1、第9讲 直线与圆锥曲线的位置关系 课标要求考情风向标1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题(直线与圆锥曲线的位置关系)和实际问题.3.通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想1.本节复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系.本节内容的特点是运算量比较大，应通过示例的剖析，掌握常规解题规律与方法，优化解题过程.2.重点掌握直线与曲线的位置关系(弦长、中点或交点个数)及有关最值、定值、定点、轨迹问题1.直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线
2、l 的方程 AxByC0(A，B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程F(x，y)0，消去 y(也可以消去 x)，得到一个关于变量 x(或变量 y)的一元方程.即AxByC0，Fx，y0，消去 y 后，得 ax2bxc0.(1)当 a0 时，设一元二次方程 ax2bxc0 的判别式为，则0直线 l 与圆锥曲线 C 相交；相切0直线 l 与圆锥曲线 C_；0直线 l 与圆锥曲线 C 无公共点.(2)当 a0，b0 时，即得到一个一次方程，则直线 l 与圆锥曲线 C 相交，且只有一个交点，此时，若 C 为双曲线，则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若 C 为抛物线，则直线 l 与抛物线
3、的对称轴的位置关系是平行.2.圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长.(2)圆锥曲线的弦长的计算：设斜率为 k(k0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A，B 两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x2x12y2y12 1k2|x1x2|11k2|y1y2|若抛物线的焦点在x轴上，则抛物线 的焦点弦长|AB|x1x2p2psin2，为弦AB所在直线的倾斜角.3.直线与圆锥曲线的位置关系口诀“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范
4、围，曲线定义不能忘”.1.平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1,0)的距离和到直线 x1 的距离相等.若机器人接触不到过点 P(1,0)且斜率为 k 的直线，则实数 k 的取值范围是_.解析：根据抛物线的定义知机器人的运动轨迹是一条以F(1,0)为焦点的抛物线，则其方程为 y24x.由题意知该抛物线与直线 yk(x1)没有交点，联立直线与抛物线的方程，得y24x，ykx1，k4y2yk0，即该方程无解，则 k0，且 1k2b0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为 F1(c,0)，F2(c,0).求椭圆的方程；若直线 l：y12xm 与椭圆交于 A，B 两点，且与以F1F2
5、为直径的圆交于 C，D 两点，同时满足|AB|CD|5 34，求直线 l 的方程.图 7-9-1思维点拨：利用点到直线的距离求解|CD|后；再将直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后得到一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后利用弦长公式进行整体代入求出|AB|.解：由题意，得b 3，ca12，a2b2c2.解得a2，b 3，c1.椭圆的方程为x24y231.以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2y21，圆心到直线 l：y12xm 的距离为d2|m|5 1，|m|52.|CD|2 1d22 14m25.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y12xm，x24y23
6、1，整理，得 x2mxm230.x1x2m，x1x2m23.|AB|1k2|x1x2|1122x1x224x1x2 1524m2.又|AB|CD|1524m22 14m255 34，解得 m 33，显然满足|m|b0).又点3，12 在椭圆 C 上，3a2 14b21，a2b23.解得a24，b21.因此，椭圆 C 的方程为x24y21.圆 O 的直径为 F1F2，其方程为 x2y23.(2)设直线 l 与圆 O 相切于点 P(x0，y0)(x00，y00)，则x20y203.直线 l 的方程为 yx0y0(xx0)y0，即 yx0y0 x3y0.由x24y21，yx0y0 x3y0，消去 y
7、，得(4x20y20)x224x0 x364y200.(*)直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，图 7-9-3(24x0)24(4x20y20)(364y20)48y20(x202)0.x0，y00，x0 2，y01.因此，点 P 的坐标为(2，1).如图 7-9-3，三角形 OAB 的面积为2 67，12ABOP2 67，从而 AB4 27.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(*)得 x1,224x0 48y20 x20224x20y20，AB2(x1x2)2(y1y2)21x20y20 48y20 x2024x20y202.x20y203，AB216x202x2012 324
8、9，即 2x4045x201000.解得 x2052(x2020 舍去)，则 y2012.因此点 P 的坐标为102，22.综上所述，直线 l 的方程为 y 5x3 2.【规律方法】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数、方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型.【跟踪训练】2.已知椭圆 C：x2a
9、2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，设点 F1，F2 与椭圆短轴的一个端点构成斜边长为 4 的直角三角形.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设 A，B，P 为椭圆 C 上三点，满足OP 35OA 45OB，记线段 AB 中点 Q 的轨迹为 E，若直线 l：yx1 与轨迹 E 交于 M，N 两点，求|MN|.解：(1)由已知得 2c4，b2，故 c2，a2 2.椭圆 C 的标准方程为x28y241.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，OP 35OA 45OB，OP 35x145x2，35y145y2.点 P 坐标为35x145x2，35y145y2.点 P 在椭圆
10、C 上，1835x145x221435y145y221.925x218y214 1625x228y224 2425x1x28 y1y241，即 92516252425x1x28 y1y241，即x1x28 y1y24 0.令线段 AB 的中点坐标为 Q(x，y)，则xx1x22，yy1y22.A，B 在椭圆 C 上，x218y2141，x228y2241，x21x228y21y2242.x1x222x1x28y1y222y1y242.x1x28 y1y24 0，2x28 2y24 2.即 Q 点的轨迹方程为x24y221.联立x24y221，yx1，得 3x24x20.设 M(x3，y3)，N
11、(x4，y4)，则 x3x443，x3x423.故|MN|1k2|x3x4|1k2x3x424x3x44 53.1.直线与圆锥曲线的综合，是高考最常见的一种题型，涉及求弦长、中点弦方程、轨迹问题、切线问题、最值问题、参数的取值范围问题等.分析问题时需借助于数形结合、设而不求、弦长公式及韦达定理等来综合考虑.2.在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”.3.研究直线与圆锥曲线的位置关系，经常用到一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、弦长公式等，要重视设而不求及数形结合思想的运用，切忌一味呆板地去求方程的根；在解题时应注意讨论二次项系数为 0 的情况，否则会漏解.要强调根的判别式，这是直线与圆锥曲线有没有交点的前提，也是求参数范围的基本方法.