1、2015-2016学年山东省青岛市平度市高三（上）12月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1集合M=x|lg（1x）0，集合N=x|x21，则MN=（）A（0，1）B0，1）C1，1D1，0）2已知命题p、q，则“p且q为假”是“p或q为真”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3向量，且，则cos2=（）ABCD4设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中错误的是（）A若m，mn，n，则B若，m，m，则mC若m，m，则D若，m，n，则mn5函数f（x）=的大致图象
2、是（）ABCD6设实数数列an，bn分别为等差数列与等比数列，且a1=b1=4，a4=b4=1，则以下结论正确的是（）Aa1b2Ba3b3Ca5b5Da6b67若正实数a，b满足a+b=1，则（）A有最大值4Bab有最小值C有最大值Da2+b2有最小值8已知函数f（x）=x2+mx+1，若命题“x00，f（x0）0”为真，则m的取值范围是（）A（，2B2，+）C（，2）D（2，+）9设定义在R上的奇函数y=f（x），满足对任意tR都有f（t）=f（1t），且时，f（x）=x2，则f（2015）的值等于（）ABC0D10设，Sn=a1+a2+an，在S1，S2，S50中，正数的个数是（）A25B
3、30C40D50二、填空：本大题共5小题，每小题5分，共25分11已知函数f（x）=，则f（f（）的值是=12在ABC中，若=3，b2a2=ac，则cosB的值为13观察下列等式：12=11222=31222+32=61222+3242=10照此规律，第n个等式可为14一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为15若函数f（x）满足：存在非零常数a，使f（x）=f（2ax），则称f（x）为“准奇函数”，给出下列函数：f（x）=x2；f（x）=（x1）3；f（x）=ex1；f（x）=cosx则以上函数中是“准奇函数”的序号是三、解答题：本大题共6小题，共75分
4、，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16已知函数（0）的最小正周期为（）求函数f（x）的单调增区间；（）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象求y=g（x）在区间0，10上零点的个数17把边长为a的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后，用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器（不计接缝），设容器的高为x，容积为V（x）（）写出函数V（x）的解析式，并求出函数的定义域；（）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积18如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，且ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点
5、（1）求证：直线AB1平面BC1D；（2）求证：平面BC1D平面ACC1A；（3）求三棱锥CBC1D的体积19设函数的图象在点（x，f（x）处的切线的斜率为k（x），且函数为偶函数若函数k（x）满足下列条件：k（1）=0；对一切实数x，不等式恒成立（）求函数k（x）的表达式；（）求证：（nN*）20设等比数列an的前n项和为Sn，且（）求k的值及数列an的通项公式；（）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为dn的等差数列，求数列的前n项和Tn，并求使成立的正整数n的最大值21已知函数f（x）=lnxax2+x，aR（）若f（1）=0，求函数f（x）的最大值；（）令g（x）=f
6、（x）（ax1），求函数g（x）的单调区间；（）若a=2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明x1+x22015-2016学年山东省青岛市平度市高三（上）12月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1集合M=x|lg（1x）0，集合N=x|x21，则MN=（）A（0，1）B0，1）C1，1D1，0）【考点】交集及其运算【专题】计算题；函数的性质及应用；集合【分析】分别求出M与N中不等式的解集确定出M与N，找出两集合的交集即可【解答】解：由M中不等式变形得：lg（1x）0=
7、lg1，且1x0，解得：0x1，即M=（0，1），由N中不等式解得：1x1，即N=1，1，则MN=（0，1），故选：A【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2已知命题p、q，则“p且q为假”是“p或q为真”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】根据复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系，得出判断【解答】解：“p且q为假”，p、q都可为假，故充分性不成立；“p或q为真”，p、q都可为真，故必要性不成立；故选D【点评】本题考查充分、必要与充要条件的判断，属于基础题，要掌握判断充要条件的方法3向
8、量，且，则cos2=（）ABCD【考点】两角和与差的余弦函数【专题】计算题；三角函数的求值【分析】根据向量平行的条件建立关于的等式，利用同角三角函数的基本关系算出sin=，再由二倍角的余弦公式加以计算，可得cos2的值【解答】解：，且，即，化简得sin=，cos2=12sin2=1=故选：D【点评】本题给出向量含有三角函数的坐标式，在向量互相平行的情况下求cos2的值着重考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的三角函数公式和向量平行的条件等知识，属于基础题4设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中错误的是（）A若m，mn，n，则B若，m，m，则mC若m，m，则D若，m，n，则mn
