1、河北省唐山市开滦一中2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求1. 在中，且，则下列结论中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用特殊值排除错误选项，利用正弦定理证明正确选项【详解】若，由于,则，所以A选项错误.若，则，所以BC选项错误.在三角形中，大角对大边，由于，所以，由正弦定理得，是三角形外接圆的半径.由得.所以D选项正确.故选：D【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性，考查正弦定理，属于基础题.2. 不等式的解集为（ ）A. B. C. D
2、. 【答案】D【解析】【分析】移项通分后转为一元二次不等式即可求其解集.【详解】等价于即，故不等式的解为或，故解集为，选D.【点睛】本题考查分式不等式的解，属于基础题.3. 若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用向量减法的坐标运算求得.【详解】依题意.故选：A【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算，属于基础题.4. 已知是等差数列，且，则的值是（ ）A. 20B. 15C. 10D. 5【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质直接求解.【详解】是等差数列，且，.故选：B.【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题.5. 下列事件：任取三条线段，这三条线段恰
3、好组成直角三角形；从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；实数a，b都不为0，但；明年12月28日的最高气温高于今年12月28日的最高气温其中为随机事件的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据随机事件概念逐一判断，即可选择.【详解】任取三条线段，这三条线段不一定能组成直角三角形，所以为随机事件；从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线不一定交于一点，所以为随机事件；因为当实数a，b都不为0时，所以为不可能事件；明年12月28日的最高气温可能高于今年12月28日的最高气温，所以为随机事件；故选C【点睛】本题考查随机事件概念，考查基本分析判断能力，
4、属基础题.6. 不等式（其中）的解集为（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先因式分解，再根据解的大小写出不等式解集.【详解】故选：A【点睛】本题考查解一元二次不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.7. 对于，下列不等式中不正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】举例可确定不正确的选项，其它选项可利用作差法证明成立.【详解】当时，满足，但，即D不正确；，即A正确；，即B正确；，即C正确；故选：D【点睛】本题考查作差法判断不等式，考查基本分析判断能力，属基础题.8. 羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊去割草，则喜羊羊和
5、美羊羊至少有一只被选中的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用列举法求得所有的可能，结合古典概型概率计算，计算出所求的概率.【详解】依题意从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊的可能事件有：（喜羊羊、美羊羊），（喜羊羊、懒羊羊），（喜羊羊、暖羊羊），（喜羊羊、沸羊羊），（美羊羊、懒羊羊），（美羊羊、暖羊羊），（美羊羊、沸羊羊），（懒羊羊、暖羊羊），（懒羊羊、沸羊羊），（暖羊羊、沸羊羊），共种.其中喜羊羊和美羊羊至少有一只被选中的为：（喜羊羊、美羊羊），（喜羊羊、懒羊羊），（喜羊羊、暖羊羊），（喜羊羊、沸羊羊），（美羊羊、懒羊羊），（美羊羊、暖羊羊），（
6、美羊羊、沸羊羊），共种.所以喜羊羊和美羊羊至少有一只被选中的概率为.故选：A【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.9. 已知向量，若，则锐角为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据向量平行坐标表示列方程，解得结果.【详解】因为，所以因为为锐角，所以故选：B【点睛】本题考查向量平行坐标表示，考查基本分析求解能力，属基础题.10. 已知内角的对边分别为若，则等于（ ）A. B. 4C. D. 3【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理可得，代入即可得结果.【详解】由正弦定理,，即，则 ，故选：A.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，实现边角互化是解题的关键，属于基
7、础题.11. 从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出基本事件总数，再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率.【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5
8、，2），（5，3），（5，4），共有个基本事件，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率，故选：D.【点睛】本题主要考查概率的求法，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用，属于基础题.12. 已知数列：，又，则数列的前n项的和为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可观察出，然后用裂项相消法即可求出的前项和.【详解】因为数列为:，所以，所以，所以的前项和为故选：C.【点睛】本题考查用裂项相消法求数列的前项和，属于中档题.第卷（共90分）二、填空题（每题44分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个
