1、第7讲 计数原理与排列组合 课标要求考情风向标1.通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题.2.通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题排列组合应用题几乎是每年必考内容，其考查方式是：(1)在选择、填空题中单独考查；(2)在解答题中与概率问题相结合，重点考查分类讨论思想与分析问题、解决问题的能力1.分类加法原理与分步乘法原理 (1)分类加法原理：做一件事，完成它有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的
2、方法，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 Nm1m2mn 种不同的方法.m1m2mn(2)分步乘法原理：做一件事，完成它要分成 n 个步骤，缺一不可，在第一个步骤中有 m1 种不同的方法，在第二个步骤中有 m2 种不同的方法，在第 n 个步骤中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N_种不同的方法.2.排列与排列数 (1)从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.(2)从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用A
3、mn表示，且Amnn(n1)(n2)(nm1)_.(3)Ann_，0！_.n！nm！n！13.组合与组合数 (1)从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.(2)从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用 Cmn表示，且 Cmnnn1n2nm1m！n！m！nm！.(3)C0n_，Cmn_，CmnCm1n_.1CnmnCmn11.6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何 2 人不相邻的坐)D法种数为(A.144 种C.72 种B.120 种D.24 种2.安排
4、3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每)项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有(A.12 种B.18 种C.24 种D.36 种解析：由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有 C24种方法，然后进行全排列 A33即可，由乘法原理，不同的安排方式共有C24A3336(种)方法.故选 D.D3.(2018 年新课标)从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_种.(用数字填写答案)解析：C36C3416.164.(2019 年上海)首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派 4
5、 人参加连续 5 天的志愿者活动，其中甲连续参加 2天，其他人各参加 1 天，则不同的安排方法有_种.(结果用数值表示)24解析：在 5 天里，连续的 2 天，一共有 4 种，剩下的 3 人排列，故有 4A3324(种).考点 1 计数原理考向 1 分类加法计数原理例 1：(1)三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过 3 次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有()A.5 种B.2 种C.3 种D.4 种解析：传递方式有甲乙丙甲；甲丙乙甲.或画出树状图如图 D112：图 D112答案：B(2)(2018 年江西九江模拟)已知两条异面直线 a，b 上分别有5 个点和
6、 8 个点，则这 13 个点可以确定不同的平面个数为()A.40B.16C.13D.10解析：分两类情况讨论：第 1 类，直线 a 分别与直线 b 上的 8 个点可以确定 8 个不同的平面；第 2 类，直线 b 分别与直线 a 上的 5 个点可以确定5 个不同的平面.根据分类加法计数原理知，共可以确定 8513(个)不同的平面.答案：C【规律方法】(1)分类加法计数原理的实质：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，每类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.(2)使用分类加法计数原理遵循的原理：有时分类的划分标准有多个
7、，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则.考向 2 分步乘法计数原理例 2：(1)5 名应届毕业生报考三所高校，每人报且仅报一所院校，则不同的报名方法的种数是()A.35 B.53C.A35 D.C35解析：应届生报名，分五步，第一步第 1 名学生报名有 3种选择，第二步第 2 名学生报名有 3 种选择，第三步第 3 名学生报名有 3 种选择，第四步第 4 名学生报名有 3 种选择，第五步第 5 名学生报名有 3 种选择，根据分步乘法记数原理共有3333335(种)报名方法，故选 A.答案：A(2)乘积(a1 a2 a3)(b1 b2 b3 b4)(c1 c2 c3c4
8、 c5)的展开式中，共有多少项()A.12B.30C.36D.60解析：从三个括号中各取一项相乘，作为展开式中的一项，可以分成三步：第一步，从第一个括号中选一项有 3 种方法；第二步，从第二个括号中选一项有 4 种方法；第三步，从第三个括号中选一项有 5 种方法.由分步乘法计数原理可知共有34560(项).答案：D【规律方法】(1)分步乘法计数原理的实质：分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成其中的任何一步都不能单独完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.(2)使用分步乘法计数原理的关注点：明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件
9、事需要几个步骤，且每步都是独立的；将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键，从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数.考向 3 两个计数原理的综合应用例 3：(1)中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课.则“六艺”课程讲座不同排课
10、顺序共有()A.120 种B.156 种C.188 种D.240 种答案：A解析：“数”排在第一节有 A44A2248(种)排法；“数”排在第二节有 C13A33A2236(种)排法；“数”排在第三节有 3A22A3336(种)排法.由分类加法计数原理，共有 483636120(种)不同排课方法.(2)如图 9-7-1，某电子器件由 3 个电阻串联而成，形成回路，其中有 6 个焊接点 A，B，C，D，E，F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通.现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有_种.图 9-7-1解析：每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有 2
