1、第一章集合与常用逻辑用语第一节集合的概念与运算基础知识深耕一、集合的基本概念1集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性2元素与集合的关系：属于或不属于，表示符号分别为和.3常见数集的符号表示：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集表示NN(N*)ZQR4.集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法解集合问题时的“四看”：一看代表元素：代表元素反映了集合中元素的特征，解题时需分清是点集、数集还是其他集合；二看元素组成：集合是由元素组成的，从研究集合的元素入手是解集合题的常用方法；三看能否化简：有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系，可使问题变得简捷；四看能否数形结合：常运用的数
2、形结合形式有数轴、坐标轴和Venn图二、集合间的基本关系1子集：若对xA，都有xB，则AB(或BA)2真子集：若AB，但xB，且xA，则AB(或BA)3相等：若AB，且BA，则AB.4空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集【拓展延伸】集合间基本关系中的“四结论”：(1)空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集；(2)任何一个集合是它本身的子集，即AA.空集只有一个子集，即它本身；(3)集合的子集和真子集具有传递性，即若AB，BC，则AC；若AB，BC，则AC；(4)含有n个元素的集合有2n个子集，有2n1个非空子集，有2n1个真子集，有2n2个非空真子集三、集合的基本
3、运算并集交集补集符号表示ABAB若全集为U，则集合A的补集为UA图形表示意义x|xA，或xBx|xA，且xBUAx|xU，且xA【拓展延伸】1.集合间的两个等价转换关系(1)ABAAB；(2)ABABA.2集合间运算的两个常用结论：(1)U(AB)(UA)(UB)；(2)U(AB)(UA)(UB)基础能力提升1下列说法正确的是()A很小的实数可以构成集合B.QC集合y|yx21与(x，y)|yx21是同一集合D1，0.5这些数构成的集合有3个元素【解析】A选项不满足集合中元素的确定性，错误；是无理数，故Q，B错；C中两集合不同，一个是数集，另一个是点集，不是同一集合，错误；D选项正确【答案】D
4、2已知集合A0,1，则下列式子错误的是()A0AB1ACAD0,1A【解析】1A，1A错误，其余均正确【答案】B3已知集合M1,2,3，NxZ|1x4，则()AMNBNMCMN2,3DMN(1,4)【解析】NxZ|1x42,3，MN2,3【答案】C4设全集U2,3,4,5,6，UA3,5，则A_.【解析】UAAU，UAA.A2,4,6【答案】2,4,61两个工具：数轴、Venn图2两种思想：数形结合思想、分类讨论思想3四个防范：(1)集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简(2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防
5、止漏解(3)解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系(4)Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心第二节命题及其关系、充分条件与必要条件基础知识深耕一、命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题二、四种命题及其关系1四种命题间的相互关系【方法技巧】写一个命题的其他三个命题时需要注意的问题：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提；(3)对于有多个并列
6、条件的命题，应把其中一个作为大前提2四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系【拓展延伸】同一个命题的四种命题中真命题的个数：在同一个命题的四种命题中，真命题的个数可能是0，或2，或4.三、充分条件与必要条件1如果pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件2如果pq，那么p与q互为充要条件3如果pD/q，且qD/p，则p是q的既不充分又不必要条件【拓展延伸】充分不必要条件与必要不充分条件：(1)如果pq，但qD/p，则p是q的充分不必要条件(2)如果qp，但pD/q，则p是q的必要不充分条件基础能力提升1下列语句是
7、命题的为()A作ABCABCB等边三角形是等腰三角形吗？C一个数不是正数就是负数D平行四边形【解析】根据命题的概念可知A，B，D不是命题C是命题，是假命题【答案】C2命题“若aA，则bB”的否命题是()A若aA，则bBB若aA，则bBC若bB，则aAD若bB，则aA【解析】“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”，B正确【答案】B3已知p：|x|2，q：0x2，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【解析】|x|22x2，但由2x2不能得到0x2；而由0x2能得出2x2，故p是q的必要不充分条件【答案】B4有三个命题：(1)“若xy0，则x，y互为相反
8、数”的逆命题；(2)“若ab，则a2b2”的逆否命题；(3)“若x3，则x2x60”的否命题其中真命题的个数为_【解析】(1)真；(2)原命题假，其逆否命题也假；(3)原命题的逆命题假，则原命题的否命题假【答案】11一个区别：否命题与命题的否定是两个不同的概念否命题同时否定原命题的条件和结论，命题的否定仅仅否定原命题的结论(条件不变)2两条规律：四种命题间关系的两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假(2)当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假同时要关注“特例法”的应用3三个防范：判断充分、必要条件时的三个防范(1)分清四种条件的定义间的区
9、别与联系(2)弄清“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的不同(3)注意题目中的大前提第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词基础知识深耕一、逻辑联结词1概念用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到新命题p且q，记作pq；用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到新命题p或q，记作pq；对命题p的结论进行否定，得到新命题非p，记作綈p.2命题pq，pq，綈p的真假判断pqpqpq綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真【拓展延伸】常见词语的否定形式正面词语是都是至多有一个至少有一个任意所有的否定不是不都是至少两个一个也没有某个某些二、全称量词与存在量词1全称量词与全
10、称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为xM，p(x)2存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为x0M，p(x0)3含有一个量词的命题的否定命题命题的否定xM，p(x)x0M，綈p(x0)x0M，p(x0)xM，綈p(x)【方法技巧】对含有一个量词的命题否定时要注意的问题：(1)含有一个量词的命
11、题的否定，是在否定结论的同时，改变量词的属性，不要只否定结论，不改量词(2)由于全称量词经常省略，因此写这类命题的否定时，应先找出其中的全称量词，再否定量词和结论基础能力提升1已知命题p：若xy0，则x，y中至少有一个大于0，则綈p为()A若xy0，则x，y中至多有一个大于0B若xy0，则x，y都不大于0C若xy0，则x，y中至多有一个大于0D若xy0，则x，y都不大于0【解析】注意与否命题的区别，否命题中条件、结论全否定；命题的否定“綈p”只需否定命题“p”的结论，故选B.【答案】B2如果命题“綈(pq)”是假命题，则下列命题正确的是()Ap，q均为真命题Bp，q中至少有一个为真命题Cp，q
12、均为假命题Dp，q中至少有一个为假命题【解析】綈(pq)为假命题，pq为真命题，p，q中至少有一个为真命题【答案】B3下列说法正确的是()A命题“三角形的内角和是180”不是全称命题B“xR，x30”是假命题C“x0R，tan x01”是假命题D命题“nN,2n1 000”【解析】A选项中命题是省略了量词的全称命题；当x0时，x30；xN*，(x1)20；x0R，lg x01；x0R，tan x02.其中假命题是_【解析】由函数的性质，显然、是真命题，对于，当x1时，(x1)20，是假命题【答案】1一个关系：逻辑联结词与集合的关系逻辑联结词“且”“或”“非”对应着集合中的“交”“并”“补”2两个易错点：(1)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定(2)p或q的否定易误写成“綈p或綈q”；p且q的否定易误写成“綈p且綈q”3三种方法：(1)含有逻辑联结词命题真假判断的方法：pq中一假则假，pq中一真必真，p与綈p中一假一真(2)含量词的命题的否定方法是“改量词，否结论”，即把全称量词与存在量词互换，然后否定原命题的结论(3)判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举反例即可；特称命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真