9、【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【解答】解：若m，mn，n，则由平面与平面垂直的判定定理得，故A正确；若，m，m，则由直线与平面平行的判定定理得m，故B正确；若m，m，则由平面与平面垂直的判定定理得，故C正确；若，m，n，则m与n相交、平行或异面，故D错误故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养5函数f（x）=的大致图象是（）ABCD【考点】函数的图象【专题】常规题型；函数的性质及应用【分析】函数图象题一般用排除法【解答】解：由函数f（x）=可知，函数值都不小于0，故排除A、C、D，故选B
10、【点评】本题考查了函数图象的性质，利用排除法解答，属于中档题6设实数数列an，bn分别为等差数列与等比数列，且a1=b1=4，a4=b4=1，则以下结论正确的是（）Aa1b2Ba3b3Ca5b5Da6b6【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，a1=b1=4，a4=b4=1，4+3d=4q3=1，解得d=1，q3=an=4（n1）=5n，bn=4qn1=由于b2=4=a1，A正确，故选：A【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式
11、，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7若正实数a，b满足a+b=1，则（）A有最大值4Bab有最小值C有最大值Da2+b2有最小值【考点】基本不等式【专题】计算题【分析】由于=2+4，故A不正确由基本不等式可得 a+b=12，可得 ab，故B不正确由于 =1+22，故，故 C 正确由a2+b2 =（a+b）22ab1=，故D不正确【解答】解：正实数a，b满足a+b=1，=2+2+2=4，故有最小值4，故A不正确由基本不等式可得 a+b=12，ab，故ab有最大值，故B不正确 由于 =a+b+2=1+22，故有最大值为，故C正确a2+b2 =（a+b）22ab=12ab1=，故a2+b2有最小
12、值，故D不正确故选：C【点评】本题考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题8已知函数f（x）=x2+mx+1，若命题“x00，f（x0）0”为真，则m的取值范围是（）A（，2B2，+）C（，2）D（2，+）【考点】特称命题；命题的否定【专题】不等式的解法及应用【分析】根据“命题“x00，f（x0）0”为真”，不等式对应的是二次函数，利用二次的图象与性质加以解决即可【解答】解：因为函数f（x）=x2+mx+1的图象过点（0，1），若命题“x00，f（x0）0”为真，则函数f（x）=x2+mx+1的图象的对称轴必在y轴的右侧，且与x轴有两个交点，=m240，
13、且0，即m2，则m的取值范围是：（，2）故选C【点评】本题考查特称命题、二次不等式恒成立，解决此类问题要结合二次函数的图象处理9设定义在R上的奇函数y=f（x），满足对任意tR都有f（t）=f（1t），且时，f（x）=x2，则f（2015）的值等于（）ABC0D【考点】函数的值【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用【分析】根据已知可得函数y=f（x）是周期为2的周期函数，结合时，f（x）=x2，可得答案【解答】解：函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（t）=f（1t），f（x+2）=f1（x+2）=f（x1）=f（x+1）=f1（x+1）=f（x）=f（x），即函数y=f（x）是周期
14、为2的周期函数，故f（2015）=f（1）=f（0），又时，f（x）=x2，f（2015）=f（1）=f（0）=0，故选：C【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的对称性，函数的周期性，函数求值，根据已知分析出函数y=f（x）是周期为2的周期函数，是解答的关键10设，Sn=a1+a2+an，在S1，S2，S50中，正数的个数是（）A25B30C40D50【考点】数列的求和【专题】计算题；点列、递归数列与数学归纳法；三角函数的求值【分析】由可知当0n25时，an0，当25n50时，an0；再结合S1=sin0，S500，从而判断即可【解答】解：，当0n25时，an0，当25n50时，an0
15、；Sn在1，25上单调递增，在（25，50上单调递减；S1=sin0，S50=sin+sin+0+sin+sin+0=（1）sin+（）sin+（）sin+00，S1，S2，S50都是正数，故选D【点评】本题考查了数列的递减性的判断与数列前n和的求法，同时考查了三角函数诱导公式的应用二、填空：本大题共5小题，每小题5分，共25分11已知函数f（x）=，则f（f（）的值是=2【考点】对数的运算性质；函数的值【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】利于抑制投机求出f（）的值，然后求解所求表达式的值【解答】解：函数，f（）=2+=4=f（4）=2故答案为：2【点评】本题考查函数值的求法，指数以及对数
16、的运算法则，解题方法是由里及外逐步求解，考查计算能力12在ABC中，若=3，b2a2=ac，则cosB的值为【考点】正弦定理；余弦定理【专题】方程思想；转化思想；解三角形【分析】由=3，利用正弦定理可得，代入b2a2=ac，可得b2=再利用余弦定理即可得出【解答】解：在ABC中， =3，c=3a，代入b2a2=ac，解得b2=则cosB=故答案为：【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13观察下列等式：12=11222=31222+32=61222+3242=10照此规律，第n个等式可为【考点】归纳推理【专题】压轴题；规律型【分析】等式的左边是正整数的平
