1、第5讲 三角函数的图象与性质 课标要求考情风向标1.能画出 ysin x,ycos x,ytan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在0，2，正切函数在上的性质(如单调性、最大和最小值、图象与 x 轴交点等)1.要熟记本节的基础知识，并会将x看作一个整体进行解题.2.解题时要注意图象的应用，如利用图象求函数的最值、值域等.3.注重三角函数的性质和三角恒等变换的综合问题，这是近几年高考的热点.4.注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用2，21.“五点法”描图ysin x(0,0)2，1(，0)32，1(2，0)ycos x(0,1)2，0(
2、，1)32，0(2，1)函数ysin xycos xytan x定义域RR图象值域1,1_R2.三角函数的图象和性质2x xkxk，Z1,1(续表)函数ysin xycos xytan x对称性对称轴：xk2(kZ)对称轴：xk(kZ)无对称轴对称中心：(k，0)(kZ)对称中心：k2，0 (kZ)对称中心：k2，0(kZ)最小正周期22_(续表)函数ysin xycos xytan x单调性单调递增区间2,2 22kk(kZ)；单调递减区间32,2 22kk(kZ)单调递增区间2k，2k(kZ)；单调递减区间2k，2k(kZ)单调递增区间k2，k2(kZ)奇偶性奇_奇偶1.(2017 年新课
3、标)函数 f(x)sin2x3 的最小正周期为()A.4 B.2 C.D.2 C2.(2018 年北京)设函数 f(x)cosx6(0)，若 f(x)f4对任意的实数 x 都成立，则的最小值为_.3.(2019年北京)函数f(x)sin22x的最小正周期是_.解析：若 f(x)f4 对任意的实数 x 都成立，则 x4为对称轴，46k，4k23，kZ，0，则 的最小值为23.解析：函数 f(x)sin22x1cos 4x2，最小正周期为2.232数为_.4.(2018 年新课标)函数 f(x)cos3x6 在0，的零点个3解析：函数 f(x)cos3x6 在0，的零点 3x6k2，kZ，得 xk
4、3 9，kZ，k0，x9；k1，x49；k2，x79.故函数 f(x)cos3x6 在0，的零点个数为 3.考点 1 三角函数的定义域和值域最大值为()A.4B.5C.6D.7例 1：(1)(2016 年新课标)函数 f(x)cos 2x6cos2x 的解析：f(x)12sin2x6sin x当 sin x1 时取最大值 5.故选 B.2sin x322112，而 sin x1,1，答案：B(2)(2017 年新课标)函数 f(x)sin2x 3cos x34x0，2的最大值是_.答案：1解析：f(x)1cos2x 3cos x34cos2x 3cos x14cos x 3221，由 x0，2
5、，可得 cos x0，1，当 cos x 32 时，函数 f(x)取得最大值 1.(3)(2019 年新课标)函数 f(x)sin2x32 3cos x 的最小值为_.答案：4解析：函数 f(x)sin2x32 3cos xcos 2x3cos x2cos2x3cos x12cos x342178，当 cos x1 时 f(x)min4.【规律方法】解(1)题易误认为当 sin x32时，函数 f(x)2sin x322112 取得最大值.考点 2 三角函数的奇偶性、周期性与对称性sin x(0)两个相邻的极值点，则()例 2：(1)(2019 年新课标)若 x14，x234 是函数 f(x)
6、A.2 B.32C.1 D.12答案：A解析：若 x14，x234 是函数 f(x)sin x(0)两个相邻的极值点，则T234 42，T，则 2.(2)(2015 年四川)下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是()A.ycos2x2B.ysin2x2C.ysin 2xcos 2xD.ysin xcos x且图象关于原点对称.故选 A.方法二，逐项检验，但这类题常常采用排除法.很明显，C，D 选项中的函数既不是奇函数也不是偶函数，而 B 选项中的函数是偶函数，故均可排除.故选 A.解析：方法一，对于选项 A，ysin 2x，T22，答案：A(3)(2014 年新课标)在函数ycos
7、|2x|；y|cos x|；数为()A.C.B.D.ycos2x6；ytan2x4 中，最小正周期为 的所有函答案：A解析：ycos|2x|cos 2x，x0，cos2xcos 2x，x0 cos 2x，最小正周期为；y|cos x|的最小正周期为；ycos2x6 的最小正周期为；ytan2x4 的最小正周期为2.(4)(2018年江苏)已知函数ysin(2x)22 的图象关于直线 x3对称，则 的值是_.解析：由题意，可得 ysin23 1.23 k2，k6，kZ.22，k0，6.答案：6(5)(2016 年新课标)若将函数 y2sin 2x 的图象向左平移12个单位长度，则平移后图象的对称
