1、2014-2015学年山东省青岛市城阳一中高三（上）期中数学试卷（理科）一选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的1已知集合M=x|xx2，N=y|y=2x，xR，则MN=（） A （0，1） B 0，1 C 0，1） D （0，12已知=a+i（a，bR），其中i为虚数单位，则a+b=（） A 4 B 4 C 10 D 103数列an为等差数列，a1，a2，a3为等比数列，a5=1，则a10=（） A 5 B 1 C 0 D 14函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，0）的图象如图所示，则f（）的值为（） A B 0 C 1 D 5已
2、知向量，=（3，m），mR，则“m=6”是“”的（） A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件6定义运算=adbc，若函数f（x）=在（，m）上单调递减，则实数m的取值范围是（） A （2，+） B 2，+） C （，2） D （，27已知数列an满足：则数列an通项公式为（） A B C D 8已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（） A 图象关于点（，0）中心对称 B 图象关于x=轴对称 C 在区间，单调递增 D 在，单调递减9函数，若f（4）=f（0），f（2）=2，则关于x的方程f（
3、x）=x的解的个数为（） A 1 B 2 C 3 D 410在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，bR，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意aR，a*0=a；（2）对任意a，bR，a*b=ab+（a*0）+（b*0）关于函数f（x）=（ex）*的性质，有如下说法：函数f（x）的最小值为3；函数f（x）为偶函数；函数f（x）的单调递增区间为（，0其中所有正确说法的个数为（） A 0 B 1 C 2 D 3二、填空题（本题包括5小题，共25分）11已知|=2，|=4，以，为邻边的平行四边形的面积为4，则和的夹角为12若数列an的前n项和为Sn=an+，则数列an的通项公式是an=1
4、3设ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c若（a+bc）（a+b+c）=ab，则角C=14曲线y=2sinx（0x）与直线y=1围成的封闭图形的面积为15已知函数，g（x）=|xk|+|x1|，若对任意的x1，x2R，都有f（x1）g（x2）成立，则实数k的取值范围为三解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）求函数f（x）在0，上的单调递减区间17已知an为等差数列，且a3=5，a7=2a41（）求数列an的通项公式及其前n项和Sn；（）若数列bn满足求数列bn的通项公式18在ABC中，角A
5、、B、C所对的边分别是a、b、c，且a2+c2b2=ac（）求sin2+cos2B的值；（）若b=2，求ABC面积的最大值19已知函数f（x）=xlnx （1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若f（x）x2+ax6在（0，+）上恒成立，求实数a的取值范围20已知公比为q的等比数列an是递减数列，且满足a1+a2+a3=，a1a2a3=（1）求数列an的通项公式； （2）求数列（2n1）an的前n项和为Tn； （3）若bn=+（nN*），证明：+21已知函数f（x）=lnx+ax2（a+1）x（aR）（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）当a0时，若f（x
6、）在区间1，e上的最小值为2，求a的值；（3）若对任意x1，x2（0，+），x1x2，且f（x1）+x1f（x2）+x2恒成立，求a的取值范围2014-2015学年山东省青岛市城阳一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的1已知集合M=x|xx2，N=y|y=2x，xR，则MN=（） A （0，1） B 0，1 C 0，1） D （0，1考点： 交集及其运算专题： 集合分析： 求出M中不等式的解集确定出M，求出N中y的范围确定出N，求出两集合的交集即可解答： 解：由M中的不等式变形得：x（
7、x1）0，解得：0x1，即M=0，1；由N中的y=2x0，得到N=（0，+），则MN=（0，1故选：D点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2已知=a+i（a，bR），其中i为虚数单位，则a+b=（） A 4 B 4 C 10 D 10考点： 复数代数形式的乘除运算专题： 数系的扩充和复数分析： 利用复数的代数形式的乘除运算及复数相等的性质可求得答案解答： 解：=a+i，=a，=1，解得：b=7，a=3a+b=7+3=4故选：A点评： 本题考查复数代数形式的乘除运算，将复数分母实数化是化简的关键，考查复数相等与运算能力，属于基础题3数列an为等差数列，a1，a2，a3
8、为等比数列，a5=1，则a10=（） A 5 B 1 C 0 D 1考点： 等差数列的通项公式专题： 等差数列与等比数列分析： 根据题意，得出a1=a3=a2，数列an是常数列；由此求出a10的值解答： 解：根据题意，得，a1a3=，整理，得=0；a1=a3，a1=a3=a2；数列an是常数列，又a5=1，a10=1故选：D点评： 本题考查了等差与等比数列的应用问题，解题时应根据等差中项与等比中项的知识，求出数列是常数列，从而解答问题，是基础题4函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，0）的图象如图所示，则f（）的值为（） A B 0 C 1 D 考点： 由y=Asin（x+）的部分图象确定