17、方和或差，根据这一规律得第n个等式左边为1222+3242+（1）n1n2再分n为奇数和偶数讨论，结合分组求和法求和，最后利用字母表示即可【解答】解：观察下列等式：12=11222=31222+32=61222+3242=10分n为奇数和偶数讨论：第n个等式左边为1222+3242+（1）n1n2当n为偶数时，分组求和（1222）+（3242）+（n1）2n2=，当n为奇数时，第n个等式左边=（1222）+（3242）+（n2）2（n1）2+n2=+n2=综上，第n个等式为故答案为：【点评】本题考查规律型中的数字变化问题，找等式的规律时，既要分别看左右两边的规律，还要注意看左右两边之间的联系1
18、4一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为11【考点】由三视图求面积、体积【专题】数形结合；数形结合法；立体几何【分析】该几何体为长方体切去一个棱锥得到的，作出直观图，使用作差法求体积【解答】解：由三视图可知该几何体为长方体切去一个棱锥AAMD得到的，直观图如图所示，V=223123=11故答案为11【点评】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，对于不规则几何体常采用作差法，分解法等求体积15若函数f（x）满足：存在非零常数a，使f（x）=f（2ax），则称f（x）为“准奇函数”，给出下列函数：f（x）=x2；f（x）=（x1）3；f（x）=ex1；f（
19、x）=cosx则以上函数中是“准奇函数”的序号是【考点】抽象函数及其应用【专题】计算题；新定义；数形结合；函数的性质及应用【分析】根据准奇函数的定义，先求f（2ax），并判断它能否等于f（x），并根据f（2ax）=f（x）求出a，若a0便得到该函数是准奇函数，若a=0便不是按照这个方法即可判断每个选项的函数是否为准奇函数【解答】解：Af（2ax）=（2ax）20，f（x）=x20，f（x）=x2不是准奇函数；B由f（2ax）=（2ax1）3=（x2a+1）3=（x1）3得，2a+1=1，a=1，即存在a=1，使f（x）=f（2ax）；该函数为准奇函数；Cf（2ax）=e2ax10，而f（x）=
20、ex10，该函数不是准奇函数；D存在非零常数，使f（2x）=cos（2x）=cosx=f（x），该函数是准奇函数故答案为：【点评】考查对新概念准奇函数的理解程度，以及根据准奇函数的定义判断一个函数是否为准奇函数的过程三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16已知函数（0）的最小正周期为（）求函数f（x）的单调增区间；（）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象求y=g（x）在区间0，10上零点的个数【考点】两角和与差的正弦函数；函数的零点；正弦函数的单调性；函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】计算题；
21、三角函数的图像与性质【分析】（I）根据二倍角的三角函数公式与辅助角公式化简得，利用周期公式算出=1，得函数解析式为再由正弦函数单调区间的公式，解关于x的不等式即可得到函数f（x）的单调增区间；（II）根据函数图象平移的公式，得出函数g（x）的解析式为g（x）=2sin2x+1由此解g（x）=0得sin2x=，利用正弦函数的图象解出或，可见g（x）在每个周期上恰有两个零点，即可算出g（x）在区间0，10上零点的个数【解答】解：（）由题意，可得f（x）=函数的最小正周期为， =，解之得=1由此可得函数的解析式为令，解之得函数f（x）的单调增区间是 （）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移
22、1个单位，可得函数y=f（x+）+1的图象，g（x）=+1=2sin2x+1，可得y=g（x）的解析式为g（x）=2sin2x+1令g（x）=0，得sin2x=，可得2x=或2x=解之得或函数g（x）在每个周期上恰有两个零点，函数y=g（x）在0，10恰好有10个周期，g（x）在0，10上有20个零点【点评】本题给出三角函数式满足的条件，求函数的单调区间并依此求函数g（x）在0，10上零点的个数着重考查了二倍角的三角函数公式、辅助角公式与三角函数的图象与性质等知识，属于中档题17把边长为a的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后，用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器（不计接缝）
23、，设容器的高为x，容积为V（x）（）写出函数V（x）的解析式，并求出函数的定义域；（）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数模型的选择与应用【专题】综合题【分析】（）根据容器的高为x，求得做成的正三棱柱形容器的底边长，从而可得函数V（x）的解析式，函数的定义域；（）实际问题归结为求函数V（x）在区间上的最大值点，先求V（x）的极值点，再确定极大值就是最大值即可【解答】解：（）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为则函数的定义域为（）实际问题归结为求函数V（x）在区间上的最大值点先求V（x）的极值点在开区间内，令V（x）=0，即令，解
