1、四川省仁寿第一中学校北校区2019-2020学年高一数学下学期开学考试试题（含解析）时间120分钟满分150分注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第卷（非选择题）请点击修改第卷的文字说明一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.在中，为的外接圆的圆心，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理可求出的外接圆半径.【详解】由正弦定理可得，因此，故选A.【点睛】本题考查利用正弦定理求三角形外接圆的半径，考查计算能力，属于基础题.2.已知为等差数列的前项和，则（ ）A. 2019B. 1010C. 2018D.
2、 1011【答案】A【解析】【分析】利用基本元的思想，将已知条件转化为和的形式，列方程组，解方程组求得，进而求得的值.【详解】由于数列是等差数列，故，解得，故.故选A.【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式的基本量计算，属于基础题.3.在中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据三角形解的个数的判断条件得出各选项中对应的解的个数，于此可得出正确选项.【详解】对于A选项，此时，无解；对于B选项，此时，有两解；对于C选项，则为最大角，由于，此时，无解；对于D选项，且，此时，有且只有一解.故选D.【点睛】本题考查三角形解的
3、个数的判断，解题时要熟悉三角形个数的判断条件，考查推理能力，属于中等题.4.已知一个三角形的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的最小角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设的最大角为，最小角为，可得出，由题意得出，由二倍角公式，利用正弦定理边角互化思想以及余弦定理可得出关于的方程，求出的值，可得出的值.【详解】设的最大角为，最小角为，可得出，由题意得出，所以，即，即，将，代入得，解得，则，故选B.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，解题时根据对称思想设边长可简化计算，另外就是充分利用二倍角公式进行转化是解本题的关键，综合性较强.
4、5.九章算术中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递减），上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？（）A. 二升B. 三升C. 四升D. 五升【答案】B【解析】【分析】由题意可得，上、中、下三节的容量成等差数列再利用等差数列的性质，求出中三节容量，即可得到答案【详解】由题意，上、中、下三节的容量成等差数列，上三节容四升，下三节容二升，则中三节容量为，故选B【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的应用，其中解答中熟记等差数列的等差中项公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题6.在中，角，所对的边为，且为锐角，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析
5、】【分析】利用正弦定理化简，再利用三角形面积公式，即可得到，由，求得，最后利用余弦定理即可得到答案【详解】由于，有正弦定理可得： ，即由于在中，所以，联立 ，解得：，由于为锐角，且，所以所以在中，由余弦定理可得：，故（负数舍去）故答案选D【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题7.在等差数列中，则的值（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质，求得，再由，即可求解.【详解】根据等差数列的性质，可得，即，则，故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及特殊角的三角函数值的计算，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.
6、在ABC中，若a2bsinA，则角B等于（）A. 30或150B. 45或60C. 60或120D. 30或60【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理进行边角互化再求解即可.【详解】由正弦定理有,因为.因为,故.即,又,故B等于30或150.故选：A【点睛】本题主要考查了正弦定理的边角互化问题,属于基础题型.9.在中，内角所对的边分别是已知，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知三边，利用余弦定理可得，结合，为锐角，可得，利用三角形内角和定理即可求的值【详解】在中，由余弦定理可得：，故为锐角，可得，故选【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用10.
7、如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】在三角形中，利用正弦定理求得，然后在三角形中求得.【详解】在BCD中，CBD1801530135.由正弦定理得，所以BC.在RtABC中，ABBCtan ACB1515.故选：D【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查解直角三角形，属于基础题.11.在正项等比数列中，数列的前项之和为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的性质，即可解出答案【详解】故选
8、B【点睛】本题考查等比数列的性质，同底对数的运算，属于基础题12.在中，分别为角对边)，则的形状是( )A. 直角三角形B. 等腰三角形或直角三角形C. 等腰直角三角形D. 正三角形【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理得到，化简得到，得到，得到答案.【详解】，则，即，即，故，.故选：.【点睛】本题考查了正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知角的终边与单位圆交于点则_.【答案】【解析】【分析】直接利用三角函数的坐标定义求解.【详解】由题得.故答案为【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对该知识的理解掌
9、握水平，属于基础题.14.正项等比数列中，则公比_【答案】【解析】【分析】根据题意，由等比数列的性质可得，进而分析可得答案.【详解】根据题意，等比数列中，则，又由数列是正项的等比数列，所以.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式，以及注意数列是正项等比数列是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.在中，内角所对的边分别是若，则_，_【答案】 (1). 1 (2). 【解析】【分析】由已知及正弦定理可得，即求出，利用三角形的内角和定理可求，根据余弦定理可得的值【详解】，由正弦定理可得：，即，又，由余弦定理可得：【点睛】本题主要考查了正弦定
10、理，三角形的内角和定理，余弦定理在解三角形中的综合应用16.已知数列满足，则_.【答案】【解析】【分析】数列为以 为首项，1为公差的等差数列【详解】因为所以又所以数列为以 为首项，1为公差的等差数列所以所以故填点睛】本题考查等差数列，属于基础题三、解答题（本题共6道小题，第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分)17.在ABC中，acosAbcosBccosC，试判断三角形的形状.【答案】直角三角形.【解析】【分析】利用余弦定理把已知中的角化为边，再由代数式变形可得（或），从而得出其为直角三角形【详解】解:由余弦定理知cos A，cos B
11、，cos C，代入已知条件得ab-c0，通分得a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)c2(c2a2b2)0，展开整理得(a2b2)2c4.a2b2c2，即a2b2c2或b2a2c2.根据勾股定理知ABC是直角三角形.【点睛】判断三角形的形状，主要是判断三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形或等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形等因此可从边的角度或从角的角度来判别，这就要求我们可以根据已知条件利用正弦定理或余弦定理化边为角或化角为边，再进行恒等变换求得结论.18. 三个数成等差数列，其比为3:4:5，又最小数加上1后，三个数成等比数列，那么原三个数是【答案】15 20 25【解析】设这三
12、个数：、（），则、成等比数列，则或（舍），则原三个数：15、20、2519.在中，内角所对的边分别为.已知，.（I）求值；（II）求的值.【答案】（）（）【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.试题解析：（）解：由，及，得.由，及余弦定理，得.（）解：由（），可得，代入，得.由（）知，A为钝角，所以.于是，故.考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍
13、角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.20.已知数列的前项和，且；（1）求它的通项.（2）若，求数列前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，利用与的关系式，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）可得，利用乘公比错位相减法，即可求得数列的前项和.【详解】（1）由，当时，；当时，当也成立，所以则通项；（2）由（1）可得，-，两式相减得 所以数列的前项和为.【点睛】本题主要考查了数列和的关系、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关
14、键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，着重考查了的逻辑思维能力及基本计算能力等.21.设函数（1）求函数的最小正周期（2）求函数的单调递减区间；（3）设为的三个内角，若，且为锐角，求【答案】（1）（2）减区间为，（3）【解析】【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论利用正弦函数的单调性，求得函数的单调递减区间利用同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，求得的值【详解】函数，故它的最小正周期为对于函数，令，求得，可得它的减区间为，中，若，若，为锐角，【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，考查了同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式的应用，属于中档题22.设为数列的前项和，已知，.（1）求出，的值，并证明：数列为等比数列；（2）设，数列的前项和为，求证：.【答案】（1），；证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）可令，求得，的值，再由数列的递推式，作差可得（），验证时，即可得数列为首项为2，公比为2的等比数列；（2）由（1）求得，再由裂项相消法求出数列的前项和，再由不等式的性质即可得证.【详解】（1）当时，即，当时，即，（），整理得，（），又，的应用，考查了转化能力与计算能力，属于中档题.