11、6163(种)可能情况.答案：63(3)如图 9-7-2，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，若要求相邻区域不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_种(用数字作答).图 9-7-2共有 432372(种)不同着色方法.方法二：本小题在各类资料上都能找到影子，但所给图形变化后，需要有敏锐的观察力.本题能较深刻地测试逻辑思维能力.因区域 1 与其他四个区域都相邻，宜先考虑，区域 1 有 4种涂法.若区域 2,4 同色，有 3 种涂法，此时区域 3,5 均有两种涂法，涂法总数为 432248(种)；若区域 2,4 不同色，先涂区域 2 有 3 种方法，再涂区域 4
12、有 2 种方法.此时区域 3,5也只能有 1 种涂法，涂法总数为 4321124(种).因此涂法共有 482472(种).答案：72解析：方法一：区域 1 有 C14种着色方法；区域 2 有 C13种着色方法；区域 3 有 C12种着色方法；区域4,5 有 3 种着色方法(4 与 2 同色有 2 种，4 与 2 不同色有 1 种).【规律方法】与两个计数原理有关问题的常见类型及解题策略：与数字有关的问题.可分类解决，每类中又可分步完成，也可以直接分步解决；与几何有关的问题.可先分类，再分步解决；涂色问题.可按颜色的种数分类完成，也可以按不同的区域分步完成.考点 2 排列问题例 4：(1)7 位
13、同学站成一排：共有多少种不同的排法？站成两排(前 3 后 4)，共有多少种不同的排法？其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？甲、乙不能站在两端的排法共有多少种？甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？甲、乙两同学不能相邻，甲、丙两同学也不能相邻的排法共
14、有多少种？甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？甲、乙两人中间恰好有 3 人的不同排法共有多少种？解：7 位同学站成一排：共有 A775040(种)不同的排法.站成两排(前 3 后 4)，共有 A775040(种)不同的排法.其中甲站在中间的位置，共有 A66720(种)不同的排法.甲、乙只能站在两端的排法共有 A22A55240(种).甲、乙不能站在两端的排法共有 A25A552400(种).甲不排头、乙不排尾的排法共有：方法一，甲排尾，共有 A66种不同的排法；甲不排尾，共有 A15A15A55种不同的排法；故共有 A66A15A15A553720(种)不同的排法.方法二，7 位同学站成
15、一排，共有 A77种不同的排法；甲排头，共有 A66种不同的排法；乙排尾，共有 A66种不同的排法；甲排头且乙排尾，共有 A55种不同的排法；故共有 A772A66A553720(种)不同的排法.先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的 5 个元素(同学)一起进行全排列有 A66种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有 A22种方法.这样的排法一共有A66A221440(种).甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有(方法同上)：A55A33720(种).甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有：方法一，将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有 6 个元素，
16、丙不能站在排头和排尾，可以从其余的 5 个元素中选取 2 个元素放在排头和排尾，有 A25种方法；将剩下的 4 个元素进行全排列有 A44种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有 A22种方法.这样的排法一共有 A25A44A22960(种)方法.方法二，将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有 6 个元素，若丙站在排头或排尾有 2A55种方法，丙不能站在排头和排尾的排法有(A662A55)A22960(种)方法.方法三，将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有 6 个元素，丙不能站在排头和排尾，可以从其余的四个位置选择共有 A14种方法，再将其余的 5 个元素进
17、行全排列共有 A 55种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”进行排列有 AA 22种方法，这样的排法一共有 A14A55A22960(种)方法.甲、乙两同学不能相邻的排法共有：方法一(排除法)，A77A66A223600(种).方法二(插空法)，先将其余五个同学排好有 A 55种方法，此时他们留下六个位置(就称为“空”吧)，再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有 A 26种方法，一共有 A55A263600(种)方法.甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有：先将其余四个同学排好有 A 44种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有 A 35种方法，一共有 A44
18、A351440(种).7 位同学站成一排，共有 A 77种不同的排法；甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有 A55A33720(种).故甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有 A77A55A334320(种)不同的排法.甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有：A22A55A14960(种).7 位同学站成一排，共有 A 77种不同的排法；甲、乙两同学相邻，一共有 A66A221440(种)；甲、丙两同学相邻，一共有 A66A221440(种)；甲、乙和丙三个同学都相邻且甲在乙和丙的中间，一共有A55A 22种；故甲、乙两同学不能相邻，甲、丙两同学也不能相邻的排法共有 A772A66A22A55A2224
19、00(种)不同的排法.7 位同学站成一排，共有 A 77种不同的排法，甲必须站在乙的左边的不同排法共有A772 2520(种).把甲、乙及中间 3 人看作一个整体，第一步先排甲乙两人，有 A 22种方法；第二步从余下 5 人中选 3 人排在甲、乙中间，有 A 35种；第三步把这个整体与余下 2 人进行全排列，有 A 33种方法.故共有 A22A35A33720(种).(2)6 本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有()A.24 种B.36 种C.48 种D.60 种答案：A解析：先不排甲和乙，把丙与丁看成一个元素与另两本书任意排；再
