1、2.1.3 向量的减法 1.掌握向量减法的运算,并理解其几何意义.2.明确相反向量的意义,能用相反向量解释向量相减的意义.3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算.1 2 1.向量减法的定义(1)已知向量 a,b(如图),作 =a,=b,则 b+=a,向量 叫做向量 a 与 b 的差,记作 a-b,即 =a-b=.(2)向量的减法是向量加法的逆运算,若把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量.(3)一个向量 等于它的终点相对于点 O 的位置向量 减去它的始点相对于点 O 的位置向量 ,或简记“终点向量减始点向量”.1 2【做一做1】如图,在
2、ABCD中,分别是()A.a+b和a-b B.a+b和b-a C.a-b和b-a D.b-a和b+a 答案:B =a,=b,则用 a,b 表示向量 和 1 2 2.相反向量(1)定义.与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量,记作-a(如图所示).(2)性质.a+(-a)=(-a)+a=0;-(-a)=a;零向量的相反向量仍是0,即0=-0.(3)向量减法的再理解.从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量,因此,关于向量减法的作图,一是利用向量减法的定义直接作图,二是利用相反向量作图.1 2 名师点拨相反向量必须具备两个条件:方向相反、模相等.不能认为:方向相反的两个向量就是相反
3、向量.互为相反向量的两个向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相反向量.1 2【做一做 2】已知ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O,且 =a,=b,用 a,b 表示向量 为()A.a+bB.-a-bC.-a+bD.a-b解析:由平行四边形的对角线互相平分的性质,知 =-,即 =-a,所以 =-a-b.答案:B 1.向量减法的三角形法则与平行四边形法则的比较 剖析从“相反向量”这个角度看,a-b的作法有两种:三角形法则和平行四边形法则.(1)减法的三角形法则的作法.(a-b)+b=a+(-b)+b=a+0=a,在平面内取一点O,作=a-b,即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a
4、的终点的向量.具体作法如图(a,b不共线)及图(a,b共线).=a,=b,则 (2)减法的平行四边形法则的作法.当a,b不共线时,如图,在平面内任取一点O,作=-b,则由向量加法的平行四边形法则,可得=a+(-b)=a-b,这是向量减法的平行四边形法则.=a,知识归纳1.向量的减法是向量加法的逆运算.求两个向量的差,可以把两个向量的始点放在一起,则它们的差是以减向量的终点为始点,以被减向量的终点为终点的向量.2.以非零向量 =a 与 =b 为邻边作ABCD,则两条对角线对应的向量为 =a+b,=b-a,=a-b,这一结论在以后的应用中非常重要.2.教材中的“探索与研究”在坐标纸上或用作图软件画
5、两个向量,然后作它们的和,研究当两个向量的方向变化时,它们的和向量变化的情况.你从中能得到哪些结论?写出小论文谈谈你对向量和的认识,并与老师和同学交流.剖析设向量a和b,当向量a和b的方向发生变化时,其和向量a+b会发生变化,当a与b共线且同向时,a+b的模最大,|a+b|=|a|+|b|;当a与b共线且方向相反时,不妨设|a|b|,此时a+b的模最小,|a+b|=|a|-|b|.类比向量的加法,对于向量的减法,有如下结论:|a|-|b|a-b|a|+|b|.当a,b同向时,|a-b|=|a|-|b|;当a,b反向时,|a-b|=|a|+|b|.题型一 题型二 题型三 题型一向量的减法运算【例
6、 1】化简:()-().分析本题主要有三种思路:一是把向量的减法转化为向量的加法进行化简;二是利用向量的减法法则进行化简;三是设一个辅助点O,利用的关系进行化简.事实上,平面内任一向量都可以写成两个向量的和;同样,任一向量都可以写成两个向量的差.要学会通过这种转化来简化运算.=题型一 题型二 题型三 解法一()-()=+=+=(+)+(+)=+=0.解法二()-()=()+()=+()=+=0.解法三在平面上取一点 O,则()-()=()-()-()+()=+=0.题型一 题型二 题型三 反思在求和向量或差向量时,应先考虑共线、共始点、共终点、相等向量、相反向量等有特殊位置关系的两个向量的和或
7、差,比如本例中 与 共始点,与 共终点,可先从它们中间突破.还有,解答本题的过程中易出现把 =写成 =的错误,导致此种错误的原因是没理解向量减法的意义.题型一 题型二 题型三【变式训练 1】化简下列各式:(1)+;(2)()-(+).解:(1)+=+=0;(2)()-(+)=+=.题型一 题型二 题型三 题型二向量加减法的几何作图【例2】如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.分析首先在平面内选一始点,然后利用向量加法和向量减法的作图法则作图即可(平移向量时要注意向量的方向).题型一 题型二 题型三 解法一在平面内任取一点 O,作 =a,=b,则 =a+b,再作 =c,则 =a+b
8、-c,如图(1)所示.解法二在平面内任取一点 O,作 =a,=b,则 =a+b,以 B 点为始点作 =-c,则 =a+b-c,如图(2)所示.图(1)图(2)题型一 题型二 题型三 反思求作向量的和与差,要注意三角形法则和平行四边形法则的应用,求作两个向量的差可以转化为两个向量的和来进行,如a-b,可以作出-b,然后再用加法a+(-b)即可,也可以直接用向量减法的三角形法则,即把两向量的始点重合,则两个向量的差向量是连接两个向量的终点,且指向被减向量的终点的向量.题型一 题型二 题型三【变式训练 2】已知矩形 ABCD,作出向量 .解:如图,在矩形 ABCD 中,延长 CD 至 E,使 DE=
9、CD,延长 BA 至F,使 AF=BA,则 =,于是 =.题型一 题型二 题型三 题型三向量加减法的应用【例3】已知不共线向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|=2,求|a+b|.分析根据向量加、减法的几何意义作出平面图形,利用平面几何知识求解.题型一 题型二 题型三 解:在平面内任取一点 O(如图),作 =a,=b,由三角形法则必有 =a-b,于是OAB 是边长为 2 的等边三角形.再以 OA,OB 为邻边作平行四边形 OACB,则 =a+b.设 AB 与 OC 相交于点 M,因为OAB 是等边三角形,所以四边形 OACB 是菱形,则 OCAB.于是 OM=22-12=3,从而 OC=2O
10、M=2 3,即|a+b|=2 3.题型一 题型二 题型三 反思结合向量加法、减法的几何意义作出平面图形,然后借助平面几何的相关知识解决问题是向量中的一种重要的思想方法.题型一 题型二 题型三【变式训练3】已知|a|=|b|=|a+b|=1,求|a-b|.解:如图,根据向量加法的平行四边形法则可知,当|a|=|b|=1时,平行四边形ABCD为菱形.|a+b|=1,ABC为等边三角形,ABC=60.|a-b|=|=2|=2|2-|2=2 12-12 2=3.123451.下列等式中,正确的个数为()0-a=-a;-(-a)=a;a+(-a)=0;a+0=a;a-b=a+(-b);a-(-a)=0.A.3B.4C.5D.6 解析:只有错误,其余均正确.答案:C 123452.可以写成:+;.其中 正确的是()A.B.C.D.解析:由三角形法则,知正确.答案:D 123453.如图,已知 ABCDEF 是一个正六边形,O 是它的中心,其中 =a,=b,=c,则 等于()A.a+bB.b-aC.c-bD.b-c解析:=b-c.答案:D 123454.已知 =a,=b,若|=12,|=5,且AOB=90,则|a-b|=.解析:|a-b|=|=|=122+52=13.答案:13 123455.化简:()+()+=.解析:原式=+=+=+=.答案: