1、吉林省长春市第八中学2020-2021学年高一数学上学期元旦作业（期末复习）试题（六）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知，则集合M、N之间的关系为A. B. C. D. 2. 设，则的值为A. 1B. 0C. D. 3. 已知，则A. 2B. C. D. 4. 已知且，且，则函数与函数的图象可能是A. B. C. D. 5. 已知角的终边过点，且，则m的值为A. B. C. D. 6. 化简的结果是A. B. C. D. 7. 设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，则有根据地理知识，武汉地区的纬度值约为北纬，当太阳直射南回归线此时的太阳直射纬度
2、为时物体的影子最长，如果在武汉某高度为的楼房北边盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡如图所示，两楼的距离应至少约为的倍？注意A. 倍B. 倍C. 1倍D. 倍8. 定义在R上的偶函数在上单调递减，若，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D. 9. 若函数的零点为，且，则a的值为A. B. C. D. 10. 给出下列函数：，其中周期为的所有偶函数为A. B. C. D. 11. 若在上单调递减，则a的取值范围是A. B. C. D. 12. 已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若对恒成立，则的取值范围是A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.
3、0分）13. 若在上的表达式为，且为奇函数，则时，等于_14. 函数的图象为C，如下结论中正确的是_图象C关于直线对称；图象C关于点对称；函数即在区间内是增函数；由的图角向右平移个单位长度可以得到图象C15. 当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了_个“半衰期”【提示：】16. 设函数则函数的
4、零点个数是_三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知全集，集合，求，18. 函数的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为求函数的解析式和当时的单调减区间；的图象向右平行移动个长度单位，再向下平 移1个长度单位，得到的图象，用“五点法”作出在内的大致图象19. 已知定义域为R的函数是奇函数求实数a的值；判断函数的单调性，并用定义加以证明；若对任意的，不等式成立，求实数m的取值范围20. 一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时图中点开始计算时间以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂
5、直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度单位：米表示为时间单位：秒的函数；在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过2米？21. 已知定义域在上的函数满足对于任意的x，都有，当且仅当时，成立设x，求证；设，若，试比较与的大小；若，解关于x的不等式22. 已知函数若的值域为，求a的值；已知，是否存在这祥的实数a，使函数在区间内有且只有一个零点若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式和分式不等式的解法，交集和真子集的定义，属于基础题可以求出集合M，N，然后即可判断集合M，N的关系【解答】解：，
6、故选：C2.【答案】B【解析】解：是无理数 则 故选：B根据是无理数可求出的值，然后根据分段函数的解析式可求出的值本题主要考查了分段函数的求值，解题的关键判定是否为有理数，属于基础题3.【答案】D【解析】解：又，故选：D由已知求得，再由商的关系求解本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题4.【答案】B【解析】解：由可知，故，故函数与函数的单调性相同，故选：B分析可知，再由指数函数及对数函数的性质即可得解本题考查对数运算及指数函数，对数函数的图象及性质，属于基础题5.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题由条件利用任意角的三角函数的
7、定义，求出m的值【解答】解：由题意可得，解得，故选：B6.【答案】A【解析】解：故选：A利用诱导公式变形，化为两数和的平方，开方得答案本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题7.【答案】D【解析】解：，影长两楼的距离应至少约为的倍故选：D，可得，进而得出本题考查了解三角形，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8.【答案】A【解析】解：因为偶函数在上单调递减，故在上单调递增，又，则故选：A根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键9.【答案】C【解析】解：由，及零点存在定理知
8、的零点在区间上，零点所在的一个区间是，故选：C函数零点左右两边函数值的符号相反，根据函数在一个区间上两个端点的函数值的符号确定是否存在零点本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，本题的解题的关键是检验函数值的符号10.【答案】D【解析】解：，是偶函数，周期，满足条件，是偶函数，周期，不满足条件，是偶函数，周期，满足条件是偶函数，但不是周期函数，不满足条件故选：D根据三角函数的诱导公式，结合三角函数的周期公式进行求解判断即可本题主要考查三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式以及周期公式是解决本题的关键比较基础11.【答案】B【解析】解：令，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为，外层函数是定
