1、第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数基础知识深耕一、任意角角的概念及分类角的特点角的分类从运动的角度看角可分为正角、负角和零角从终边位置来看可分为象限角和轴线角(与)终边相同的角k360(kZ) (或k2，kZ)【拓展延伸】1.对终边相同的角的理解与引申：(1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360的整数倍(2)终边在一条直线上的角之间相差180的整数倍；终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90的整数倍2象限角与轴线角的表示第一象限的角：|k360k36090，kZ；第二象限的角：|k36090k360
2、180，kZ；第三象限的角：|k360180k360270，kZ；第四象限的角：|k36090k360，kZ终边在x轴非负半轴上的角：|2k，kZ；终边在x轴非正半轴上的角：|(2k1)，kZ终边在y轴非负半轴上的角：；终边在y轴非正半轴上的角：.终边在x轴上的角：|k，kZ；终边在y轴上的角：.终边在坐标轴上的角：.二、弧度制在半径为r的圆中：分类定义(公式)1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角，用符号rad表示角的弧度数公式|(弧长用l表示)角度与弧度的换算 1 rad 1 rad弧长公式弧长l|r扇形的面积公式Slr|r2三、任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它
3、的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做的正弦，记作sin x叫做的余弦，记作cos 叫做的正切，记作tan 各象限符号_口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线基础能力提升1下列命题正确的是()A终边相同的角一定相等B第一象限的角都是锐角C锐角都是第一象限的角D小于90的角都是锐角【解析】法一：锐角的集合是|090，.第一象限的角的集合是|k360k36090，kZ，.对于，当k0时，与相同，锐角都是第一象限的角故选C.法二：对于A，60和300是终边相同的角，它们并不相等，排除A；对于B,390是第一象限的角，但它不是锐角
4、，排除B；对于B，60是小于90的角，但它不是锐角，排除D.【答案】C2有三个说法：和的正弦线相等；和的正切线相等；和的余弦线相等其中正确的有()A1个B2个C3个D0个【解析】由三角函数线的定义知正确，错误【答案】B3将钟表的分针拨快10分钟，则分针转过的弧度为()A.B C.D【解析】分针拨快为负角，10.【答案】B4半径为2 cm，中心角为的扇形面积为()A. cm2B. cm2 C. cm2D. cm2【解析】由lr2 cm，Slr cm2.【答案】C1两个技巧三角函数的定义及单位圆的应用技巧(1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上异于原点的任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|
5、OP|r一定是正值(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧2三个易误点(1)易混概念：第一象限角、锐角、小于90的角是概念不同的三类角第一类是象限角，第二、三类是区间角(2)利用180 rad进行互化时，易出现度量单位的混用(3)三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin y，cos x，tan ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin ，cos ，tan .第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式基础知识深耕一、同角三角函数的基本关系1平方关系：sin2cos21.2商数关系：tan .【拓展延伸】公式常见变形与使用时的注意事项：(1)公式常见变形：s
6、in21cos2，cos21sin2，sin ，cos ，sin cos tan ，cos 等(2)注意：当角的终边与坐标轴重合时，平方关系也成立；当k(kZ)时，商数关系不成立只要是同一个角，基本关系式就成立，不拘泥于角的形式二、六组诱导公式组数一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos cos_cos_cos_sin_sin_正切tan tan_tan_tan_【方法技巧】诱导公式记忆口诀对于角“”(kZ)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”“符号看象
7、限”是指“在的三角函数值前面加上当为锐角时，原函数值的符号”基础能力提升1下列结论正确的是()A对任意角，sin23cos231都成立B对任意角，tan 都成立C对任意角，有sin2cos21Dsin 2与sin2所表达的意义相同【解析】由同角三角函数的基本关系知A正确，B、C错误；D显然错误【答案】A2下列变形正确的是()Asincos Bcos()cos()C在ABC中，sin(AB)sin CD若sin 70a，则cos 160a【解析】sinsincos ，A错；cos()cos()，B错；在ABC中，sin(AB)sin(180C)sin C，C正确；若sin 70a，则cos 16
8、0cos(9070)sin 70a，D错【答案】C3已知为第二象限的角，cos ，则tan ()A.BC.D【解析】为第二象限角，cos ，故sin ，tan .【答案】B4已知cos ，则sin(3)cos(2)tan()等于()AB C.D.【解析】原式sin()cos()tan()sin cos (tan )sin2，由cos ，得sin21cos2.【答案】D1两个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时，要注意函数名称和符号的确定(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要注意判断三角函数值的符号2三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan 进行弦、切互
