1、第四节直线、平面平行的判定及其性质考情展望1.以多面体为载体，考查空间线面平行、面面平行的判定与性质.2.以解答题的形式考查线面的平行关系.3.考查空间中平行关系的探索性问题一、直线与平面平行判定定理性质定理图形条件la，l，aa，a，b结论lab(1)证线面平行若a，ab，b，则b.若a，a，则a.(2)线面平行的性质若a，a，b，则ab若a，a，则.二、面面平行的判定与性质判定性质图形条件a，b，abP，a，b，a，b，a结论aba1若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是()A内的所有直线都与直线a异面B内可能存在与a平行的直线C内的直线都与a相交D直线a与平面没有公共点【解析】直线a与
2、不平行，则直线a在内或与相交，当直线a在平面内时，在内存在与a平行的直线，B正确【答案】B2空间中，下列命题正确的是()A若a，ba，则bB若a，b，a，b，则C若，b，则bD若，a，则a【解析】根据面面平行和线面平行的定义知，选D.【答案】D3在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是_【解析】如图所示，连接BD交AC于F，连接EF则EF是BDD1的中位线，EFBD1，又EF平面ACE，BD1平面ACE，BD1平面ACE.【答案】平行4如图741，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上若EF平面AB1C，则线段EF
3、的长度等于_图741【解析】由于在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AC2.又E为AD中点，EF平面AB1C，EF平面ADC，平面ADC平面AB1CAC，EFAC，F为DC中点，EFAC.【答案】考向一 124直线与平面平行的判定与性质图742(2013福建高考改编)如图742，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABDC，ABAD，BC5，DC3，AD4，PAD60.(1)若M为PA的中点，求证：DM平面PBC；(2)求三棱锥DPBC的体积【思路点拨】(1)法一：证明DM与平面PBC内的直线平行；法二：通过证明过DM的平面与平面PBC平行(2)转化法，利用VDPBCVPDBC求解
4、【尝试解答】法一(1)如图，取PB的中点N，连接MN，CN.在PAB中，M是PA的中点，MNAB，MNAB3.图又CDAB，CD3，MNCD，MNCD，四边形MNCD为平行四边形，DMCN.又DM平面PBC，CN平面PBC，DM平面PBC.(2)VDPBCVPDBCSDBCPD，又SDBC6，PD4，所以VDPBC8.法二：图(1)如图，取AB的中点E，连接ME，DE.在梯形ABCD中，BECD，且BECD，四边形BCDE为平行四边形，DEBC.又DE平面PBC，BC平面PBC，DE平面PBC.又在PAB中，MEPB，ME平面PBC，PB平面PBC, ME平面PBC.又DEMEE，平面DME平
5、面PBC.又DM平面DME，DM平面PBC.(2)同法一规律方法11.判断或证明线面平行的常用方法有：(1)利用反证法；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，aa).2.利用判定定理判定直线与平面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.对点训练图743如图743，FD垂直于矩形ABCD所在平面CEDF，DEF90.(1)求证：BE平面ADF；(2)若矩形ABCD的一边AB，EF2，则另一边BC
6、的长为何值时，三棱锥FBDE的体积为？【解】(1)证明：过点E作CD的平行线交DF于点M，连接AM.因为CEDF，所以四边形CEMD是平行四边形可得EMCD且EMCD，于是四边形BEMA也是平行四边形，所以有BEAM.而AM平面ADF，BE平面ADF，所以BE平面ADF.(2)由EF2，EMAB，得FM3且MFE30.由DEF90可得FD4，从而得DE2.因为BCCD，BCFD，所以BC平面CDFE.所以，VFBDEVBDEFSDEFBC.因为SDEFDEEF2，VFBDE，所以BC.综上当BC时，三棱锥FBDE的体积为.考向二 125平面与平面平行的判定和性质 (2013陕西高考)如图744
7、，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O底面ABCD，ABAA1.图744(1)证明：平面A1BD平面CD1B1；(2)求三棱柱ABDA1B1D1的体积【思路点拨】在一个平面内确定两条相交直线分别平行于另一个平面；高已确定，关键在于求底面积【尝试解答】(1)证明由题设知，BB1綊DD1，四边形BB1D1D是平行四边形，BDB1D1.又BD平面CD1B1，BD平面CD1B1.A1D1綊B1C1綊BC，四边形A1BCD1是平行四边形，A1BD1C.又A1B平面CD1B1，A1B平面CD1B1.又BDA1BB，平面A1BD平面CD1B1.(2)A1O平面ABCD，
