1、第12课 指数函数一、教学目标1理解指数函数的概念、图像和性质；2能利用函数图像的平移与对称变换讨论指数函数的图像；3会利用换元法及分类讨论的数学思想和方法，求解一些复杂函数的值域。二、基础知识回顾与梳理1、下列函数是指数函数吗？ ；【教学建议】本题主要是帮助学生复习、理解指数函数的概念。（1）教学时，教师可让学生说明理由。结合本题，强调定义重在形式，并且迁移指出高中阶段学习的三大初等函数（幂、指、对）都是形式上的定义。（2）对于，要引导学生审题，“”意味着函数的自变量为，而是一个常数，符合指数函数的定义，复习时还可继续追问如果是R上的单调减函数，那么的取值范围如何？（教材P52练习1）。2、
2、对于函数、（1）它们各自具有哪些性质？它们在平面直角坐标系中图像如何？（2）与的图像有什么关系？与的图像的相对位置如何？【教学建议】本题改编自课本P50探究问题，主要是复习指数函数的图像和性质。通过这一组问题，可以帮助学生理解研究指数函数图像和性质的关键点“看底数与1的大小关系”。教学时要强调图像的重要性（指出函数性质的记忆可以通过图像完成）；通过（2）可引导学生总结出指数函数图像当变化时的记忆规律以及函数与图像的关系。3、对于函数、（1）它们各自在平面直角坐标系中图像与的关系如何？（2）它们各自有哪些性质？【教学建议】本题改编自课本例题3。教学时，可引导学生从数式特点和图像变换的基本原理两个
3、角度理解，如对于函数，与指数函数比较，可设计以下两个问题：（1）从数式特点看，当函数值相等时，自变量的值之间有什么关系？（2）从图像变换角度来看，把指数函数看做，那么函数如何表示？另外，对于这些函数所具有的性质不建议用复合函数思想解决，要指导学生养成良好习惯：能画出图像的函数性质，可以从图像上轻松而准确地得到。本题处理后可作变式训练如下，以强化学生对形如这类函数的图像认识：不论为何正实数, 的图象一定过一定点,则该定点的坐标是 。4、不等式的解是_。【教学建议】本题改编自课本第55页习题4。目的是复习应用指数函数的性质解不等式的思维方法。可提问：（1）解不等式的一般方向是什么？（化为一元一次、
4、二次不等式）（2）这个不等式如何转化？（“化同底”转化为利用指数函数的单调性解决）（3）如果6变为呢？（需要分类讨论）处理后，教师可帮助总结出解决指数不等式（方程）问题的一般处理策略如下：(1)形如、的形式常用“化同底”转化，或“取对数”等方法；(2)形如或的形式，可借助于换元法转化为（1）；三、诊断练习1、教学处理：可要求学生在对知识梳理部分认真复习之后，独立完成诊断练习中的几个小题，教师利用课前的时间检查批阅一下完成情况，视情况确定需要点评的小题。2、诊断练习点评题1：右图为指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示,对应关系为（1），（2），（3），（4） 则与1
5、的大小关系为 【分析与点评】在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1d11a1b1，cd1ab.即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大题2：函数的值域是_。【分析与点评】定义域值域是函数最本质的问题。求值域的方法很多，利用函数的单调性是一种常见的方法，教师要强调该方法的重点：（1）解题依据是什么？（2）应用的是什么函数？（3）这个函数的单调性如何？本题中给出的函数我们并不认识，需要通过换元（令）转为指数函数，它的单调性易见，但是新函数的定义域是什么必须要考虑？题3：方程的解为_._【分析与点评】此题可以将看成一个整体，先求出的值。【变式】若，则实数的值是
