1、绝密启用前 试卷类型：A茂名市2015年第二次高考模拟考试数学试卷（文科） 2015.4 【试卷综述】本试卷注重基础知识、基本技能的考查，符合高考命题的意图和宗旨。注重基础知识的考查。注重能力考查，要注重综合性，又兼顾到全面，更注意突出重点试题减少了运算量、加大了思维量，降低了试题的入口难度，突出对归纳和探究能力的考查。【题文】第一部分 选择题（共50分）【题文】一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）【题文】1、已知集合，则等于( )ABCD【知识点】交集的运算A1【答案】【解析】C 解析：因为集合，则=,故选C.【思路点
2、拨】直接利用交集的定义即可.【题文】2、复数为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为（ ）A B C D【知识点】复数的代数表示法及其几何意义L4【答案】【解析】B 解析：因为复数1=1+=1i，在复平面上对应的点的坐标为（1，1）故选B【思路点拨】通过复数i的幂运算，化简复数为a+bi的形式，即可判断复数在复平面上对应的点的坐标【题文】3、已知等差数列的前项和为，则的值为（ ）A1 B3 C10 D55【知识点】等差数列的性质;等差数列的通项公式D2【答案】【解析】C 解析：因为,所以,则,所以,故选C.【思路点拨】先由解得d,再利用等差数列的通项公式即可.【题文】4、已知向量，若，则等于（
3、）A. （-2，-1） B. （2，1） C. （3，-1） D. （-3，1）【知识点】向量的运算;向量共线的充要条件F2【答案】【解析】A 解析：因为,则,解得,所以,故选A.【思路点拨】先利用向量共线的充要条件解得,再利用向量的加法进行运算即可.【题文】5、若满足不等式, 则的最小值为( )A. B. C. D. 【知识点】简单线性规划E5【答案】【解析】B 解析：由约束条件作出可行域如图，令z=，化为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值联立，解得：A（1，2），z的最小值等于2（1）2=4故选：B【思路点拨】由约束条件作出可行域，化目标
4、函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【题文】6、命题“” 的否定是( )A. B. C. D. 【知识点】特称命题;命题的否定A2【答案】【解析】A 解析：根据特称命题的否定，既否定量词，也否定结论的原则可得命题“”的否定是命题是“”故选A.【思路点拨】特称命题的否定，既否定量词，也否定结论，故否定后的量词为，结论为.【题文】7、已知平面平面，点，作直线，现给出下列四个判断：（1）与相交， （2）， （3）， （4）. 则可能成立的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系G4【答案】【解析】
5、D 解析：如图在直线l上取点C，连接AC，则AC与l相交；（1）成立；A在平面内，所以过A可以做一条直线AC与垂直；此时AC，故（2）（4）正确；过A作ACl，垂足为C，因为A与相交l，所以AC；故（3）成立；故选：D【思路点拨】根据面面垂直的性质定理，由A点不动，C点位置变化，可以对四个判断进行分析解答【题文】8、如图所示,程序框图的输出结果是，那么判断框中应填入的关于的判断条件是( )A B C D【知识点】程序框图L1【答案】【解析】B 解析：模拟执行程序框图，可得s=0，n=2满足条件，s=，n=4;满足条件，s=，n=6;满足条件，s=+=，n=8由题意可得，此时应该满足条件，退出循
6、环，输出s的值为结合选项，判断框中应填入的关于n的判断条件是：n8？故选：B【思路点拨】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质然后对循环体进行分析，找出循环规律判断输出结果与循环次数以及i的关系最终得出选项.【题文】9、已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的交点，为坐标原点，若，则双曲线的实轴长为( )AB C D【知识点】双曲线的简单性质H6【答案】【解析】D 解析：抛物线与双曲线有相同的焦点，点的坐标为（1，0），轴.设点在第一象限，则点坐标为（1，2）设左焦点为，则=2,由勾股定理得，由双曲线的定义可知.故选D.【思路点拨】求出抛物线的焦点（1，0），即有双曲线的两个焦点，运