20、考虑丙丁顺序，共有 A33A2212(种)放法，再排甲和乙，甲乙放在两端有 A222(种)放法，根据分步乘法计数原理，不同的摆放方法有 12224(种).直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中【规律方法】涉及有限制条件的排列问题时，首先考虑特殊元素的排法或特殊位置上元素的选法，再考虑其他元素或其他位置(这种方法称为元素分析法或位置分析法).先整体后 局部“小集团”排列问题中先整体后局部定序问题除法处理对
21、于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法(续表)考点 3 组合问题例 5：(1)从 4 名男同学和 3 名女同学中，选出 3 人参加学校的某项调查，求在下列情况下，各有多少种不同的选法？无任何限制；甲、乙必须当选；甲、乙都不当选；甲、乙只有一人当选；甲、乙至少有一人当选；甲、乙至多有一人当选.思维点拨：此题不讲究顺序，故采用组合数.解：C3735.C155.C3510.C12C2520.直接法，有两种情况：甲、乙两人都当选和甲、乙只有一人当选，则 C15C12C2525.间接法，甲、乙至少有一人当选的对立事件为甲、乙都不当选，则 C37C352
22、5.直接法，有两种情况：甲、乙两人都不当选和甲、乙只有一人当选，则 C35C12C2530.间接法，甲、乙至多有一人当选的对立事件为甲、乙都当选，则 C37C1530.(2)某校开设 9 门课程供学生选修，其中 A，B，C 三门由于上课时间相同，至多选一门.学校规定，每位同学选修 4 门，共有_种不同的选修方案(用数值作答).答案：75解析：第一类若从 A，B，C 三门选一门有 C13C3660(种)；第二类若从其他六门选 4 门有 C4615(种).共有 601575(种)不同的方法.【规律方法】组合问题常有以下两类题型变化：“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出
23、，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；“至少”或“至多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”或“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.考点 4 排列组合中的平均分配问题例 6：六本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？(1)平均分成三堆，每堆两本；(2)平均分给甲、乙、丙三人，每人两本；(3)一堆一本，一堆两本，一堆三本；(4)甲得一本，乙得两本，丙得三本；(5)一人得一本，一人得两本，一人得三本.解：(1)C26C24C22A3315.(2)C26C24C
24、2290.(3)C16C25C3360.(4)C16C25C3360.(5)C16C25C33A33360.【规律方法】解决分组分配问题的策略：(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序 数)，避免重复计数.(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶 乘数，即若有 m 组元素个数相等，则分组时应除以 m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数.(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数.如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以 Ann(n 为均分的组【跟踪训练】1.某地发生了 7.0 级地
25、震，现派一支由 5 人组成的先锋救援队到该市 3 所学校进行紧急救灾，若每所学校至少 1 人，则不同的安排方案共有_种(用数字作答).150解析：先把五名志愿者分成三堆，有 2,2,1 和 3,1,1 两种情况，再分配到 3 所学校.前一种有C25C23A22 15(种)，后一种有 C3510(种).总共有(1510)A33150(种).2.某校高三年级六个班，现从外地转入 4 名学生安排在其中两个班，每班 2 名，则不同的安排方案种数为()A.6B.24C.180D.90解析：先把 4 名学生平均分成两组有C24C22A22 3(种)，再将两组分到六个班的两个班中有 A2630(种)，共有
26、33090(种)不同方案，故选 D.D思想与方法分类讨论思想在排列组合问题中的应用例题：(1)某学校为了迎接市春季运动会，从 5 名男生和 4名女生组成的田径运动队中选出 4 人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有 1 人入选的方法有_种.答案：86解析：由题意，可分三类考虑：第一类，男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为 C13C24C23C14C3331；第二类，男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为 C14C23C24C13C3434；第三类，男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为 C23C14C13C2421.入选的方法种数共有 31342186.(2)(2018 年浙江)
27、从 1,3,5,7,9 中任取 2 个数字，从 0,2,4,6 中任取 2 个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数.(用数字作答)答案：1260解析：方法一，首先任意排列再减去 0 排头的即可：C25C24A44C25C13A3314401801260.方法二，若不取 0，则排列数为 C25C23A44；若取 0，则排列数为 C25C13C13A33.因此一共有 C25C23A44C25C13C13A331260 个没有重复数字的四位数.【规律方法】在排列组合中由于某个元素的原因而导致其他元素位置的选取出现变化，故出现了分类讨论，分类讨论既不能重复，又不能遗漏，这样才能保证考虑事情的严谨
28、性.【跟踪训练】3.2019 年元旦假期，高二的 8 名同学准备拼车去旅游，其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐 4 名同学(乘同一辆车的 4 名同学不考虑位置)，其中(1)班 2 名同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4 名同学中恰有 2 名同学来自同一个班的乘坐方式共有()A.18 种C.36 种B.24 种D.48 种答案：B解析：由题意，第一类，(1)班的 2 名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个为 C233，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为 C12C124，共有3412(种)；第二类，(1)班的
29、2 名同学不在甲车上，则从剩下的 3 个班级中选择一个班级的 2 名同学在甲车上，为 C133，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为 C12C124，共有3412(种).综上，共有 121224(种)不同的乘车方式.故选B.1.排列、组合问题的求解方法与技巧.(1)特殊元素(特殊位置)优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.2.对于分配问题，一般是坚持先分组，再分配的原则，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.