1、第8讲 解三角形应用举例 课标要求考情风向标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题1.本节复习时，应联系生活实例，体会建模，掌握运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本方法2.加强解三角形及解三角形的实际应用，培养数学建模能力，这也是近几年高考的热点之一已知条件应用定理一般解法一边和两角(如 a，B，C)正弦定理由 ABC180，求角 A；由正弦定理求 b 与 c.在有解时只有一解1.解三角形的常见类型及解法在三角形的 6 个元素中要已知三个(除三个角外)才能求解，常见类型及其解法如下表所示：已知条件应用定理一般解法两边和夹角(如 a，b，C)余弦定理正弦
2、定理由余弦定理求第三边 c；由正弦定理求出角 A 或 B；再由 ABC180求另一角.在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求角 A，B；再由 ABC180求角 C.在有解时只有一解(续表)已知条件应用定理一般解法两边和其中一边的对角(如 a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求角 B；再由 ABC180，求角 C；再利用正弦定理或余弦定理求 c.可有两解、一解或无解(续表)2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题等.3.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角：与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水
3、平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平视线下方的角叫做俯角如图 3-8-1(1).(1)(2)图 3-8-1(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东 30，北偏西 45等.(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为如图 3-8-1(2).(4)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数.1.某船只在海面上向正东方向行驶了 x km 迅速将航向调整为南偏西 60，然后沿着新的方向行驶了km，此时发现离出发点恰好 3 km，那么 x 的值为_.3 33 或 6解析：利用余弦定理得 32x2272x3 3cos 6，x29x180，x3 或 x6.2.如图 3-8-
4、2，某河段的两岸可视为平行，在河段的一岸边选取两点 A，B，观察对岸的点 C，测得CAB75，CBA)45，且 AB200 m.则 A，C 两点的距离为(图 3-8-2A.200 63m B.100 6 mC.100 63m D.200 2 mA3.江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为 45和 30，且两条船与炮台底部连线成 30角，则两条船相距()A.10 3 m B.1003 m C.20 3 m D.30 m解析：如图 D20，过炮台顶点 A 作水平面的垂线，垂足为 B.图 D20答案：D设 A 处测得船 C，D 的俯角分别为 45，30，连接 BC，BD.
5、在 RtABC 中，ACB45，则 ABBC30 m.在 RtABD中，ADB30，则 BD 3AB30 3 m.在BCD 中，BC30 m，BD30 3 m，CBD30，由余弦定理，得 CD2BC2BD22BCBDcos CBD900270023030 3 32 900.CD30 m.4.海面上有 A，B，C 三个灯塔，AB10 n mile，从 A 望 C和 B 成 60视角，从 B 望 C 和 A 成 75视角，则 BC()A.10 3 n mile B.10 63n mileC.5 2 n mile D.5 6 n mileD解析：由题意可知，CAB60，CBA75，C45，由正弦定理
6、得10sin 45 BCsin 60，BC5 6.故选 D.考点测量问题考向 1 测量距离问题例 1：(1)(2018 年宁夏银川一中月考)如图3-8-3，设 A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离是 m 米，BAC，ACB，则A，B 两点间的距离为()图 3-8-3A.msin sin B.msin sin C.msin sin D.msinsin sin 答案：C解析：ABC()，由正弦定理得 ABsin ACsinABC，ABmsin sin msin sin，故选 C.(2)(2014 年四川)如图3-8-4，从
7、气球 A 上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高度是60 m，则河流的宽度 BC()图 3-8-4A.240(31)m B.180(21)mC.120(31)m D.30(31)m答案：C解析：气球的高是 60 m，AC120 m，AB60sin 75 m，在ABC 中，ABsin 30 BCsin 45，BCABsin 45sin 30 60sin 45sin 75sin 3060 226 2412 24031120(31)m.(3)(2017 年江西赣州模拟)如图 3-8-5，为了测量 A，B 处岛屿的距离，小明在 D 处观测，A，B 分别在 D 处的北偏西 1
8、5、北偏东 45方向，再往正东方向行驶 40 海里至 C 处，观测 B 在C 处的正北方向，A 在 C 处的北偏西 60方向，则 A，B 两处岛屿间的距离为()图 3-8-5A.20 6海里B.40 6海里C.20(1 3)海里D.40 海里解析：由题意，可知BDC904545，又BCD90，BCCD40 海里.在ADC中，ADC105，ACD906030，答案：ADAC45.由正弦定理，可得 AC40sin 105sin 45 20(31)(海里).在ABC 中，由余弦定理，得AB AC2BC22ACBCcos 6020 6(海里).故选 A.【规律方法】(1)利用示意图把已知量和待求量尽量
9、集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型.(2)利用正弦、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解.考向 2 测量高度问题例 2：(1)(2015 年湖北)如图 3-8-6，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北30的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD_m.图 3-8-6解析：在ABC 中，CAB30，ACB753045，根据正弦定理，知BCsinBACABsinACB，即 BCABsinACB sinBAC6002212300 2(m).CDBCtanDBC300 2
