1、仁寿一中南校区高2020级第二学期期末模拟考试数学试题 第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.过点且与直线平行的直线方程是（ ）ABCD【答案】B2. 若在中，角的对边分别为，则（ ）ABC或D以上都不对【答案】A3. 若首项为1的等比数列an的前3项和为3，则公比q为（ ）A2 B1 C2或1 D2或1【答案】C4已知向量与夹角为，且，则（ ）ABCD【答案】C5. 设的内角、所对的边分别为、，若，则的形状为（ ）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定【答案】B6. 若实数，满足约束条件，则的
2、最小值是（ ）A4B3C2D1【答案】C7. 直线与直线平行，则实数的值为（ ）A1或-1B0或-1C-1D1【答案】C8. 设是某个等差数列的前n项和，若，则（ ）ABCD【答案】A9.已知正数满足，则的最大值是（ ）ABC1D【答案】B10. 若且，下列四个式子：；其中一定成立的有（ ）A个B个C个D个【答案】A11. 已知数列的各项均为正数，若数列的前n项和为4，则n为（ ）A81B80C64D63【答案】B12. 锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（ ）A(）B(）C)D，1)【答案】C【详解】由题意得，（当且仅当时取等号），由于三角形是锐角三角形，所以，
3、所以，解得所以，设，因为函数在单调递减，在上单调递增，所以函数无限接近中的较大者，所以所以的取值范围是，故选：C第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。请将正确答案直接答在答题卡相应的位置上。13. 无论为何值，直线必过定点坐标为_ _【答案】14. 已知数列中，则_.【答案】15. 设为所在平面上一点，且满足，若的面积为2，则面积为_【答案】316. 已知函数有两个零点且，则直线的斜率的取值范围是_【答案】三、解答题：本大题6个小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知向量（1）求向量与的夹角；（2）若，且，求m的值【答案】（1） （2
4、）【详解】解：（1）由，则，由题得，设向量与的夹角为，则，由，所以. 即向量与的夹角为.（2）由，所以，又，所以，又，所以，解得.18. 如图，在四边形中，.求：（1）的长度；（2）三角形的面积.【答案】（1）；（2）.【详解】解：（1）在中，由余弦定理可得：，则；（2）在中，由正弦定理可得，所以，则.19. 已知直线经过点，直线过点，且（1）若与之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程（2）若与距离为5，求两直线的方程；【详解】（1）当经过两点的直线与两点连线垂直时，距离最大，此时斜率，最大距离为，（2）若，的斜率都存在时，设直线的斜率为，由斜截式得的方程，即由点斜式可得的方程，即在
5、直线上取点，则点到直线的距离，若、的斜率不存在，则的方程为，的方程为，它们之间的距离为5同样满足条件20.已知数列的前n项和为，且满足，.（1）求的通项公式；（2）设数列满足，按照如下规律构造新数列：，求的前2n项和.【答案】（1），；（2）数列的前2n项和为.【详解】（1）由，得，所以.因为，所以，所以，.又当时，适合上式.所以，.（2）因为，所以，又，所以.所以数列的偶数项构成以为首项2为公比的等比数列.故数列的前2n项的和，所以数列的前2n项和为.21. 在数学探究活动中，某兴趣小组合作制作一个工艺品，设计了如图所示的一个窗户，其中矩形的三边，由长为8厘米的材料弯折而成，边的长为厘米()
6、；曲线是一段抛物线，在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为，记窗户的高(点到边的距离)为.（1）求函数的解析式，并求要使得窗户的高最小，边应设计成多少厘米？（2）要使得窗户的高与长的比值达到最小，边应设计成多少厘米？【答案】（1），应设计为3厘米；（2）厘米.【详解】解：（1）因为抛物线方程为，所以，又因为，所以点到的距离为，所以点到的距离为，即，因为，所以当时有最小值，此时，故应设计为3厘米.（2）窗户的高与长的比值为，因为，当且仅当，即时取等号，所以要使得窗户的高与长的比值达到最小，厘米.22. 已知数列的前项和为，满足且，数列的前项为，满足（）设，求证：数列为等比数列；（）求的通项公式；（）若对任意的恒成立，求实数的最大值.【答案】（）见解析（）（）【详解】解：（）由得，变形为：，且 数列是以首项为2，公比为的等比数列 （）由 ； （）由（）知数列是以首项为2，公比为的等比数列，于是=，由得从而 ， 当n为偶数时，恒成立，而，1 当n为奇数时，恒成立，而， 综上所述，即的最大值为