9、义域内的减函数，要使在上单调递减，则，解得的取值范围是故选：B由外层函数对数函数为减函数，可知要使复合函数在上单调递减，只需内层函数在上单调递增且恒大于0即可本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题12.【答案】B【解析】【解答】解：由题意可得函数的最大值为3，图象与直线相邻两个交点的距离为，的周期，解得，对恒成立，即对恒成立，且，解得且，即，结合选项可得当时，的取值范围为，故选：B【分析】由函数图象和题意可得，进而可得关于的不等式组，解不等
10、式组结合选项可得本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的周期性和恒成立，属中档题13.【答案】【解析】解：设，则，因为时，所以，故故答案为：先设，则，根据时，代入即可求解本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数解析式，属于基础试题14.【答案】【解析】解：、把代入得，故正确；、把代入得，故正确；、当时，求得，故正确；、有条件得，故不正确故答案为：把代入求值，只要是的奇数倍，则正确，把横坐标代入求值，只要是的倍数，则对；同理由x的范围求出的范围，根据正弦函数的单调区间判断是否对，因为向右平移故把代入进行化简，再比较判断是否正确本题考查了复合三角函数图象的性质和图象的变换，把作为一个整体，根据条
11、件和正弦函数的性质进行求解以及判断，考查了整体思想15.【答案】10【解析】解：设生物组织内原有的碳14含量为x，需要经过n个“半衰期”才不能被测到碳14，则，即，由参考数据可知，故答案为：10设生物组织内原有的碳14含量为x，需要经过n个“半衰期”才不能被测到碳14，则，即，再根据参考数据即可得解本题考查合情推理及指数的简单计算，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题16.【答案】5【解析】解：由，得和，函数的图象如图所示：由图可得方程和共有5个根，即函数有5个零点故答案为：5利用复合函数的关系，结合函数与方程的关系进行转化，利用数形结合进行求解即可本题主要考查函数与方程的应用，结合复
12、合函数关系进行分解，利用数形结合进行求解是解决本题的关键难度不大17.【答案】解：或，或，【解析】可以求出集合A，B，然后进行交集、并集和补集的运算即可本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，绝对值不等式的解法，交、并、补集的混合运算，考查了计算能力，属于基础题18.【答案】解：函数的最大值是3，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，最小正周期，所以令，即，的单调减区间为依题意得，列表得：x00020描点，连线得在内的大致图象【解析】根据条件求出A，的值，即可求函数的解析式，结合函数的单调性即可求当时的单调减区间；根据三角函数的图象平移关系求出的解析式，利用五点法进行作图即可本题主要考查
13、三角函数图象和性质，根据条件求出函数的解析式以及利用五点法作图是解决本题的关键19.【答案】解由题意得：函数是奇函数，定义域为R，解得，设，故在R上单调递增；任意的，不等式，即，所以，因为，当且仅当成立，所以【解析】令；利用单调性定义证明；利用单调性的定义，转化为求，利用参数分离法求出考查函数的奇偶性，函数单调性的证明和应用，函数恒成立问题，基本不等式等，综合性高20.【答案】解：设水轮上圆心O正右侧点为A，y轴与水面交点为B，如图所示；由，所以，所以；设，则，解得；所以点P距离水面的高度h关于时间t的函数为；由，得；令，则；由，解得，又，所以在水轮转动的任意一圈内，有1s时间点P距水面的高度
14、超过2米【解析】设水轮上圆心O正右侧点为A，y轴与水面交点为B，建立三角函数关系式表示高度h关于时间t的函数；由h关于t的函数，令，求出时的取值范围，再计算有多长时间即可本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题21.【答案】证明：，；解：，又，所以，当且仅当时，成立，当时，；解：令代入得，由可知函数在定义域上是减函数，；恒成立；故只需满足即成立即可；即；当时，；当时，；当时，；综上可得：当时，；当时，；当时，【解析】取，代入已知等式即可证得结果；由，结合中等式，得到，再根据当且仅当时，成立得到，从而得到；在已知等式中取特值求出，由可知函数在定义域上是减函数，在不等式中，用
15、替换0后利用函数的单调性脱掉“f”，则不等式的解集可求本题考查了抽象函数的应用，考查了函数的单调性的判断与证明，训练了特值法求函数的值，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，属中档题22.【答案】解：函数的值域为，则解得由，即令，原命题等价于两个函数与的图象在内有唯一交点当时，在上递减，在上递增，而，函数与的图象在内有唯一交点当时，图象开口向下，对称轴为，在上递减，在上递增，与的图象在内有唯一交点，当且仅当，即，即当时，图象开口向上，对称轴为，在上递减，在上递增，与的图象在内有唯一交点，即即，综上，存在实数，使函数于在区间内有且只有一个点【解析】根据一元二次函数图象知若的值域为，则开口向上，即可；函数在区间内有且只有一个零点即，等价于两个函数与的图象在内有唯一交点，根据中a是否为零，以及图象开口方向与对称轴的位置讨论交点个数即可本题考查了二次函数的图象与性质，数形结合与分类讨论的思想方法，属于综合题16