7、用向量的数量积的定义可得点坐标，再由双曲线的定义可得结论。【题文】10、已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为.若函数，且，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.【知识点】利用导数研究函数的单调性B12【答案】【解析】D 解析：因为且，即在是增函数，所以.而在不是增函数，而，所以当是增函数时，有，所以当不是增函数时，有.综上所述，可得的取值范围是.【思路点拨】由已知可得在不是增函数，而，所以当是增函数时，有，所以当不是增函数时，有.综上所述，可得的取值范围
8、是.【题文】第二部分 非选择题（共100分）【题文】二、填空题：（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分）（一）必做题（1113题）【题文】11、函数的定义域为 . 【知识点】函数的定义域B1【答案】【解析】 解析：由题意得,故答案为.【思路点拨】函数的定义域应满足条件得不等式组取其交集即可【题文】12、函数在点（1,1）处的切线方程为 .【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程B11【答案】【解析】 解析：函数的导数为，即有在点（1，1）处的切线斜率为k=2，函数在点（1，1）处的切线方程为y1=2（x1），即为,故答案为：【思路点拨】求出函数的导数，求得切线的斜率，运用点斜
9、式方程即可得到切线方程【题文】13、在中，角所对的边分别为，已知，且，则= . 【知识点】正弦定理;余弦定理C8【答案】【解析】 解析： 根据正弦定理把可化简为,即,所以,所以,又有,则,解得=,故答案为.【思路点拨】先利用正弦定理、余弦定理可得以及,再利用正弦定理即可。【题文】（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题，两题都答的，只计算第一题的得分.）【题文】14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为（为参数），则坐标原点到该圆的圆心的距离为 .【知识点】参数方程化成普通方程N3【答案】【解析】 解析：圆C的参数方程为（为参数），所以1=sin2+cos2=，
10、化简得x2+（y2）2=4，故C（0，2），所以OC=2，故答案为：2【思路点拨】将圆C的参数方程化成普通方程后即得圆心坐标，从而可得结论【题文】15、（几何证明选讲选做题）如图，是圆的切线，切点为，点在圆上，则圆的面积为 .【知识点】与圆有关的比例线段N1【答案】【解析】 解析：弦切角等于同弧上的圆周角，BCD=60，BOC=120，BC=2，圆的半径为：=2，圆的面积为：22=故答案为：【思路点拨】通过弦切角，求出圆心角，结合弦长，得到半径，然后求出圆的面积【题文】三、解答题（本大题共 6小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）【题文】16、（本小题满分12分）已知函数
11、的图象过点.（1）求的值；（2）设 求的值.【知识点】两角和与差的正弦函数；y=Asin（x+）的图象和性质C4 C5【答案】【解析】（1）；（2） 解析：（1）把代入得到 1分， 4分（2）由（1）知 ，7分， 9分 11分 12分【思路点拨】（1）把代入，再根据即可得结果；（2）由（1）知，然后结合三角函数的等价转化即可。【题文】17、（本小题满分12分）某市为增强市民的环境保护意识,征召义务宣传志愿者现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组,第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活
12、动，则应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该市决定从3，4组抽取的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式I2 K2【答案】【解析】（1）3人，2人，1人；（2） 解析：（1）由频率直方图可知：第3组的人数为1分第4组的人数为 2分第5的人数为3分所以用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组： 第4组：第5组： 所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人 5分（2）记第3组的3名志愿者为第4组的2名志愿者为6分则5名志愿者中抽取的2名志愿者