9、化(2)和积转换法：利用(sin cos )212sin cos 的关系进行变形、转化(3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)tan 等第三节三角函数的图象与性质基础知识深耕一、五点法在函数ysin x，x0,2的图象上，起关键作用的五个点是(0,0)，(，0)，(2，0)在函数ycos x，x0,2的图象上，起关键作用的五个点是(0,1)，(，1)，(2，1)五点法作图有三步：列表、描点、连线(注意光滑)二、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数ysin xycos xytan x图象定义域xRxRxR且xk，kZ值域1,11,1R单调性递增区间是2k，2k(k
10、Z)，递减区间是2k，2k(kZ)递减区间是2k，2k(kZ) 递增区间是k，k(kZ)递增区间是2k，2k(kZ)，最值ymax1；ymin1ymax1；ymin1无最大值和最小值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(k，0)，kZ，kZ，kZ对称轴xk，kZxk，kZ无对称轴最小正周期22【方法技巧】三角函数奇偶性的判断技巧：(1)若f(x)Asin(x)(A，0)，则f(x)为偶函数的充要条件是k(kZ)；f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ)(2)若f(x)Acos(x)(A，0)，则f(x)为偶函数的充要条件是k(kZ)；f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ)基础能力提升1对于余弦
11、函数ycos x的图象，下列说法错误的是()A向左、右无限延伸B与ycos x的图象形状相同，只是位置不同C与x轴有无数个交点D关于原点对称【解析】余弦曲线ycos x关于y轴对称，D错误【答案】D2若f(x)cos，则f(x)的最小正周期为()A2BC.D4【解析】T4.【答案】D3函数y3cos x2的值域为()A1,5B5,1 C1,1D3,1【解析】1cos x1，13cos x25.【答案】A4已知atan 2，btan 3，ctan 5，不求值，判断下列大小关系正确的是()AabcBabcCbacDbac【解析】ctan 5tan(5)，又523，且ytan x在上为增函数，tan
12、(5)tan 2tan 3，即bac.【答案】C1两个易误点(1)三角函数存在多个单调区间时易错用“”联结(2)研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“kZ”这一条件2两条性质(1)若f(x)Asin(x)(A，0)，则f(x)为偶函数的充要条件是k(kZ)；f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ)(2)对称性：正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称轴上，正切函数的图象只是中心对称图形第四节函数yAsin(x)的图象及三角函数模型的应用基础知识深耕一、yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相ATf
13、x二、用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：xx02yAsin(x)0A0A0 三、由ysin x的图象变换得到yAsin(x)(其中A0，0)的图象(1)先平移变换后伸缩变换(2)先伸缩变换后平移变换【方法技巧】两种变换的差异先平移变换后伸缩变换，平移的量是|个单位，而先伸缩变换再平移变换，平移的量是(0)个单位，原因是平移变换与伸缩变换都是对x而言的基础能力提升1下列说法正确的有()将函数ysin x的图象向右平移(0)个单位长度，得到函数ysin(x)的图象；要得到函数ysin x(0)的图象，只需将函数ysi
14、n x上所有点的横坐标变为原来的倍；将函数ysin x图象上各点的纵坐标变为原来的A(A0)倍，便得到函数yAsin x的图象；将函数ysin x的图象向左平移个单位，得到函数ycos x的图象A1个B2个C3个D4个【解析】由图象变换的规则知错误，正确【答案】B2用“五点法”作函数ycos在一个周期内的图象时，第四个关键点是()A.B.C.D.【解析】令4x，x.该点坐标为.【答案】A3将函数f(x)sin x图象上所有点向左平移个单位长度，得到yg(x)的图象，则g(x)()AsinBsinCsinDsin【解析】g(x)sinsin.【答案】C4如图341是一向右传播的绳波在某一时刻绳子
15、各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至()图341A甲B乙C丙D丁【解析】点乙经过周期移至甲，周期移至丙，周期移至丁，C选项正确【答案】C1一种方法由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A，b，由周期确定，即由T求出，由特殊点确定2两种技巧(1)由函数ysin x图象变换得到yAsin(x)(A0，0)的图象的技巧；(2)“五点法”作图的列表技巧：表中“五点”相邻两点的横向距离均为.3三个易误点(1)函数图象变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；(2)要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；(3)由yAsin x的
16、图象得到yAsin(x)的图象时，需平移的单位数应为，而不是|.第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式基础知识深耕一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1六个公式sin()sin_cos_cos_sin_；cos()cos_cos_sin_sin_；tan().2公式T()的变形tan tan tan()(1tan_tan_)；tan tan tan()(1tan_tan_)二、二倍角的正弦、余弦、正切公式1三个公式sin 22sin_cos_；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2.2公式S2、C2的变形sin cos sin 2；sin2(1cos 2)；cos2(1
17、cos 2)【拓展延伸】三角化简中的常用技巧(1)“1”的代换：1sin2cos2，12cos2cos 2，1cos 22sin2，1tan等(2)用“弦化切”，“切化弦”的方法来减少函数的种类(3)巧变角：利用拆角、拼角的方式实现角的变化(4)辅助角公式：将形如asin bcos 的式子化为只含一个三角函数的形式sin().基础能力提升1下列算式正确的是()Acos(6030)cos 60cos 30Bcos 30cos 120sin 30sin 1200Ccos 44sin 14sin 44cos 14D对，R，tan()【解析】A显然不对；cos 30cos 120sin 30sin 1
