1、课时提升练(五十一)直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1过点的直线l与抛物线yx2交于A，B两点，O为坐标原点，则的值为()ABC4D无法确定【解析】由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设其方程为ykx.由得2x22kx10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2y1y2x1x2(k21)x1x2k(x1x2)(k21)k(k).故选B.【答案】B2(2014豫西五校联考)已知椭圆1(0b2)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|AF2|的最大值为5，则b的值是()A1 B. C. D.【解析】由椭圆的方程可知a2，由椭圆的定义可知，|AF2|
2、BF2|AB|4a8，所以|AB|8(|AF2|BF2|)3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则3.所以b23，即b.【答案】D3已知双曲线1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是()A. B(，)C. D，【解析】由题意知，焦点为F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为yx.当过点F的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.【答案】C4过椭圆1内一点P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是()A3x4y130 B4x3y130C3x4y50 D3x4y50【解析】设直线与椭圆交于A(x1，y1)，
3、B(x2，y2)两点，由于A，B两点均在椭圆上，故1，1，两式相减得0.又P是A，B的中点，x1x26，y1y22，kAB.直线AB的方程为y1(x3)即3x4y130.【答案】A5(2014湖北高考)设a，b是关于t的方程t2cos tsin 0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线1的公共点的个数为()A0 B1 C2 D3【解析】由根与系数的关系，得abtan ，ab0，则a，b中必有一个为0，另一个为tan .不妨设A(0,0)，B(tan ，tan2)，则直线AB的方程为yxtan .根据双曲线的标准方程，得双曲线的渐近线方程为yxtan ，显然直线AB
4、是双曲线的一条渐近线，所以直线与双曲线没有公共点【答案】A6(2014四川高考)已知F为抛物线y2x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是()A2 B3 C. D.【解析】设直线AB的方程为xnym(如图)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，2，x1x2y1y22.又yx1，yx2，y1y22.联立得y2nym0，y1y2m2，m2，即点M(2,0)又SABOSAMOSBMO|OM|y1|OM|y2|y1y2，SAFO|OF|y1|y1，SABOSAFOy1y2y1y123，当且仅当y1时，等号成立【答案】B二、填空题7(20
5、13江西高考)抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.【解析】由于x22py(p0)的准线为y，由解得准线与双曲线x2y23的交点为A，B，所以AB2 .由ABF为等边三角形，得ABp，解得p6.【答案】68已知抛物线y28x的焦点为F，直线yk(x2)与此抛物线相交于P，Q两点，则_.【解析】设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意可知，|PF|x12，|QF|x22，则，联立直线与抛物线方程消去y得，k2x2(4k28)x4k20，可知x1x24，故.【答案】9设斜率为的直线l与椭圆1(ab0)交于不同的两点，且这两个交点在x
6、轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为_【解析】设椭圆的左、右焦点分别为F1(c,0)、F2(c,0)，两个交点分别为M，N，由题意知M，N，kMN，又直线的斜率为，即2b2ac，(a2c2)ac，e2e0，解得e或，又0e1，e.【答案】三、解答题10(2014陕西高考)图895已知椭圆1(ab0)经过点(0，)，离心率为，左右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：yxm与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足，求直线l的方程【解】(1)由题设知解得椭圆的方程为1.(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2y21
7、，圆心到直线l的距离d，由d1得|m|.(*)|CD|22 . 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2mxm230，由根与系数的关系可得x1x2m，x1x2m23.|AB| .由得1，解得m，满足(*)直线l的方程为yx或yx.11(2014潍坊模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的焦距为3，其中一条渐近线的方程为xy0.以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E交于A，B两点(1)求椭圆E的方程；(2)若点P为椭圆E的左顶点，2，求|2|2的取值范围；(3)若点P满足|PA|PB|，求证：为定值【解】(1)由双曲线1的焦距为3，得c，a2b2.渐近线的方
8、程为yx，由题意知，由解得a23，b2，椭圆E的方程为y21.(2)由(1)知P.设G(x0，y0)，由2，得(x0，y0)2(x0，y0)即解得G.设A(x1，y1)，则B(x1，y1)，|G|2|22y2y2x2y2x3xx.又x1，x0,3，x，|2|2的取值范围是.(3)证明：由|PA|PB|，知P在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性可知A，B关于原点对称若A，B在椭圆的短轴顶点处，则点P在椭圆的长轴顶点处，此时22.若A，B在椭圆的长轴顶点处，则点P在椭圆的短轴顶点处，此时22.当点A，B，P不在椭圆顶点处时，设直线l的方程为ykx(k0)，则直线OP的方程为yx，设A(x2，y
9、2)，B(x2，y2)由解得x，y.所以|OA|2|OB|2xy，用代换k，得|OP|2.2.综上，为定值2.12(2014湖北高考)在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(2,1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围【解】(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|x|1，即|x|1，化简整理得y22(|x|x)故点M的轨迹C的方程为y2(2)在点M的轨迹C中，记C1：y24x，C2：y0(x0)依题意，可设直线l的方程为y1k(x2)由方程组可得k
10、y24y4(2k1)0.(*1)当k0时，此时y1.把y1代入轨迹C的方程，得x.故此时直线l：y1与轨迹C恰好有一个公共点.当k0时，方程(*1)根的判别式为16(2k2k1)(*2)设直线l与x轴的交点为(x0,0)，则由y1k(x2)，令y0，得x0.(*3)()若由(*2)(*3)解得k1或k.即当k(，1)时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点()若或由(*2)(*3)解得k，或k0.即当k时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点当k时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点故当k时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点()若由解得1k或0k.即当k时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点综合可知，当k(，1)0时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当k时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点