6、 .题4：已知函数 (为常数),若在区间上是增函数,则的取值范围是_.【分析与点评】可以利用复合函数的单调性原则，将在区间上单调增，转化为在区间上单调增。 3、要点归纳（1）强化对指数函数概念的理解，在处理问题时，要明确使用的是哪个函数，它的性质究竟如何。如“基础知识梳理”中第4题，诊断练习第2题、第4题。（2）指数函数的单调性由其底数决定，当底数不确定时要注意分类讨论。（3）要重视图象在解题，尤其是处理函数问题中的作用，辅助分析，帮助理解、杜绝盲目记忆。（4）要养成良好的思维习惯，研究函数问题时，定义域要优先检查。四、范例导析例1、已知,当时,恒为正值,求实数的取值范围. 【教学处理】教师通
7、过问题设计，引导学生发现解题方法，然后指名学生板演，老师巡视指导，了解学情；再结合板演情况进行点评。点评或板书时，要用彩色笔标注出换元法处理问题的几个关键点。【引导分析与精讲建议】问题一、函数是初等函数吗？问题二、如何转化为初等函数？该函数的定义域是什么？问题三、恒成立问题常用处理方法有哪些？（分离变量，函数法，图象法）问题四、如何求该函数的最小值？如果是图象法，如何解决。【说明】引导3、4在学生练习、板演后点评。完成本题后教师要再次引导学生回顾解题思想，体会易错点及注意事项。例2 求下列函数的定义域和值域。（1）；（2）；（3）【教学处理】三个函数的定义域可让学生板演，教师点评；值域的运算可
8、提问学生，先交流讨论，教师板书（1），给出处理此类问题的示范，（2）、（3）让学生板演。【引导分析与精讲建议】1、强调解决这类值域问题的统一步骤：“换元化为初等函数，确定新函数的定义域利用初等函数的图像和性质确定所求值域”，其中“确定新函数的定义域”往往又是一个基本的函数值域问题；2、对于问题（2），要用配凑的方法，再通过图像变换画出它的图像；3、求值域的方法很多，对于问题（1），还可以通过图像法求解：“化去绝对值符号将函数写成分段函数的形式作图象观察图象在y轴上的射影可得出函数的值域”； 对于问题（2），还可以利用的有界性反扣求解。【说明】本题的设计不建议教师额外引进复合函数的方法（考纲上明
9、确提出不作要求），教师要引导学生建立化归的思想。完成本题后教师要再次引导学生回顾反思，理解处理函数问题时，定义域的重要性，可提出问题：“如果题设中只要求值域，是否就不求函数定义域呢？”。例3已知奇函数的定义域为,当时,.(1) 求函数在上的值域；(2) 若,的最小值为,求实数的值.【教学处理】指导学生圈出题中的关键词,弄清题设条件并独立审题，指名回答答题顺序，问题（2）学生板演，教师点评。【引导分析与精讲建议】对于问题（1），可提出以下问题与学生交流：1、已知了函数的什么信息？可以怎样去求该值域？2、对于奇函数图像有什么特征？如何利用这个特征去求解该值域？3、注意函数的定义域是什么？特别注意的
10、值是否在值域中？对于问题（2），1、在学生板演后，教师应强调进行讨论的原因以及进行讨论的分类标准是如何确定的；2、注意分类讨论的书写格式，以及答题的完整性。【说明】指数函数的综合问题常常涉及指数函数的定义域、值域、过定点、单调性、奇偶性、图像特征,要用到数形结合思想、分类讨论思想。指数函数是重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图像与性质并能进行一定的综合运用。指、对运算一直是考生的薄弱环节，本例中的问题（2）可以让学生先独立尝试，在学生求解过程中遇到困难或解题不完整时，教师适时介入与学生交流
11、或进行讲解，并示范板书。五、解题反思本课主要复习了指数函数的概念、图像与性质。要求大家理解和掌握重点概念与方法，并能综合运用指数函数的图像与性质解决问题。1指数式的运算、变形不是难点，但易错，考生需认真对待；2指数函数的底数a0，且a1，其单调性与底数a有关，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论；3解简单的指数不等式（方程）时，首先化为同底，然后根据指数函数的单调性求解；4划归转化时，要明确所借助的函数是谁？它的定义域如何？它具有什么性质？5. 适时施以图像辅助，是处理问题的明智选择；因此应注意归纳总结图像变换的规律，迅速简洁地画出相关函数的图像，如：若直线与函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是 。正确答案是。