9、其解析式专题： 三角函数的图像与性质分析： 利用y=Asin（x+）的部分图象可确定振幅A及周期T，继而可求得=2，利用曲线经过（，2），可求得，从而可得函数解析式，继而可求f（）的值解答： 解：由图知，A=2，T=，T=，解得=2，又2+=2k+（kZ），=2k+（kZ），0，=，f（x）=2sin（2x+），f（）=2sin=故选：D点评： 本题考查利用y=Asin（x+）的部分图象确定解析式，的确定是关键，考查识图与运算能力，属于中档题5已知向量，=（3，m），mR，则“m=6”是“”的（） A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件考点： 平面向量共
10、线（平行）的坐标表示专题： 平面向量及应用分析： 由1（2+m）22=0，即可得出解答： 解：=（1，2）+（3，m）=（2，2+m）由1（2+m）22=0，m=6因此“m=6”是“”的充要条件故选：A点评： 本题考查了向量的共线定理、充要条件，属于基础题6定义运算=adbc，若函数f（x）=在（，m）上单调递减，则实数m的取值范围是（） A （2，+） B 2，+） C （，2） D （，2考点： 二次函数的性质专题： 新定义分析： 先根据新定义化简函数解析式，然后求出该函数的单调减区间，然后使得（，m）是减区间的子集，从而可求出m的取值范围解答： 解：，=（x1）（x+3）2（x）=x2+
11、4x3=（x+2）27，f（x）的单调递减区间为（，2），函数在（，m）上单调递减，（，m）（，2），即m2，实数m的取值范围是m2故选D点评： 本题主要考查求二次函数的性质的应用，以及新定义，同时考查了运算求解的能力和分析问题的能力，属于基础题7已知数列an满足：则数列an通项公式为（） A B C D 考点： 数列递推式专题： 计算题；等差数列与等比数列分析： 取倒数，可得是以2为首项，2为公比的等比数列，由此可得结论解答： 解：=1+a1=1是以2为首项，2为公比的等比数列故选C点评： 本题考查数列递推式，考查数列的通项，取倒数，得到是以2为首项，2为公比的等比数列是关键8已知函数f（x
12、）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（） A 图象关于点（，0）中心对称 B 图象关于x=轴对称 C 在区间，单调递增 D 在，单调递减考点： 函数y=Asin（x+）的图象变换专题： 三角函数的图像与性质；简易逻辑分析： 根据函数图象的平移变换法则“左加右减，上加下减”，易得到函数y=sin2x的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式，然后利用函数的对称性，单调性判断选项即可解答： 解：函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到的图象对应的函数为y=sin2（x+）=sin（2x+）对于A，当x=时，y=sin（）0图象不关于点
13、（，0）中心对称，A不正确；对于B，当x=时，y=sin0=0，图象不关于x=轴对称，B不正确对于C，y=sin（2x+）的周期是当x=时，函数取得最大值，x=时，函数取得最小值，在区间，单调递增，C正确；对于D，y=sin（2x+）的周期是当x=时，函数取得最大值，在，单调递减不正确，D不正确；故选：C点评： 本题考查的知识点是函数图象的平移变换，其中熟练掌握图象的平移变换法则“左加右减，上加下减”，是解答本题的关键9函数，若f（4）=f（0），f（2）=2，则关于x的方程f（x）=x的解的个数为（） A 1 B 2 C 3 D 4考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象分析：
14、 由f（4）=f（0），f（2）=2得关于b和c的两个方程，求出b、c，再分x0和x0两段，分别解方程f（x）=x即可解答： 解：由题知，解得b=4，c=2故，当x0时，由f（x）=x得x2+4x+2=x，解得x=1，或x=2，即x0时，方程f（x）=x有两个解又当x0时，有x=2适合，故方程f（x）=x有三个解故选C点评： 本题考查待定系数法求函数解析式、分段函数、及解方程问题，难度不大10在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，bR，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意aR，a*0=a；（2）对任意a，bR，a*b=ab+（a*0）+（b*0）关于函数f（x）=（ex）*的性
15、质，有如下说法：函数f（x）的最小值为3；函数f（x）为偶函数；函数f（x）的单调递增区间为（，0其中所有正确说法的个数为（） A 0 B 1 C 2 D 3考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明专题： 综合题；新定义；函数的性质及应用分析： 根据新定义的运算表示出f（x）的解析式，然后逐项研究函数的性质即可作出判断解答： 解：由定义的运算知，f（x）=）=（ex）*=1+ex+，f（x）=1+ex+=3，当且仅当，即x=0时取等号，f（x）的最大值为3，故正确；f（x）=1+=1+=f（x），f（x）为偶函数，故正确；f（x）=，当x0时，f（x）=0，f（x）在（，0上单调递减，