24、得（舍去）因为在区间内，x1可能是极值点当0xx1时，V（x）0；当时，V（x）0因此x1是极大值点，且在区间内，x1是唯一的极值点，所以是V（x）的最大值点，并且最大值 即当正三棱柱形容器高为时，容器的容积最大为【点评】本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，解题的关键是求出体积，利用导数知识求解单峰函数，极值就是最值18如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，且ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点（1）求证：直线AB1平面BC1D；（2）求证：平面BC1D平面ACC1A；（3）求三棱锥CBC1D的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定【专题
25、】综合题；空间位置关系与距离【分析】（1）连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点可得DO为AB1C中位线，A1BOD，结合线面平行的判定定理，得A1B平面BC1D；（2）由AA1底面ABC，得AA1BD正三角形ABC中，中线BDAC，结合线面垂直的判定定理，得BD平面ACC1A1，最后由面面垂直的判定定理，证出平面BC1D平面ACC1A；（3）利用等体积转换，即可求三棱锥CBC1D的体积【解答】（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点D为AC中点，得DO为AB1C中位线，A1BODOD平面AB1C，A1B平面BC1D，直线AB1平面BC1D；（2）
26、证明：AA1底面ABC，AA1BD，底面ABC正三角形，D是AC的中点BDACAA1AC=A，BD平面ACC1A1，BD平面BC1D，平面BC1D平面ACC1A；（3）解：由（2）知，ABC中，BDAC，BD=BCsin60=3，SBCD=，VCBC1D=VC1BCD=6=9【点评】本题给出直三棱柱，求证线面平行、面面垂直并探索三棱锥的体积，着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了锥体体积公式的应用，属于中档题19设函数的图象在点（x，f（x）处的切线的斜率为k（x），且函数为偶函数若函数k（x）满足下列条件：k（1）=0；对一切实数x，不等式恒成立（）求函数k（x）的表达式；（）
27、求证：（nN*）【考点】综合法与分析法(选修）；函数奇偶性的性质；函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】证明题【分析】（）由已知得：k（x）=f（x），根据g（x）的奇偶性求出b，根据k（1）=0，求出，再由对一切实数x恒成立，解得a、c的值，即得函数k（x）的表达式（）根据，即证，把代入要证不等式的左边化简即可证得不等式成立【解答】解：（）由已知得：k（x）=f（x）=ax2+bx+c由为偶函数，得为偶函数，显然有又k（1）=0，所以ab+c=0，即又因为对一切实数x恒成立，即对一切实数x，不等式恒成立显然，当时，不符合题意当时，应满足，注意到，解得 所以 （）证明：因为，所
28、以要证不等式成立，即证因为，所以=所以成立【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，函数的恒成立问题，利用导数研究曲线在某点的切线斜率，以及用裂项法对数列进行求和，属于难题20设等比数列an的前n项和为Sn，且（）求k的值及数列an的通项公式；（）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为dn的等差数列，求数列的前n项和Tn，并求使成立的正整数n的最大值【考点】数列的求和；数列递推式【专题】方程思想；转化思想；分类法；等差数列与等比数列【分析】（I）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出（II）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式可得Tn，再利用不等式的性质即可得出【解答】
29、解：（），当n2时，两式相减得：，当n=1时，即S1=3+k，数列an为等比数列，解得：k=1通项公式（）由（）知，an+1=an+（n+1）dn，令，则 得=，即，3n81，得n4，使成立的正整数n的最大值为4【点评】本题考查了递推关系、“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21已知函数f（x）=lnxax2+x，aR（）若f（1）=0，求函数f（x）的最大值；（）令g（x）=f（x）（ax1），求函数g（x）的单调区间；（）若a=2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明x1+x2【考点】导数在最大值、最小值问题中的
30、应用；利用导数研究函数的单调性【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】（1）先求出a的值，然后求原函数的极值即可；（2）求导数，然后通过研究不等式的解集确定原函数的单调性；（3）结合已知条件构造函数，然后结合函数单调性得到要证的结论【解答】解：（）因为f（1）=，所以a=2此时f（x）=lnxx2+x，x0，由f（x）=0，得x=1，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，故当x=1时函数有极大值，也是最大值，所以f（x）的最大值为f（1）=0 （），所以当a0时，因为x0，所以g（x）0所以g（x）在（0，+）上是递增函数，当a0时，令g（x）=0，得所以当时，g（x）0；当时，g（x）0，因此函数g（x）在是增函数，在是减函数综上，当a0时，函数g（x）的递增区间是（0，+），无递减区间；当a0时，函数g（x）的递增区间是，递减区间是（）由x10，x20，即x1+x20令t=x1x2，则由x10，x20得，t0可知，（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+）上单调递增所以（t）（1）=1，所以，解得或又因为x10，x20，因此成立【点评】本题难度较大，属于利用导数研究函数的单调性、最值，以及利用导数证明单调性进一步研究不等式问题的题型