1、2021年普通高等学校招生全国统一考试（仿真高考二）文科数学注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合，全集，则图中阴影部分表示的集合（ D ）A B C D2、复数满足，则（ C ）ABCD3、某公司注重科技创新，对旗下产品不断进行研发投入，现
2、统计了该公司2011年2020年研发投入（单位：百万）和研发投入占年利润的比，并制成如图所示的统计图下列说法正确的是（D）A2011年开始，该公司的每年的研发投入占年利润的比呈下降趋势B2011年开始，该公司的每年的研发投入占年利润的比在逐年增大C2011年开始，该公司的年利润逐年增加D2011年开始，该公司的每年的研发投入呈上升趋势4、古代名著中的营造法式集中了当时的建筑设计与施工经验，对后世影响深远，右图为营造法式中的殿堂大木制作示意图，其中某处木件嵌入处部分的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（D）ABCD5、设等比数列前项和，且为的等差中项，则（ B ）ABCD6、若则 B ABCD
3、7、设是两个不同平面，是两条不同直线，下列命题中正确的是( C )A如果，那么 B如果，那么C如果，那么D如果，与所成的角和与所成的角相等，那么8、函数的定义域为，部分对应值如下表，其导函数的图像如下图，当时，函数的零点个数为 D ABCD9、已知函数的最大值与最小值的差为，其图像与轴的交点坐标为，且图像的两个相邻的对称中心间距离为，则（ C ）ABCD10、正方体的棱长为，分别为的中点则下列说法错误的是（ B）A直线与平面平行B直线与直线垂直C异面直线与所成角的余弦值为D平面截正方体所得的截面面积为11、已知直线与抛物线交于两点，且抛物线上存在点，使得，则 C A B C D 12、已知，若
4、，则，的大小关系为（ D ）AB CD 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13、已知向量，若，则 14、 15、已知椭圆的右焦点在圆外，过点作圆的切线交轴于点，切点为，若，则椭圆的离心率为 16、锐角三角形中，,平分线交于点，则 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分。17、已知数列的前项和为，且满足.（1）求证：为等比数列（2）设，数列的前项和为，求证：18、某地盛产优品质橙子，但橙子的品质和产量都与当地的气象相关指数有关，气象相关指数越高，橙子品质
5、和产量越高，售价同时也会越高，某合作社统计了近10年的当地的气象相关指数，得到了如下频率分布直方图（1）求a的值；（2）求近10年气象相关指数的中位数；（3）根据往年数据，该合作社的利润（单位：千元）与每亩地的投入（单位：千元）和气象相关指数入的关系如下：，试估计对于任意的，该合作社都不亏损的概率解：（1）由频率分布直方图可知，0.1（1+1+a+5）1，解得a3；.2分（2）由频率分布直方图可知，因为0.9，1的频率为50.10.5，故近10年的气象相关指数的中位数为0.9；.5分（3）要使对任意的x4，8（千元）时，该合作社不亏损，即有y0，.6分变形可得在x4，8上恒成立，.7分又，设，
6、故，令f（x）0，解得x，所以函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，.9分故f（x）maxf（4），f（8），因为f（4）21f（8）22.5，.10分所以2522.5，解得0.9，故当满足0.9，1时，该合作社才能不亏损，由频率分布直方图可知，该合作社部亏损的概率为0.5.12分19、如图，在三棱柱中，是棱的中点，在棱上，且.（1） 求三棱锥的体积（2） 在棱上是否存在点，满足，若存在，求出的值解：（1） .6分（2）由（1）知在上取点，使连接，所以，在上取点，使连接，所以，.12分20、已知椭圆的左右焦点分别是，是椭圆上一动点（与左右顶点不重合），已知的内切圆半径的最大值是椭圆的离心率是
7、.（1）求椭圆的方程（2）过作斜率不为0的直线交椭圆于两点，过作垂直于轴的直线交椭圆于另一点，连接，设的外心为，求证：为定值21、已知函（1）讨论的单调性（2）若存在两个极值点证明：解：（1）函数的定义域为（0，+），函数的导数f（x）1+，.1分设g（x）x2ax+1，当a0时，g（x）0恒成立，即f（x）0恒成立，此时函数f（x）在（0，+）上是减函数， .2分当a0时，判别式a24，当0a2时，0，即g（x）0，即f（x）0恒成立，此时函数f（x）在（0，+）上是减函数， .3分当a2时，x，f（x），f（x）的变化如下表： x（0，） （，） （，+） f（x） 0+ 0 f（x） 递
8、减 递增递减 .4分 综上当a2时，f（x）在（0，+）上是减函数，当a2时，在（0，），和（，+）上是减函数，则（，）上是增函数 .5分（2）由（1）知a2，不妨设x1x2，则0x11x2，x1x21，.6分则f（x1）f（x2）（x2x1）（1+）+a（lnx1lnx2）2（x2x1）+a（lnx1lnx2），则2+，.7分则问题转为证明1即可，即证明lnx1lnx2x1x2，则lnx1lnx1，即lnx1+lnx1x1，即证2lnx1x1在（0，1）上恒成立，.8分设h（x）2lnxx+，（0x1），其中h（1）0，.9分求导得h（x）10，.10分则h（x）在（0，1）上单调递减，h（
9、x）h（1），即2lnxx+0，.11分故2lnxx，则a2成立.12分（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22、选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变成曲线.（1） 求曲线的参数方程（2） 设，点是上的动点，求面积的最大值，及此时的坐标（1）由伸缩变换得到将代入得到.2分所以的参数方程为.4分（2）设，直线.5分所以到直线的距离为 .6分所以.8分当时，的面积的最大值为2此时的坐标为或.10分23、选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数.（1）求函数的取值范围；（2）若的最小值为，且，求证：.