16、故错误故正确说法的个数是2，故选C点评： 本题是一个新定义运算型问题，考查了函数的最值、奇偶性、单调性等有关性质以及同学们类比运算解决问题的能力本题的关键是对f（x）的化简二、填空题（本题包括5小题，共25分）11已知|=2，|=4，以，为邻边的平行四边形的面积为4，则和的夹角为或考点： 平面向量数量积的运算专题： 平面向量及应用分析： 利用四边形的面积计算公式和数量积的意义即可得出解答： 解：以，为邻边的平行四边形的面积为4，=4解得=0，=或故答案为：或点评： 本题考查了四边形的面积计算公式和数量积的意义，属于基础题12若数列an的前n项和为Sn=an+，则数列an的通项公式是an=（2）
17、n1考点： 等比数列的通项公式专题： 等差数列与等比数列分析： 把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n2时，an=SnSn1，可得数列为等比数列，且公比为2，代入等比数列的通项公式分段可得答案解答： 解：当n=1时，a1=S1=，解得a1=1当n2时，an=SnSn1=（）（）=，整理可得，即=2，故数列an从第二项开始是以2为首项，2为公比的等比数列，故当n2时，an=（2）n1=（2）n1经验证当n=1时，上式也适合，故答案为：（2）n1点评： 本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题13设ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c若（a+bc）（a+b+c）=ab
18、，则角C=考点： 余弦定理专题： 计算题；压轴题分析： 利用已知条件（a+bc）（a+b+c）=ab，以及余弦定理，可联立解得cosB的值，进一步求得角B解答： 解：由已知条件（a+bc）（a+b+c）=ab可得a2+b2c2+2ab=ab即a2+b2c2=ab由余弦定理得：cosC=又因为0B，所以C=故答案为：点评： 本题考查了解三角形的知识，对余弦定理及其变式进行重点考查，属于基础题目14曲线y=2sinx（0x）与直线y=1围成的封闭图形的面积为考点： 定积分专题： 计算题；导数的概念及应用分析： 作出的图象，求出它们的交点分别为A（，1）和B（，1），由此可得所求面积为函数2sinx
19、1在区间，上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案解答： 解：令2sinx=1（0x），即sinx=，可得x=或曲线y=2sinx（0x）与直线y=1交于点A（，1）和B（，1），因此，围成的封闭图形的面积为S=（2sinx1）dx=（2cosxx）=（2cos）（2cos）=2故答案为：2点评： 本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于中档题15已知函数，g（x）=|xk|+|x1|，若对任意的x1，x2R，都有f（x1）g（x2）成立，则实数k的取值范围为或考点： 分段函数的应用专题： 综合题；函数的性质及应用分析： 求出函
20、数的最大值为，g（x）=|xk|+|x1|的最小值为|1k|，可得|1k|，即可求出实数k的取值范围解答： 解：由题意函数的最大值为，g（x）=|xk|+|x1|的最小值为|1k|，对任意的x1，x2R，都有f（x1）g（x2）成立，|1k|，或故答案为：或点评： 本题考查分段函数的应用，考查函数的最值，确定函数的最值是关键三解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）求函数f（x）在0，上的单调递减区间考点： 复合三角函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值专题： 计算题；三角函数的图像与
21、性质分析： （1）利用两角和与差的余弦公式、二倍角的三角函数公式和辅助角公式化简，得f（x）=，由此可得函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）根据三角函数的单调区间公式解不等式，得出f（x）的单调递减区间是，再将此区间与0，取交集，即可得到f（x）在0，上的单调递减区间解答： 解：（1）=；函数f（x）的最小正周期为 T=，函数f（x）的最大值为；（2）设，解得函数f（x）的单调递减区间是；又x0，分别取k=0和1，取交集可得f（x）在0，上的单调递减区间为和点评： 本题给出三角函数式的化简，求函数的单调区间、周期与最值着重考查了三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题17已
22、知an为等差数列，且a3=5，a7=2a41（）求数列an的通项公式及其前n项和Sn；（）若数列bn满足求数列bn的通项公式考点： 等差数列的前n项和；数列的函数特性；等差数列的通项公式专题： 等差数列与等比数列分析： （）设等差数列的首项和公差分别为a1，d，由题意可得关于它们的方程组，解方程组代入通项公式和求和公式可得；（）由题意可得当n2时，和已知式子相减可得当n2时的不等式，验证n=1时可得其通项公式解答： 解：（）设等差数列的首项和公差分别为a1，d，则，解得，an=1+2（n1）=2n1，Sn=n2（） 当n2时， 得n2bn=anan1=2，n2，又b1=a1=1，点评： 本题考