18、20cos(12030)cos 900，B正确；cos 44sin 14sin 44cos 14sin(4414)sin 30，C错；D中，k，(kZ)，所以D错【答案】B2已知，均为锐角，且cos()sin()，则角的值为()A.BC0D无法确定【解析】由题意有cos cos sin sin sin cos cos sin ，cos (cos sin )sin (cos sin )，cos sin ，又为锐角，.【答案】A3已知tan tan 2，tan()4，则tan tan 等于()A2B1 C.D4【解析】tan()，4.tan tan .【答案】C4.的值是()Asin 2Bcos
19、2C.cos 2Dcos 2【解析】原式cos 2.【答案】D1两个技巧：拼角、凑角的技巧(1)用已知角表示未知角2()()；2()()；()()；，；等(2)互余与互补关系；2三种变换：应用公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”；(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等第六节正弦定理和余弦定理基础知识深耕一、正弦定理和
20、余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2Ra2b2c22bccos_A，b2c2a22cacos_B，c2a2b22abcos C变形形式a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；abcsin_Asin_Bsin_C；.cos A；cos B；cos C.解决问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.【拓展延伸】在ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aababab解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，absin
21、 A，无解当A为钝角或直角时，ab，无解二、三角形常用面积公式1Saha(ha表示边a上的高)2Sabsin Cacsin Bbcsin A.3Sr(abc)(r为内切圆半径)【拓展延伸】三角形中的常见结论在ABC中，常有下列结论：(1)ABC.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)有关三角形内角的三角函数关系式：sin(AB)sin C；cos(AB)cos C；tan(AB)tan C；sincos ；cossin .(5)在ABC中，tan Atan Btan Ctan Atan Btan C.基础能力提升1以下关于正弦定理的叙述
22、或变形错误的是()A在ABC中，abcsin Asin Bsin CB在ABC中，若sin 2Asin 2B，则abC在ABC中，若sin Asin B，则AB；若AB，则sin Asin B都成立D在ABC中，【解析】由正弦定理得知，aksin A，bksin B，cksin C，abcsin Asin Bsin C，且.A、D正确，又sin Asin B时ab，AB，反之也成立，C正确由sin 2Asin 2B可得AB或AB，B错误【答案】B2在ABC中，a6，b8，A30，则满足条件的三角形有()A0个B1个C2个D无数个【解析】由正弦定理sin B.ab，B可以为锐角，也可以为钝角，故
23、满足条件的三角形有两个【答案】C3在ABC中，sin A2cos Bsin C，则ABC是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等边三角形【解析】由题意，a2c，b2c2，即bc，ABC为等腰三角形【答案】A4在ABC中，a6，B30，C120，则ABC的面积是()A9B8 C9D18【解析】由题意得A30，ab6，SABCabsin C66sin 1209.【答案】C1两个方法(1)把握三角形中的边角关系在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，ABabsin Asin B.(2)选用正弦定理或余弦定理的原则如果式子中含有角的余弦或边
24、的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到2两个注意点(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解第七节正弦定理、余弦定理的应用举例 基础知识深耕测量中的术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目
25、标方向线之间的水平夹角叫做方位角方位角的范围是(0，360)方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)度例：(1)北偏东m(2)南偏西n；坡角坡面与水平面的夹角设坡角为，坡度为i，则itan 坡度坡面的垂直高度h和水平宽度l的比视角观测点与观测目标两端点的连线所成的夹角【方法技巧】解三角形实际应用题的步骤：基础能力提升1下列说法正确的有()俯角是铅垂线与视线的夹角，其范围为；方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系；方位角的大小范围是0,2)，方向角的大小范围是；坡角就是坡度A1个 B2个 C3个 D4个【解析】正确，错误【答案】B2从
26、A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则与之间的关系是()ABCD90【解析】如图所示，由图可知.【答案】C3两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10B北偏西10C南偏东80D南偏西80【解析】如图所示，由题意，CABCBA40，CBD30，故ABD10，点A在B的南偏西80位置上【答案】D4如图371所示，在河岸AC测量河的宽度BC，下列四组数据，较适宜的是()图371Aa和cBc和bCc和Db和【解析】在河的一岸测量河的宽度，关键是选准基线，在本题中AC可看作基线，在ABC中，能够测量到的边角为b，.
27、【答案】D1一个步骤：解三角形应用题的一般步骤2两种情形：解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解条件足够的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解3三个注意点：解三角形应用题应注意的问题(1)注意方位角与方向角的概念不能混淆(2)画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等，这样可以优化解题过程(3)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量