1、第四节基本不等式考情展望1.利用基本不等式求最值、证明不等式.2.利用基本不等式解决实际问题一、基本不等式1基本不等式成立的条件：a0，b0.2等号成立的条件：当且仅当ab时等号成立3其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数由公式a2b22ab和可以引申出的常用结论(1)2(a，b同号)；(2)2(a，b异号)；(3) (a0，b0)(或ab2(a0，b0)二、利用基本不等式求最大、最小值问题1如果x，y(0，)，且xyP(定值)那么当xy时，xy有最小值2.(简记：“积定和最小”)2如果x，y(0，)，且xyS(定值)那么当xy时，xy有最大值.(简记：“和定积最大”)1函
2、数yx(x0)的值域为()A(，22，)B(0，)C2，) D(2，)【解析】x0，yx22.当且仅当x，即x1时等号成立函数yx(x0)的值域为2，)【答案】C2已知m0，n0，且mn81，则mn的最小值为()A18B36C81D243【解析】m0，n0，mn81，mn2218.当且仅当mn9时等号成立【答案】A3设0x1，则x(33x)取得最大值时，x的值为()A. B. C. D.【解析】0x1，x(33x)32，当且仅当x1x，即x时等号成立【答案】B4某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元为使平均到每件产
3、品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品应为_件【解析】设每件产品的平均费用为y元，由题意得y220.当且仅当(x0)，当且仅当x80时，“”成立【答案】805(2012福建高考)下列不等式一定成立的是()Alglg x(x0)Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1(xR)【解析】应用基本不等式：x，yR，(当且仅当xy时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件当x0时，x22xx，所以lglg x(x0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当xk，kZ时，sin x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当
4、x0时，有1，故选项D不正确【答案】C6(2013四川高考)已知函数f(x)4x(x0，a0)在x3时取得最小值，则a_.【解析】f(x)4x24(x0，a0)，当且仅当4x，即x时等号成立，此时f(x)取得最小值4.又由已知x3时，f(x)min4，3，即a36.【答案】36考向一 112利用基本不等式求最值(1)(2014青岛模拟)下列命题中正确的是()Ayx的最小值是2By23x(x0)的最大值是24Cysin2x的最小值是4Dy23x(x0)的最小值是24(2)(2014贵阳模拟)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是()A.B.C5D6【思路点拨】(1)借助均值不等式的使
5、用条件“一正、二定、三相等”逐一判断(2)将条件变形1，然后注意“1”的代换【尝试解答】(1)A不正确，如取x1，则y2.B正确，因为y23x22224.当且仅当3x，即x时等号成立C不正确，令sin2xt，则0t1，所以g(t)t，显然g(t)在(0,1上单调递减，故g(t)ming(1)145.D不正确，x0，x0y23x224.当且仅当3x，即x时等号成立(2)由x0，y0，且x3y5xy，得1.3x4y(3x4y)2 5，当且仅当x2y1时，等号成立3x4y的最小值为5.【答案】(1)B(2)C规律方法11.第(1)题的解题关键是“逐一验证均值不等式的适用条件”.第(2)小题求解的关键
6、是条件的恰当变形与“1”的代换，常见错误是条件与结论分别利用基本不等式，导致错选A，根本原因忽视等号成立条件.2.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”.常用的方法为拆、凑、代换、平方.对点训练(1)已知x0，y0，且xy1，且的最小值是_(2)设x，y为实数，若x2y2xy1，则xy的最大值是_【解析】(1)x0，y0，xy1，(xy)72774，当且仅当且xy1，即x32，y42时等号成立，的最小值是74.(2)由x2y2xy1，得1(xy)2xy，(xy)21xy1，解得xy，xy的最大值为.【答案】(1)74(2)考向二 113简单的不等式证明(
7、2013课标全国卷)设a，b，c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcca；(2)1.【思路点拨】(1)将abc1两边平方，化简整理，借助不等式的性质，即得结论(2)证1，也即证abc.可分别证b2a，c2b，a2c，然后相加即得【尝试解答】(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21.即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.规律方法21.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲
8、目变形2利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到考向三 114基本不等式的实际应用(2014潍坊模拟)如图641，某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开辟出三块形状大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道。已知三块绿化区的总面积为800平方米，求该矩形区域ABCD占地面积的最小值图641【思路点拨】设出小矩形的长和宽，建立矩形区域ABCD的面积S的表达式，借助不等式求最值【尝试解
9、答】设绿化区域小矩形的一边长为x，另一边长为y，则3xy800，所以y，所以矩形区域ABCD的面积S(3x4)(y2)(3x4)8006x88082968当且仅当6x，即x时取“”，矩形区域ABCD的面积的最小值为968平方米规律方法3解实际应用题要注意以下几点：(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.对点训练某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)满
10、足x3(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件已知2012年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)(1)将2013年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【解】 (1)由题意知，当m0时，x1(万件)，13k，即k2.x3.又每件产品的销售价格为1.5(万元)2012年的利润yx(816xm)48xm48m29(m0)(2)m0时，(m1)28.y29821
11、，当且仅当m1，即当m3(万元)时，ymax21(万元)所以该厂家2013年的促销费用投入为3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元思想方法之十六消元思想在基本不等式求最值中的巧用所谓消元思想就是将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想方法由于应用基本不等式“”求最值时需满足三个条件(一正、二定、三相等)，且只限于“二元”范畴之内，故对于多元求最值问题可采用消元思想，转化为“二元”问题1个示范例1个对点练(2013山东高考)设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值为()A0B1C.D3【解析】含三个参数x，y，z，消元，利用基本不等式及配方法求最值zx23xy4y2(x0，y0，z0)，1.当且仅当，即x2y时等号成立，此时zx23xy4y24y26y24y22y2，21，当y1时，的最大值为1.设x，y，z为正实数，满足x2y3z0，则的最小值是_【解析】由x2y3z0可得y所以23当且仅当x3z时取“”【答案】3