23、查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题18在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a2+c2b2=ac（）求sin2+cos2B的值；（）若b=2，求ABC面积的最大值考点： 余弦定理专题： 解三角形分析： （）利用余弦定理列出关系式，代入已知等式求出cosB的值，原式利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简，把cosB的值代入计算即可求出值；（）把b的值代入已知等式，并利用基本不等式求出ac的最大值，再由sinB的值，利用三角形面积公式求出面积的最大值即可解答： 解：（）在ABC中，由余弦定理可知，a2+c2b2=2accosB，由题意知a2+c2b2=ac，cosB=，又在AB
24、C中，A+B+C=，sin=cos，则原式=cos2+cos2B=+2cos2B1=2cos2B+cosB=+=；（）b=2，sinB=，由a2+c2b2=ac得：a2+c24=ac，即a2+c2=ac+42ac，整理得：ac，SABC=acsinBsinB=，则ABC面积的最大值为点评： 此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理是解本题的关键19已知函数f（x）=xlnx （1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若f（x）x2+ax6在（0，+）上恒成立，求实数a的取值范围考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题专题： 计算题；导数的综合应用分析：
25、（1）由f（x）=xlnx，知f（x）=1+lnx，x0，由此能求出函数f（x）的减区间（2）由f（x）x2+ax6在（0，+）上恒成立，知，由此能够求出实数a的取值范围解答： 解：（1）f（x）=xlnx，f（x）=1+lnx，x0，函数f（x）的减区间为（2）f（x）x2+ax6在（0，+）上恒成立，当x2时，g（x）是增函数，当0x2时，g（x）是减函数，ag（2）=5+ln2即实数a的取值范围是（，5+ln2点评： 本题考查利用导数求函数的单调区间和实数的取值范围的方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用20已知公比为q的等比数列an是递减数列，且满足
26、a1+a2+a3=，a1a2a3=（1）求数列an的通项公式； （2）求数列（2n1）an的前n项和为Tn； （3）若bn=+（nN*），证明：+考点： 数列与不等式的综合；等比数列的通项公式；数列的求和专题： 等差数列与等比数列分析： （）根据等比数列的公式求出数列的首项和公比，然后求数列an的通项公式；（）利用错位相减法求数列（2n1）an的前n项和为Tn；（）先求出bn的通项公式，利用不等式的证明方法证明不等式即可解答： 解：由a1a2a3=，及等比数列性质得=，即a2=，由a1+a2+a3=得a1+a3=由得，即3q210q+3=0解得q=3，或q=an是递减数列，故q=3舍去，q=，
27、由a2=，得a1=1故数列an的通项公式为an=（nN*）（II）由（I）知（2n1）an=，Tn=1+Tn=+得：Tn=1+=1+2（+）=1+2=2Tn=3（）=n+=，=+=2（）+（）+（）=2（）n1，=，点评： 本题主要考查等比数列的通项公式以及利用错误相减法求数列的和，考查学生的运算能力21已知函数f（x）=lnx+ax2（a+1）x（aR）（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）当a0时，若f（x）在区间1，e上的最小值为2，求a的值；（3）若对任意x1，x2（0，+），x1x2，且f（x1）+x1f（x2）+x2恒成立，求a的取值范围考点：
28、利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程专题： 导数的综合应用分析： （1）利用导数的几何意义可得切线的斜率f（1），即可得到切线的方程；（2）利用导数研究函数的单调性，再对a分类讨论即可得出；（3）设g（x）=f（x）+x，则g（x）=lnx+ax，由于对任意x1，x2（0，+），x1x2，且f（x1）+x1f（x2）+x2恒成立，只要g（x）在（0，+）上单调递增即可利用研究函数g（x）的单调性和对a分类讨论即可得出解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=lnx+2x，f（x）=2f（1）=0，f（1）=切线方程是y=（2）函数f（x）=lnx+ax2（a+1）x（aR
29、）的定义域是（0，+）当a0时，f（x）=令f（x）=0，解得x=1或x=当，即a1时，f（x）在1，e上单调递增，f（x）在1，e上的最小值是f（1）=2，解得a=2；当时，f（x）在1，e上的最小值是，lna1=2，即lna+=1令h（a）=lna+，=，可得函数h（a）单调递减，函数h（a）单调递增而，不合题意当时，f（x）在1，e上单调递减，f（x）在1，e上的最小值是f（e）=1+（a+1）e=2，解得0，不合题意综上可得：a=2（3）设g（x）=f（x）+x，则g（x）=lnx+ax，对任意x1，x2（0，+），x1x2，且f（x1）+x1f（x2）+x2恒成立，只要g（x）在（0，+）上单调递增即可而g（x）=axa+=当a=0时，此时g（x）在（0，+）上单调递增；当a0时，只需g（x）0在（0，+）上恒成立，只要ax2ax+10，则需要，解得0a4综上a的取值范围是：0a4点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义、切线的方程、二次函数与判别式的关系等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论的是幸福方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题