1、课时提升练(二十九)等比数列及其前n项和一、选择题1(2014重庆高考)对任意等比数列an，下列说法一定正确的是()Aa1，a3，a9成等比数列Ba2，a3，a6成等比数列Ca2，a4，a8成等比数列Da3，a6，a9成等比数列【解析】设等比数列的公比为q，因为q3，即aa3a9，所以a3，a6，a9成等比数列故选D.【答案】D2(2013江西高考)等比数列x,3x3,6x6，的第四项等于()A24B0C12D24【解析】由题意知(3x3)2x(6x6)，即x24x30，解得x3或x1(舍去)，所以等比数列的前3项是3，6，12，则第四项为24.【答案】A3已知数列an，则“an，an1，an
2、2(nN*)成等比数列”是“aanan2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】nN*时，an，an1，an2成等比数列，则aanan2，反之，则不一定成立，举反例如数列为1,0,0,0，应选A.【答案】A4在等比数列中，已知a1aa15243，则的值为()A3 B9 C27 D81【解析】设数列an的公比为q，a1a15a，a1aa15a243，a83.a9.【答案】B5设Sn为等比数列an的前n项和，已知3S3a42,3S2a32，则公比q()A3 B4 C5 D6【解析】得3a3a4a3，即4a3a4，q4.【答案】B6等比数列an的前n项和为Sn
3、，若a1a2a3a41，a5a6a7a82，Sn15，则项数n为()A12 B14 C15 D16【解析】a5a6a7a8(a1a2a3a4)q4.q42，又S41，a1q1，又Sn15，即15，qn16，而q42，n16.【答案】D二、填空题7(2014江苏高考)在各项均为正数的等比数列an中，若a21，a8a62a4，则a6的值是_【解析】因为a8a2q6，a6a2q4，a4a2q2，所以由a8a62a4得a2q6a2q42a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2q220，解得q22，a6a2q41224.【答案】48在ABC中，sin A，sin B，sin C依次成
4、等比数列，则B的取值范围是_【解析】因为sin A，sin B，sin C依次成等比数数列，所以sin Asin Csin2B，即acb2，所以cos B，所以cos B，所以0B，即B的取值范围是.【答案】9已知数列xn满足lg xn11lg xn(nN*)，且x1x2x3x1001，则lg(x101x102x200)_.【解析】由lg xn11lg xn(nN*)，得lg xn1lg xn1，10，数列xn是公比为10的等比数列，xn100xn10100，x101x102x20010100(x1x2x3x100)10100，lg(x101x102x200)lg 10100100.【答案】1
5、00三、解答题10设数列an的前n项和为Sn，a11，且数列Sn是以2为公比的等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)求a1a3a2n1.【解】(1)S1a11，且数列sn是以2为公比的等比数列Sn2n1当n2时，anSnSn12n2(21)2n2.an(2)由(1)知，a3，a5，a2n1是以2为首项，4为公比的等比数列a3a5a2n1a1a3a5a2n11.11已知数列an满足：a11，a2a(a0)，数列bn满足bnanan1(nN*)(1)若an是等比数列，求bn的前n项和；(2)当bn是公比为a1的等比数列时，an能否为等比数列？若能，求出a的值；若不能，请说明理由【解】(1)an
6、是等比数列，a11，a2a(a0)，qa，从而anan1，所以bnanan1a2n1，bn是首项为a，公比为a2的等比数列，当a1时，Snn，当a1时，Sn.(2)数列an不能是等比数列bnanan1，依题设a1，则a3a1(a1)a1.假设an是等比数列，则aa1a3，a21(a1)，但方程无实根从而数列an不能为等比数列12(2014南京模拟)已知数列an中，a11，a22，且an1(1q)anqan1(n2，q0)(1)设bnan1an(nN*)，证明：bn 是等比数列；(2)求数列an的通项公式；(3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的nN*，an是an3与an6
7、的等差中项【解】(1)证明：由题设an1(1q)anqan1(n2)，得an1anq(anan1)，即bnqbn1，n2.由b1a2a11，q0，所以bn是首项为1，公比为q的等比数列(2)由(1)得，a2a11，a3a2q，anan1qn2(n2)，将以上各式相加，得ana11qqn2(n2)，即ana11qqn2(n2)所以当n2时，an上式对n1显然成立(3)由(2)得，当q1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q1.由a3a6a9a3可得q5q2q2q8，由q0得q311q6，整理得(q3)2q320，解得q32.于是q.另一方面，anan3(q31)，an6an(1q6)由可得anan3an6an，所以对任意的nN*，an是an3与an6的等差中项