13、有：，共10种 9分其中第4组的2名志愿者为至少有一名志愿者被抽中的有：，共有7种 11分所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为 12分【思路点拨】（1）先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案；（2）利用古典概型的概率计算公式、互斥事件及相互独立事件的概率计算公式即可得出【题文】18、（本小题满分14分）右图为一简单组合体，其底面为正方形，平面，且，为线段的中点.（1）证明：；（2）求四棱锥的体积. 【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱锥的结构特征G1 G4【答案】【解析】（1）见解析；（2）2 解析：（1）连结与交于点，则为的中点，连结， 为线段的中点，且 3分又且且 四
14、边形为平行四边形， 5分, 即 6分又平面, 面, , , , 7分 （2）平面，平面,平面平面. 9分，平面平面，平面，平面. 10分是四棱锥的高. 11分 12分四棱锥的体积. 14分【思路点拨】（1）连接AC与BD交于点F，则F为BD的中点，连接NF，利用正方形的性质、三角形的中位线定理可得，且再利用已知可得四边形NFCE为平行四边形，利用平面,即可证明（2）利用线面面面垂直的判定与性质定理可得：平面因此BC是四棱锥BPDCE的高利用四棱锥BPDCE的体积即可得出【题文】19、（本小题满分14分） 已知数列的前n项和为，数列的前n项和为，且有,点在直线上. （1）求数列的通项公式；（2）
15、求;（3）试比较和的大小,并加以证明.【知识点】数列递推式；数列的求和D1 D4【答案】【解析】（1）；（2） （3） 见解析；解析：（1）当时, , 解得：， 1分 当时, , 则有 ，即： ， 数列是以为首项，为公比的等比数列. 3分 4分 （2）点在直线上 . 5分因为,所以. 由-得, 所以. 8分（3）令,则= 10分时, ，所以; 时, ，所以;时, ，所以. 13分综上:时，,时,时, 14分【思路点拨】（1）利用递推式与等比数列的通项公式可得；（2）由点在直线上，可得利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出；（3）作差比较大小即可得出【题文】20、（本小题满分14分）
16、已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过点，离心率为，（1）求椭圆的方程；（2）设直线过椭圆的右焦点,且交椭圆于两点,是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【知识点】椭圆的性质；直线与椭圆的位置关系H5 H8【答案】【解析】（1）（2）见解析 解析：（1）由椭圆过点，可得1分又， 2分解得：， 3分所以椭圆方程为 4分（2）若直线斜率不存在，则可得,于是; 6分若直线的斜率存在,设其方程为:由,可得,设,则有, 8分由于=而 10分= = = = = 12分= 综上所述，即：存在实数，使得恒成立 14分【思路点拨】（1）由椭圆过点，代入解得基本量即可；（2）对直线斜率
17、分类讨论，若直线斜率不存在得，直线的斜率存在，结合根与系数的关系关系，用已知条件可得结果。【题文】21、（本小题满分14分）设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对任意恒成立，求实数的最小值；（3）设是函数图象上任意不同的两点，线段的中点为，直线的斜率为. 证明：.【知识点】利用导数研究函数的单调性；对数函数的图像与性质；利用导数研究曲线上某点切线方程B11 B12【答案】【解析】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）；（3）见解析； 解析：（1）的定义域为当时， 1分当时，单调递减当时，单调递增，综上，的单调递增区间为，单调递减区间为 3分（2）由题意知：，在上恒成立，即在区间上恒成立，又，在区间上恒成立 4分设，则 5分又令，则 6分当时，单调递减，即在恒成立 7分所以在单调递增，故，所以实数的最小值. 8分（3）， 9分又，所以 10分要证.即证，不妨设，即证，即证11分设，即证：，也就是要证：，其中， 12分事实上：设，则，13分所以在上单调递增，因此，【思路点拨】（1）当a=1时求出g（x），然后在定义域内解不等式，从而得到函数g（x）的单调区间；（2）对任意的恒成立，等价于对，恒成立，构造函数转化为函数最值解决，利用导数即可求得最值；(3) 求出直线AB的斜率为k和f（x0），整理后把证明转化为证明构造函数，利用导数证明该函数在上为增函数证得结论