1、第三讲导数的简单应用 1.已知函数f(x)=xsin x+ax,且f 2=1,则a=()A.0 B.1 C.2 D.42.(2018河北石家庄模拟)已知f(x)=lnxx,其中e为自然对数的底数,则()A.f(2)f(e)f(3)B.f(3)f(e)f(2)C.f(e)f(2)f(3)D.f(e)f(3)f(2)3.(2018安徽合肥质量检测)已知直线2x-y+1=0与曲线y=aex+x相切,其中e为自然对数的底数,则实数a的值是()A.e B.2eC.1 D.24.(2018辽宁沈阳质量检测)设函数f(x)=xex+1,则()A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x
2、=-1为f(x)的极大值点D.x=-1为f(x)的极小值点5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(-3)=f(5)=1, f (x)为f(x)的导函数,且导函数y=f (x)的图象如图所示,则不等式f(x)0都有2f(x)+xf (x)0成立,则()A.4f(-2)9f(3)C.2f(3)3f(-2)D.3f(-3)0)分别与曲线y=2x+1,y=x+ln x交于A,B两点,则|AB|的最小值为.9.已知函数f(x)=ln x,g(x)=x2+mx(mR),若函数f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线与函数g(x)的图象相切,则m的值为.10.已知函数f(x)=x3-2x+ex-1ex,其中
3、e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)0,则实数a的取值范围是.11.已知函数f(x)=excos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间0,2上的最大值和最小值.12.(2018江西南昌模拟)设函数f(x)=2ln x-mx2+1.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当f(x)有极值时,若存在x0,使得f(x0)m-1成立,求实数m的取值范围.答案精解精析1.Af (x)=sin x+xcos x+a,且f 2=1,sin 2+2cos 2+a=1,即a=0.2.Df(x)=lnxx,f (x)=1-lnxx2.令f (x)=
4、0,解得x=e.当x(0,e)时, f (x)0,函数f(x)单调递增;当x(e,+)时, f (x)0,函数f(x)单调递减,故f(x)在x=e处取得最大值f(e).f(2)-f(3)=ln22-ln33=3ln2-2ln36=ln8-ln960,f(2)f(3)f(2).故选D.3.Cy=aex+x,y=aex+1.设直线2x-y+1=0与曲线y=aex+x相切的切点坐标为(m,n),则y|x=m=aem+1=2,得aem=1.又n=aem+m=2m+1,m=0,n=1,a=1.故选C.4.D由题意得f (x)=(x+1)ex,令f (x)=0,得x=-1.当x(-,-1)时, f (x)
5、0,则f(x)在(-,-1)上单调递减,在(-1,+)上单调递增,所以x=-1为f(x)的极小值点.故选D.5.B由题图可知,当x0时, f (x)0, f(x)是增函数;当x0时, f (x)0, f(x)是减函数.又f(-3)=f(5)=1,因此不等式f(x)0都有2f(x)+xf (x)0成立,则当x0时,有g(x)=x2f(x)+xf (x)0恒成立,即函数g(x)在(0,+)上为增函数.又由函数f(x)是定义在R上的偶函数,则f(-x)=f(x),则有g(-x)=(-x)2f(-x)=x2f(x)=g(x),即函数g(x)也为偶函数,则有g(-2)=g(2),且g(2)g(3),则有
6、g(-2)g(3),即有4f(-2)9f(3).故选A.7.答案(0,1)解析函数f(x)=x2-2ln x的定义域为(0,+), f (x)=2x-2x=2(x+1)(x-1)x,令f (x)0,得0x1,函数f(x)的单调递减区间是(0,1).8.答案2解析设A(a,yA),B(a,yB),则yA=2a+1,yB=a+ln a.所以|AB|=|yA-yB|=|a+1-ln a|.令f(a)=a+1-ln a,则f (a)=1-1a,所以函数f(a)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,于是当a=1时, f(a)取得最小值2,即|AB|min=2.9.答案-1或3解析易知f(1)=
7、0, f (x)=1x,从而得到f (1)=1,函数f(x)的图象在点(1, f(1)处的切线方程为y=x-1.解法一:设直线y=x-1与函数g(x)=x2+mx(mR)的图象相切于点P(x0,y0),从而可得g(x0)=1,g(x0)=x0-1.又g(x)=2x+m,因此有g(x0)=2x0+m=1,x02+mx0=x0-1,得x02=1,解得x0=1,m=-1或x0=-1,m=3.解法二:联立y=x-1,y=x2+mx,得x2+(m-1)x+1=0,所以=(m-1)2-4=0,解得m=-1或m=3.10.答案-1,12解析易知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.f(x)=x3-2x+e
8、x-1ex,f(-x)=(-x)3-2(-x)+e-x-1e-x=-x3+2x+1ex-ex=-f(x),f(x)为奇函数.又f (x)=3x2-2+ex+1ex3x2-2+2=3x20(当且仅当x=0时,取“=”),从而f(x)在R上单调递增,f(a-1)+f(2a2)0f(a-1)f(-2a2)-2a2a-1,解得-1a12.11.解析(1)因为f(x)=excos x-x,所以f (x)=ex(cos x-sin x)-1,所以f (0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=ex(cos x-sin x)-1,则h(x)
9、=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.当x0,2时,h(x)0,所以h(x)在区间0,2上单调递减.所以对任意x0,2,有h(x)h(0)=0,即f (x)0,f(x)在(0,+)上单调递增;当m0时,令f (x)0,则0x1m,令f (x)1m,f(x)在0,mm上单调递增,在mm,+上单调递减.(2)由(1)知,当f(x)有极值时,m0,且f(x)在0,mm上单调递增,在mm,+上单调递减,f(x)max=fmm=2ln mm-m1m+1=-ln m.若存在x0,使得f(x0)m-1成立,则f(x)maxm-1,即-ln mm-1,ln m+m-10),g(x)=1+1x0,g(x)在(0,+)上单调递增,且g(1)=0,0m1.实数m的取值范围是(0,1).