10、 33 100 6(m).答案：100 6(2)(2014 年新课标)如图 3-8-7，为测量山高 MN，选择点A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从点 A 测得点 M 的仰角为MAN60，点 C 的仰角为CAB45，以及MAC75；从点 C 测得MCA60.已知山高 BC100 m，则山高MN_m.图 3-8-7答案：150解析：根据题意，得在ABC 中，已知CAB45，ABC90，BC100 m，易得 AC100 2 m；在AMC 中，已知MAC75，MCA60，AC100 2 m，易得AMC45.由正弦定理，得ACsin AMCAMsin MCA，即 AM100 222 32 100
11、 3(m)；在AMN 中，已知MAN60，MNA90，AM100 3 m，易得 MN150 m.(3)(2017 年河南郑州模拟)在地平面上有一旗杆 OP(O 在地面)，为了测得它的高度 h，在地平面上取一基线 AB，测得其长为 20 m，在 A 处测得 P 点的仰角为 30，在 B 处测得 P 点的仰角为 45，又测得AOB30，则旗杆的高 h 等于_.解析：如图 D21 及根据题意有PAO 30，ABO 中，利用余弦定理求得 h20(m).答案：20 m图 D21PBO45，AB20，AO 3h，BOh，在【规律方法】(1)测量高度时，要准确理解仰角、俯角的概念.(2)分清已知量和待求量，
12、分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内运用正弦或余弦定理.考向 3 测量角度问题图 3-8-8例 3:如图 3-8-8，在海岸 A 处发现北偏东 45方向，距 A处(31)海里的 B 处有一艘走私船.在 A 处北偏西 75方向，距A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船奉命以 10 3海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以 10 海里/时的速度从 B 处向北偏东30方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.思维点拨：根据题意在图中标注已知条件，先使用余弦定理求 BC，再使用正弦定理求角度.解：设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 时，才能最快截获(在 D点)走私船，则
13、CD10 3t 海里，BD10t 海里，在ABC 中，由余弦定理，有BC2AB2AC22ABACcos A(31)2222(31)2cos 1206，解得 BC 6.又 BCsin AACsinABC，sinABCACsin ABC2sin 1206 22.ABC45，故 B 点在 C 点的正东方向上.CBD9030120.在BCD 中，由正弦定理，得BDsinBCDCDsinCBD.sinBCDBDsinCBDCD10tsin 12010 3t12.BCD30，缉私船沿北偏东 60的方向行驶.又在BCD 中，CBD120，BCD30，缉私船应沿北偏东 60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约
14、需要 15 分.D30.BDBC.即 10t 6.解得 t 610时15 分.【规律方法】角度问题的解题方法首先应明确方位角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点.提醒：方向角是相对于某点而言的，因此确定方向角时，首先要弄清是哪一点的方向角.【跟踪训练】1.两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站北偏东 40，灯塔 B 在观察站南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的()BA.北偏东 10C.南偏东 10
15、B.北偏西 10D.南偏西 10难点突破解三角形中的最值问题例题：(2018 年河南郑州检测)在ABC 中，内角 A，B，C对应的三边长分别为 a，b，c，且满足 cacos B12b a2b2.(1)求角 A；(2)若 a 3，求 bc 的取值范围.思维点拨：(1)“化边”用余弦定理求 A；sin Bsin C 的取值范围，也可用余弦定理及均值不等式构造关 于 bc 的不等关系求解.(2)bc asin A(sin Bsin C)，而 asin A已知，故可转化为求解：(1)cacos B12b a2b2，a2c2b2bc2a22b2，a2b2c2bc.a2b2c22bccos A，cos
16、A12.又 0Aa 3，bc(3，2 3.【规律方法】三角函数中最值(或范围)问题：在ABC 中，若已知C 及其对边 c.可用“化角”的方法求形如 abcsin C(sin Asin B)的式子的取值范围；可用余弦定理得含有ab，ab及a2b2的等式，再利用 均值定理化为以ab 或ab 为变量的不等式求得ab 或ab 的最值，从而可得三角形周长或面积的最值.【跟踪训练】2.(1)(2018 年甘肃天水一中学段考试)在ABC 中，B4，若 b2 2，则ABC 面积的最大值是()A.44 2B.4 C.4 2D.22 2(2)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2ccos
17、B2ab，若ABC 的面积为 S 3c，则 ab 的最小值为()A.28 B.36C.48 D.56解析：(1)由余弦定理有 8a2c22accos 4，即 8a2c2 2ac(2 2)ac，(当且仅当 ac 时取等号)ac82 24(2 2)，SABC12acsin 422 2，故选 D.答案：(1)D(2)C(2)2ccos B2ab2sin Ccos B2sin Asin B2sin Ccos B2sin Bcos Csin B，2sin Bcos Csin B，cos C12，S 3c12absin C12ab 32，ab4c4 a2b2ab4 2abab4 3ab，ab48，则 ab 的最小值为 48.1.运用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式可以求有关三角形的边、角、外接圆半径、面积的值或范围等基本问题.2.本节的难点是三角形形状的判断与三角形实际应用问题的解决.主要是学生看不到问题的本质，受到许多非本质问题的干扰.要加强将实际问题转化为数学问题的能力的训练.