9、容量为6的样本，则抽取的女生人数为_【答案】2【解析】【分析】分层抽样的抽取比例为，抽取的女生人数为抽取比例女生人数【详解】由题意知：分层抽样的抽取比例为，抽取的女生人数为故答案为：2【点睛】本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样的定义是关键，属于基础题14. 在数列中，则通项公式_【答案】【解析】【分析】首先利用得出时的通项公式，把代入此通项公式检验也满足，从而得到数列的通项公式.【详解】当时，当时，时，上式也成立，故答案为：.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，熟练掌握数列的递推式是解本题的关键，属于基础题15. 为组织好“市九运会”，组委会征集了800名志愿者，现对他们的年龄调查
10、统计后，得到如图所示的频率分布直方图，但是年龄在内的数据不慎丢失，依据此图可得：（1）年龄分组对应小长方形的高度为_（2）这800名志愿者中年龄在内的人数为_【答案】 (1). (2). 人【解析】【分析】（1）根据所有矩形的面积和为1，建立方程，即求得年龄分组对应小长方形的高度；（2）先利用频率分布直方图求得内的频率，进而求得年龄在内的人数.【详解】（1）设年龄年龄分组对应小长方形的高度为，则，解得，即年龄分组对应小长方形的高度为.（2）这800名志愿者中年龄在内的频率为，所以这800名志愿者中年龄在内的人数为人.故答案为：，人.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的性质，以及频率分布直方图
11、中频率、频数的计算，着重考查了识图能力，以及运算与求解能力.16. 在中，角所对的边分别为，的平分线交于点D，且，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】先根据三角形面积关系列等量关系，再根据基本不等式求最值.【详解】因为,所以因此当且仅当即时取等号即的最小值为故答案为：【点睛】本题考查三角形面积公式、利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知等差数列和正项等比数列满足（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据条件列公差与公比方程组，解得结果，代入等
12、差数列通项公式即可；（2）根据等比数列求和公式直接求解.【详解】（1）设等差数列公差为，正项等比数列公比为，因为，所以因此；（2）数列的前n项和【点睛】本题考查等差数列以及等比数列通项公式、等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.18. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其物理成绩（均为整数）分成六段后画出如下频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题：（1）估计这次考试的众数m与中位数n（结果保留一位小数）；（2）估计这次考试的优秀率（80分及以上为及格）和平均分【答案】（1），；（2）优秀率，平均分71分.【解析】【分析】（1）根据众数是最高小矩形中点的横坐标，
13、中位数要平分直方图的面积可得的值；（2）在频率分直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，估计这次考试的优秀率为右边两个小矩形面积之和，平均数为各小矩形面积与底边中点横坐标乘积的和.【详解】（1）众数是最高小矩形中点的横坐标，所以众数为（分）前三个小矩形面积为，中位数要平分直方图的面积，.（2）依题意，80及以上的分数所在的第五、六组，频率和 ，所以，抽样学生成绩的合格率是，利用组中值估算抽样学生的平均分：，估计这次考试的平均分是71分.【点睛】本题考查频率分步直方图，解题的关键是正确运用直方图，在直方图中理解小正方形的面积是这组数据的频率，众数是最高小矩形中点的横坐标，平均数为各小矩形面积与底
14、边中点横坐标乘积的和，属于基础题.19. 在中，（1）求的值；（2）若，求b的长【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理可求得的值；（2）根据余弦定理列方程解得b的值.【详解】（1）因为，所以由正弦定理得；（2）因为，所以由余弦定理得【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.20. 如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园，公园由矩形的休闲区（阴影部分）和环公园人行道组成，已知休闲区的面积为1000平方米，人行道的宽分别为4米和10米，设休闲区的长为x米（1）求矩形所占面积S（单位：平方米）关于x的函数解析式；（2）要使公园所占面积最小，
15、问休闲区的长和宽应分别为多少米？【答案】（1）；（2）休闲区的长和宽应分别为米，米.【解析】【分析】（1）先表示休闲区的宽，再表示矩形长与宽，最后根据矩形面积公式得函数解析式，注意求函数定义域；（2）根据基本不等式求S最小值，再根据等号取法确定休闲区的长和宽.【详解】（1）因为休闲区的长为x米，休闲区的面积为1000平方米，所以休闲区的宽为米；从而矩形长与宽分别为米米，因此矩形所占面积，（2）当且仅当时取等号，此时因此要使公园所占面积最小，休闲区的长和宽应分别为米，米.【点睛】本题考查函数应用、求函数解析式、利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.21.已知的角、所对的边分别是、
16、，设向量，.（1）若，求证：为等腰三角形；（2）若，边长，角，求的面积.【答案】（1）见解析（2）【解析】【详解】因为，所以，即,其中是的外接圆半径， 所以，所以为等腰三角形.因为，所以.由余弦定理可知，即解方程得：（舍去）所以.22. 某市2020年发放汽车牌照14万张，其中燃油型汽车牌照12万张，电动型汽车牌照2万张为了节能减排和控制汽车总量，从2020年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动型的牌照的数量维持在这一年的水平不变（1）记2020年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成
17、数列，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式_（2）从2020年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过100万张？【答案】（1），（为正整数）；（为正整数）；（2）年【解析】【分析】（1）利用列表法，结合等差、等比数列的通项公式，求得数列和的通项公式.（2）根据（1）中表格数据得出结论.【详解】（1）依题意列表如下：年份序号本年度发放累计发放2020112214142021211.514.528.52022311155442023410.54.5155920245104.514.573.5202569.54.51487.52026794.513.5101根据表格数据可知，令，即，解得.所以（为正整数）.由表格数据可知，所以（为正整数）.（2）由（1）表格可知年超过万.【点睛】本小题主要考查等差、等比数列在实际生活中的应用，属于中档题.
