AC，则222(2
12、2)2 2 2 2 cos2ACABC AC=AB,ACAB O取BC的中点O,连AO面SBCAO=OB=OC=,2 连SO=1,如图建立直角坐标系O-xyz 则S(0,0,1),D(,0)22 2xyz(22 21)SD，平面SBC的一个法向量为(1,0,0)n 设直线SD与平面SBC所成的角为.22sin11n SDn SD 所以，直线SD与平面SBC所成的角为22arcsin 11以上通过例题的形式，介绍了证明、求角及距离问题的分析和处理方法.仅仅是起到一个抛砖引玉的作用.希望能使所有听课同学的思维得到升华.再见！奎屯王新敞新疆2007新疆奎屯特级教师http:/王新敞源头学子小屋新疆王新敞特级教师源头学子 小屋http:/w ww.xj xc/w w http:/w ww.xj xc/源头学子 小屋特级教师王新敞新疆本讲到此结束，请同学们再关注下一讲.谢谢！