8、轴为()A.xk2 6(kZ)B.xk2 6(kZ)C.xk2 12(kZ)D.xk2 12(kZ)答案：B解析：将函数 y2sin 2x 的图象向左平移 12个单位长度，得 y2sin2x 12 2sin2x6，则平移后函数图象的对称轴为 2x62k，kZ，即 x6k2，kZ.故选 B.其中所有正确结论的编号是()A.B.C.D.(6)(2019 年新课标)设函数 f(x)sinx5(0)，已知f(x)在0，2 有且仅有 5 个零点，下述四个结论：f(x)在(0,2)有且仅有 3 个极大值点；f(x)在(0,2)有且仅有 2 个极小值点；f(x)在0，10 单调递增；的取值范围是125，29
9、10.解析：当 x0,2时，x55，25，f(x)在0,2有且仅有 5 个零点，5256.125 2910，故正确.由 5256，知 x55，25 时，令 x52，52，92 时取得极大值，正确；极小值点不确定，可能是 2 个也可能是 3 个，不正确；故选 D.当 x0，10 时，x55，210，若 f(x)在0，10 单调递增，则2102，即 3，125 2910，故正确.答案：D【规律方法】(1)三角函数型奇偶性判断除可以借助定义 外，还可以借助其图象的性质，对 yAsin(x)代入 x0，若y0，则y 为奇函数；若y 为最大或最小值，则y 为偶函数.若yAsin(x)为奇函数，则k(kZ
10、)；若 yAsin(x)为偶函数，则 2k(kZ).(2)求函数 yAsin(x)的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题.ysin x 的对称中心是(k，0)(kZ)，yAsin(x)的对称中心，由方程 xk 解出xk.故对称中心为k，0(kZ).ysin x 的对称轴是 xk2(kZ)，由 xk2解出 xk2.即 xk2为函数 yAsin(x)的对称轴方程.函数 f(x)Asin(x)(A，为常数，A0)图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线 xx0 或点(x0,0)是否是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验 f(x0)的值进行判断
11、.(3)注意 ytan x 的对称中心为12k，0(kZ).考点 3 三角函数的单调性与最值例 3：(1)(2015 年新课标)函数f(x)cos(x)的部分图)象如图 3-5-1，则 f(x)的单调递减区间为(图 3-5-1A.k14，k34，kZB.2k14，2k34，kZC.k14，k34，kZD.2k14，2k34，kZ答案：D解析：由五点法作图知，142，5432，解得，4.f(x)cosx4，令 2kx40，函数 f(x)sinx4 在2，上单调递减，则 的取值范围是()A.12，54B.12，34C.0，12D.(0,2)答案：A解析：由 2k2x42k32(kZ)，得2k 4x
12、2k 54(kZ).f(x)sinx4 在2，上单调递减，2k 42，2k 54，解得4k12，2k54.令 k0，得1254.故选 A.难点突破三角函数中参数问题的讨论且只有一解，则正数的最大值是()A.8C.6B.7D.5例题：(1)若关于 x 的方程 sin x10 在区间0，2 上有解析：sin x10 可变为 sin x1，图 3-5-2答案：B方程 sin x10 在区间0，2 上有且只有一解，即 ysin x，y1 的图象在区间0，2 上有且只有一个交点，如图3-5-2，由已知可得：设函数 ysin x 的最小正周期为 T，则234T，274T，即2342，2742，30，|2，
13、x4为 f(x)的零点，x4为 yf(x)图象的对称轴，且 f(x)在18，536 上单调，则 的最大值为()答案：B解析：依题意，可得2T4(2k1)，kN，且536 18T2，即 T6.故 2k112，kN，即 k112，kN.当 k5 时，T211.又 184211344536，因此 f(x)在18，536上不单调.当 k4 时，T29，且429 3618，536.又4953618，536，因此 f(x)在18，536 上单调，则 的最大值为 9.故选 B.【跟踪训练】3.先将函数 f(x)sin x 的图象上的各点向左平移6个单位，再将各点的横坐标变为原来的1倍(其中 N*)，得到函数
14、 g(x)的图象，若 g(x)在区间6，4 上单调递增，则 的最大值为_.答案：9解析：g(x)sinx6 在区间6，4 上单调递增，662k2462k2，kZ，即 12k48k43，kZ，由 12k48k43，得 k43，当 k1 时，8，283，则 的最大值为 9.1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成 yAsin(x)(0)的形式.2.函数 yAsin(x)和 yAcos(x)的最小正周期为3.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令 tx，将其转化为研究 ysin t的性质.2|，ytan(x)的最小正周期为|.4.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.5.要注意求函数 yAsin(x)的单调区间时 A 和的符号，尽量化成0 的情况，避免出现增减区间的混淆.
