1、第12讲 函数与方程 课标要求考情风向标1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系.2.根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种是找函数零点个数；一种是判断零点的范围.另外备考中应该特别注意运用导数来研究函数零点1.函数的零点(1)方程f(x)0有实根函数yf(x)的图象与x轴有_函数 yf(x)有零点.交点(2)如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的，且有 f(a)f(b)_0，那么函数 yf(x)在区间(a，b)上有零点.
2、一般把这一结论称为零点存在性定理.2.二分法如果函数 yf(x)在区间m，n上的图象是一条连续不断的曲线，且 f(m)f(n)0，通过不断地把函数 yf(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.1.如图 2-12-1 所示的是函数 f(x)的图象，它与 x 轴有 4 个不同的公共点.给出下列四个区间，不能用二分法求出函数 f(x)零点的区间是()B图 2-12-1A.2.1，1C.4.1,5B.1.9,2.3D.5,6.1的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)2.函数 f(x)2x2xa 的一个零点在区间
3、(1,2)内，则实数 aC解析：函数 f(x)2x2xa 在区间(1,2)上单调递增，又函数 f(x)2x2xa 的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)f(2)0，(a)(41a)0，即 a(a3)0.0a3.x10123f(x)0.6773.0115.4325.9807.651g(x)0.5303.4514.8905.2416.8923.(2017 年山东济南历城区统测)已知函数 f(x)与 g(x)的图象在 R 上不间断，由表知函数 yf(x)g(x)在下列区间内一定有)零点的是(A.(1,0)C.(1,2)B.(0,1)D.(2,3)解析：当 x1 时，f(1)g(1)0；当 x0
4、时，f(0)g(0)0；当 x1 时，f(1)g(1)0；当 x2 时，f(2)g(2)0；当 x3 时，f(3)g(3)0，且函数 f(x)与 g(x)的图象在 R 上不间断，由零点存在性定理可得，函数 y 在(0,1)内存在零点.故选 B.答案：B)的区间是(A.(0,1)C.(2,4)B.(1,2)D.(4，)4.已知函数 f(x)6xlog2x，在下列区间中，包含 f(x)的零点C考点 1 函数零点的判定例 1：(1)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(x)c)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间(A.(a，b)和(b，c)内B.(，a)和(a，b)内C.(b，c)和(
5、c，)内D.(，a)和(c，)内解析：f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(cb)(ca)0，f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内.故选 A.答案：A(2)(2015 年湖北)函数 f(x)2sin xsinx2 x2 的零点个数为_.解析：函数 f(x)2sin xsinx2 x2 的零点个数等价于方程2sin xsinx2 x20 的根的个数，即函数 g(x)2sin xsinx22sin xcos xsin 2x 与 h(x)x2 的图象交点个数.分别画出两函数图象，如图 D13，由图可知，函数 g(x)与 h(
6、x)的图象有 2 个交点.故零点个数为 2.图 D13答案：2A.2 个B.3 个C.6 个D.7 个(3)(2017 年江淮十校联考)已知函数 f(x)5|x1|1，x0，x24x4，x0，则关于 x 的方程 f 2(x)5f(x)40 的实数根的个数为()解析：方法一，由f 2(x)5f(x)40，得f(x)1或4.若f(x)1，当x0时，即5|x1|11,5|x1|2，解得x1log52；当x0时，即x24x30，解得x1或3.若f(x)4，当x0时，5|x1|14，|x1|1，解得x0或2；当x0，g(x)解析：g(x)f(x)xa0，得 f(x)xa.若 g(x)存在 2个零点，即直
7、线 yxa 与 f(x)的图象有 2 个交点.如图 D15，实数 a 的取值范围是a1，a1.图 D15答案：C(3)(2019年江苏)设f(x)，g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为 4，g(x)的周期为 2，且 f(x)是奇函数.当 x(0,2时，f(x)1x12，g(x)kx2，0 x1，12，10.若在区间(0,9，关于 x 的方程 f(x)g(x)有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是_.y0.又 f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为 4，如图D16，要使 f(x)g(x)在(0,9上有 8 个实根，只需二者图象有 8个交点即可.图 D16解析：当 x
8、(0,2时，f(x)1x12，即(x1)2y21，当 g(x)12时，函数 f(x)与 g(x)的图象有 2 个交点；当 g(x)k(x2)时，g(x)的图象为恒过点(2,0)的直线，只需函数 f(x)与 g(x)的图象有 6 个交点.当 f(x)与 g(x)图象相切时，圆心(1,0)到直线 kxy2k0 的距离为 1，即|k2k|1k21，得k 24，函数 f(x)与 g(x)的图象有 3 个交点；当 g(x)k(x2)过点(1,1)时，函数 f(x)与 g(x)的图象有 6 个交点，此时 13k，得k13.【规律方法】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出
