1、课时限时检测(二十七)平面向量的数量积(时间：60分钟满分：80分)命题报告考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难数量积的运算1,3,85应用数量积求夹角、求模76应用数量积垂直的条件求参数211综合应用49,1012一、选择题(每小题5分，共30分)1(2013辽宁高考)已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为()A.B.C. D.【解析】 (3，4)，则与其同方向的单位向量e(3，4).【答案】A2(2013大纲全国卷)已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则()A4B3C2D1【解析】 因为mn(23,3)，mn(1，1)，由(mn)(mn)，可得(
2、mn)(mn)(23,3)(1，1)260，解得3.【答案】B3(2014聊城模拟)若向量a, b，c满足ab且ac，则c(a2b)()A4 B3 C2 D0【解析】 ac，ac0，又ab，则设ba，c(a2b)(12)ca0.【答案】D4(2014威海模拟)已知|a|1，|b|2，a，b60，则|2ab|()A2 B4 C2 D8【解析】 |a|1，|b|2，a，b60，ab|a|b|cos 6021.|2ab|2.【答案】A5(2012天津高考)已知ABC为等边三角形，AB2.设点P，Q满足，(1)，R.若，则()A. B.C. D.【解析】 ()()(1)()，所以42410，所以.【答
3、案】A6(2014大连模拟)已知平面向量|a|2，|b|1，且(ab)，则a与b的夹角为()A. B. C. D.【解析】 因为(ab)，所以a2b2ab0.又因为|a|2，|b|1，所以a24，b21，所以4ab0，所以ab1.所以ab|a|b|cosa，b1，所以cosa，b.又a与b的夹角范围为0，所以a与b的夹角为.【答案】A二、填空题(每小题5分，共15分)7已知向量a(1,0)，b(1,1)，则向量b3a与向量a夹角的余弦值为_【解析】 b3a(2,1)，|b3a|，|a|1，(b3a)a(2,1)(1,0)2，cosb3a，a.【答案】8已知|a|1，|b|2，a与b的夹角为60
4、，则ab在a方向上的投影为_【解析】 (ab)aa2ab112cos 602，则ab在a方向上的投影为2.【答案】29(2014兰州模拟)设i、j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且2ij，4i3j，则OAB的面积等于_【解析】 由题意知(2,1)，(4,3)，则|，|5，24135，cosAOB，sinAOB，SOAB|sinAOB55.【答案】5三、解答题(本大题共3小题，共35分)10(10分)(2014温州模拟)已知a(1,2)，b(x,1)，(1)若(2ab)(ab)，求x的值；(2)若2ab与ab的夹角是锐角，求x的取值范围【解】(1)a(
5、1,2)，b(x,1)2ab(2x,5)，ab(1x,1)由(2ab)(ab)可知2x55x.解得x.(2)由题意可知(2ab)(ab)0且2ab与ab不共线x且x.即所求x的取值范围是.图43111(12分)(2014德州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6,0)，C(1，)，点M满足，点P在线段BC上运动(包括端点)，如图431.(1)求OCM的余弦值；(2)是否存在实数，使()，若存在，求出满足条件的实数的取值范围，若不存在，请说明理由【解】(1)由题意可得(6,0)，(1，)，(3,0)，(2，)，(1，)cosOCMcos，(2)设P(t，)，其中1t
6、5，(t，)(6t，)，(2，)若()，则()0即122t30(2t3)12，若t，则不存在，若t，则t，故(，12).12(13分)(2014扬州模拟)已知点A(1,0)，B(0,1)，C(2sin ，cos )(1)若|，求的值；(2)若(2)1，其中O为坐标原点，求sin cos 的值【解】A(1,0)，B(0,1)，C(2sin ，cos )，(2sin 1，cos )，(2sin ，cos 1)(1)|，化简得2sin cos ，所以tan ，5.(2)(1,0)，(0,1)，(2sin ，cos )，2(1,2)，(2)1，2sin 2cos 1.(sin cos )2，12sin cos ，sin cos .