8、A1O是三棱柱ABDA1B1D1的高又AOAC1，AA1，A1O1.又SABD1，V三棱柱ABDA1B1D1SABDA1O1.规律方法2判定面面平行的方法(1)利用定义：(常用反证法)(2)利用面面平行的判定定理；(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行；(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行.对点训练图745如图745所示，三棱柱ABCA1B1C1，D是BC上一点，且A1B平面AC1D，D1是B1C1的中点求证：平面A1BD1平面AC1D.【证明】如图所示，连接A1C交AC1于点E，因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以E是A1C的中点，连接ED，因为A
9、1B平面AC1D，平面A1BC平面AC1DED，所以A1BED.因为E是A1C的中点，所以D是BC的中点又因为D1是B1C1的中点，所以BD1C1D，A1D1AD.又A1D1BD1D1，C1DADD，所以平面A1BD1平面AC1D.考向三 126线面、面面平行的综合应用图746如图746所示，四边形ABCD为矩形，AD平面ABE，AEEBBC，F为CE上的点，且BF平面ACE.(1)求证：AEBE；(2)设M在线段AB上，且满足AM2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN平面DAE.【思路点拨】(1)通过线面垂直证明线线垂直；(2)先确定点N的位置，再进行证明，点N的位置的确定要根据线面平行
10、的条件进行探索【尝试解答】(1)AD平面ABE，ADBC，BC平面ABE，则AEBC.又BF平面ACE，AEBF，BCBFBAE平面BCE，又BE平面BCE，AEBE.(2)在ABE中，过M点作MGAE交BE于G点，在BEC中过G点作GNBC交EC于N点，连接MN，则由比例关系易得CNCE.MGAE，MG平面ADE，AE平面ADE，MG平面ADE.同理，GN平面ADE.又GNMGG，平面MGN平面ADE.又MN平面MGN，MN平面ADE.N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点规律方法31.解决本题的关键是过M作出与平面DAE平行的辅助平面MNG，通过面面平行证明线面平行.2.通过线面、面面平行
11、的判定与性质，可实现线线、线面、面面平行的转化.3.解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法.对点训练图747如图747所示，四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA底面ABCD，在侧面PBC内，有BEPC于E，且BEa，试在AB上找一点F，使EF平面PAD.【解】在平面PCD内，过E作EGCD交PD于G，连接AG，在AB上取点F，使AFEG，EGCDAF，EGAF，四边形FEGA为平行四边形，FEAG.又AG平面PAD，FE平面PAD，EF平面PAD.F即为所求的点又PA面ABCD，PABC，又BCAB，BC面PAB.PBBC.PC2BC
12、2PB2BC2AB2PA2.设PAx则PC，由PBBCBEPC得：aa，xa，即PAa，PCa.又CE a，即GECDa，AFa.当AFa时，EF平面PAD.规范解答之十二立体几何中的探索性问题1个示范例1个规范练(12分)如图748，在四棱锥SABCD中，已知底面ABCD为直角梯形，其中ADBC，BAD90，SA底面ABCD，SAABBC2.tanSDA图748(1)求四棱锥SABCD的体积；(2)在棱SD上找一点E，使CE平面SAB，并证明【规范解答】(1)SA底面ABCD，tanSDA，SA2，AD3.2分由题意知四棱锥SABCD的底面为直角梯形，且SAABBC2，4分VSABCDSA(
13、BCAD)AB2(23)2.6分(2)当点E位于棱SD上靠近D的三等分点处时，可使CE平面SAB.8分取SD上靠近D的三等分点为E，取SA上靠近点A的三等分点为F，连接CE，EF，BF，则EF綊AD，BC綊AD，BC綊EF.CEBF.10分又BF平面SAB，CE平面SAB，CE平面SAB.12分【名师寄语】1.本题在解题时易出现两种错误：一是误认为E是SD中点，二是对于这类探索性问题找不到切入口，入手难.在步骤书写时易忽视“BF平面SAB，CE平面SAB”这一关键条件.2.解决立体几何中探索性问题的步骤：第一步，探求出点的位置.第二步，证明符合要求.第三步，给出明确答案.,第四步，反思回顾.查看关键点.易错点和答题规范.一个多面体的直观图和三视图如图749所示，其中M是AB的中点，G是DF上的一点当FGGD时，在棱AD上确定一点P，使得GP平面FMC，并给出证明图749【解】由三视图可得直观图为直三棱柱，且底面ADF中ADDF，DFADDC，点P在A点处如图，取DC中点S，连接AS、GS、GA.G是DF的中点，GSFC，ASCM.GSASS，FCCMC，平面GSA平面FMC，GA平面GSA，GA平面FMC，即GP平面FMC.