9、函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.综上可知，满足 f(x)g(x)在(0,9上有 8 个实根的 k 的取值范围为13，24.答案：13，24考点 3 二分法的应用例 3：(1)若函数f(x)的零点与g(x)4x2x2的零点之差的绝对值不超过 0.25，则 f(x)可以是()A.f(x)4x1 B.f(x)(x1)2C.f(x)ex1 D.f(x)lnx12 答案：A解析：f(x)4x1 的零点为 x14，f(x)(x1)2 的零点为x1，f(x)ex1 的零点为 x0，f(x)lnx12 的零点为 x32.现在我们
10、来估算 g(x)4x2x2 的零点，g(0)1，g121，g(x)的零点 x0，12.又函数 f(x)的零点与 g(x)4x2x2 的零点之差的绝对值不超过 0.25，只有 f(x)4x1 的零点适合.(2)已知函数 f(x)ln x2x6.求证：函数 f(x)在其定义域上是增函数；求证：函数 f(x)有且只有一个零点；求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过14.证明：函数 f(x)的定义域为(0，)，证明：f(2)ln 220，f(2)f(3)0.f(x)在(2,3)上至少有一个零点.又由(1)知，f(x)在(0，)上是增函数，因此 f(x)0 至多有一个根，从而函数 f(x)在(
11、0，)上有且只有一个零点.设x1x2，则ln x1ln x2，2x12x2.ln x12x16ln x22x26.f(x1)f(x2).f(x)在(0，)上是增函数.解：由(2)知，f(x)的零点 x0 在(2,3)上，取 x152，f52 ln 5210，f52 f(3)0，f52 f114 0.x052，114.114 52 1414，52，114 即为符合条件的零点所在区间.【规律方法】(1)二分法是求方程根的近似值的一种计算方法，它只能用来求函数的变号零点.(2)给定精度，用二分法求函数yf(x)的零点近似值的步骤如下：确定区间m，n，验证f(m)f(n)0，给定精度；求区间m，n的中
12、点x1；计算f(x1)：)若f(x1)0，则x1就是函数yf(x)的零点；)若f(m)f(x1)0，则令nx1此时零点x0(m，x1)；)若f(x1)f(n)0，则令mx1此时零点x0(x1，n)；判断是否达到精度：若|mn|，则得到零点近似值m(或n)；否则重复步骤.思想与方法 运用函数与方程的思想判断方程根的分布 例题：(2019 年浙江)已知 a，bR，函数 f(x)若函数 yf(x)axb 恰有三个零点，则()A.a1，b1，b0B.a0D.a1，b0 x，x0，13x312a1x2ax，x0，分析：当 x0 时，yf(x)axbxaxb(1a)xb最多一个零点；当 x0 时，yf(x
13、)axb13x312(a1)x2axaxb13x312(a1)x2b，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图可求解.解析：当 x0，yf(x)axb 在0，)上递增，yf(x)axb 最多一个零点.不合题意；当 a10，即 a1 时，令 y0 得 x(a1，)，函数递增，令 y0 得 x0，a1)，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数 yf(x)axb 恰有 3 个零点函数 yf(x)axb 在(，0)上有一个零点，在0，)上有 2 个零点，如图 2-12-2：b1a0，13a1312a1a12b0，bb16a13，b0，1a0，若函数 g(x)f(x)a 恰有三个互不相同的零点
14、 x1，x2，x3，则 x1x2x3 的取值范围是()A.132，0B.116，0C.0，132D.0，116 解析：方法一，显然 x0 时，2xa，有一根不妨记为x1，则 x1a2(a0)，当 x0 时，x2xa，即 x2xa0 有两不等正根，不妨记为 x2，x3，则 14a0，即 a14，从而a2 116，0 且x2x3a.x1x2x3a22 132，0，故选 A.答案：A方法二，作出 yf(x)及 ya 的图象，显然 0a14，不妨设x1x2x3，显然 x10，x30，x1x2x30，排除 C、D，又当 x2x3 时，x2x314，x118，故 x1x2x3 132.故选 A.1.判断函
15、数零点个数的常见方法：(1)直接法：解方程 f(x)0，方程有几个解，函数 f(x)就有几个零点；(2)图象法：画出函数 f(x)的图象，函数 f(x)的图象与 x 轴的交点个数即为函数 f(x)的零点个数；(3)将函数 f(x)拆成两个常见函数 h(x)和 g(x)的差，从而 f(x)0h(x)g(x)0h(x)g(x)，则函数 f(x)的零点个数即为函数 yh(x)与函数 yg(x)的图象的交点个数；(4)二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式来判断.2.判断函数在某个区间上是否存在零点的方法：(1)解方程，当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上；(2)利用零点存在性定理进行判断；(3)画出函数图象，通过观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断.3.已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数取值范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.