1、第7讲 抛物线 课标要求考情风向标1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程，掌握它的定义、标准方程、几何图形及简单性质.3.通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想1.本节复习时，应紧扣抛物线的定义、熟练掌握抛物线的标准方程、几何图形、简单的几何性质及其应用.要善于利用抛物线的定义将抛物线上的点到准线的距离和到焦点的距离进行转化.2.由于高考对抛物线这一知识点的要求属于“掌握”这一层次，而且以抛物线为背景的试题中渗透考查了数学的主要思想，且高考的考查基于“多思少算”的考虑，所以以抛物线为背景的解答题在高考中明显
2、增多，因此我们应重视这一知识点的复习1.抛物线的定义准线平面上到定点的距离与到定直线 l(定点不在直线 l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的_.2.抛物线的标准方程、类型及其几何性质(p0)标准方程y22pxy22pxx22pyx22py图形焦点Fp2，0Fp2，0F0，p2F0，p2(续表)标准方程y22pxy22pxx22pyx22py准线xp2xp2yp2yp2范围x0，yRx0，yR xR，y0 xR，y0对称轴x 轴x 轴y 轴y 轴顶点(0,0)离心率e1)C1.已知抛物线 C：y2020 x2，则(A.它的焦点坐标为(505,0)B.它的焦
3、点坐标为(0,505)1C.它的准线方程是 y8080D.它的准线方程是 y5052.若抛物线 y24x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y9轴的距离是_.解析：xM110 xM9.3.(2019 年广东中山统测)过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点.若 x1x26，则|AB|()BA.6C.9B.8D.10解析：由题意知，抛物线 y24x 的准线方程是 x1.过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，|AB|x1x22.又x1x26，|AB|x1x228.故选 B.4.O 为坐标原点，F 为
4、抛物线 C：y24 2x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|4 2，则POF 的面积为()A.2 B.2 2C.2 3 D.4C解析：设 P(x0，y0)，则|PF|x0 24 2.x03 2.y204 2x04 23 224.|y0|2 6.F(2，0)，SPOF12|OF|y0|12 22 62 3.考点 1 抛物线的标准方程A.1B.2C.4D.8例 1：(1)(2014 年新课标)已知抛物线 C：y2x 的焦点为F，A(x0，y0)是 C 上一点，|AF|54x0，则 x0()答案：A解析：根据抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，又抛物线的准线方程为 x14，则有
5、|AF|x014，即54x0 x014.x01.(2)(2016 年新课标)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点.已知|AB|4 2，|DE|2 5，则 C 的焦点到准线的距离为()A.2 B.4 C.6 D.8解析：如图 D56，不妨设抛物线方程为 y22px(p0)，AB，DE 分别交 x 轴于 C，F 点，则 AC2 2，即 A 点的纵坐标为2 2.则 A 点的横坐标为4p，即 OC4p.由勾股定理知，DF2OF2DO2r2，AC2OC2AO2r2，即(5)2p22(2 2)24p2.解得 p4，即 C 的焦点到准线的距离为 4.故选 B.
6、图 D56答案：B(3)设 F 为抛物线 y26x 的焦点，A，B，C 为该抛物线上三点.若FAFBFC0，则|FA|FB|FC|()A.4 B.6 C.9 D.12解析：由题意得，抛物线的焦点为 F32，0，准线方程为x32.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，FAFBFC0，点 F 是ABC 的重心，x1x2x392.答案：C由抛物线的定义可得|FA|x132 x132，|FB|x232 x232，|FC|x332 x332，|FA|FB|FC|x132x232x3329.【方法与技巧】第(1)题利用抛物线的定义直接得出 p 的值可以减少运算；第(2)题主要考查抛物线
7、的性质及运算，注意解析几何问题中最容易出现运算错误，所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性.考点 2 抛物线的几何性质考向 1 到焦点与到定点距离之和最小问题例 2：(2019 年江西赣州模拟)若点 A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线 y22x 的焦点，点 M 在抛物线上移动时，使|MF|MA|取得最小值的 M 的坐标为()A.(0,0)B.12，1 C.(1，2)D.(2,2)解析：过M点作准线的垂线，垂足为N，则|MF|MA|MN|MA|，当 A，M，N 三点共线时，|MF|MA|取得最小值，此时 M(2,2).答案：D考向 2 到点与到准线的距离之和最小问题例 3：(1)已知点 P
8、为抛物线 C：y24x 上一点，记 P 到此抛物线准线 l 的距离为 d1，点 P 到圆(x2)2(y4)24 上点的距离为 d2，则 d1d2 的最小值为_.解析：易知圆(x2)2(y4)24 的圆心为 M(2，4)，半径为 2，设抛物线 C：y24x 的焦点为 F(1,0)，连接 PF，如图 D57.由抛物线的定义，得 d1d2|PF|d2，要求|PF|d2 的最小值，需 F，P，M 三点共线，答案：3图 D57且最小值为|FM|2 12204223.(2)已 知 点 M(x，y)是 抛 物 线 y2 4x 上 的 动 点，则x22y12 x12y2的最小值为()A.3 B.4 C.5 D
9、.6答案：A解析：x12y2表示点 M(x，y)到点 F(1,0)的距离，即点 M(x，y)到抛物线 y24x 的准线 x1 的距离，x22y12 表 示 点 M(x，y)到 点 A(2,1)的 距 离，x22y12 x12y2的最小值为点 A(2,1)到抛物线 y24x 的准线 x1 的距离 3，即(x22y12x12y2)min3.考向 3 到定直线的距离和最小问题例 4：已知直线 l1：4x3y60 和直线 l2：x1，抛物线 y24x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是()A.3 55B.2C.115D.3到直线 l1：4x3y60 的距离，最小值是解析：由
10、题意可知 l2：x1 是抛物线 y24x 的准线，设抛物线的焦点为 F(1,0)，如图 D58，则动点 P 到 l2 的距离等于|PF|，动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是焦点 F|406|52.图 D58答案：B【规律方法】求两个距离和的最小值，当两条直线拉直(三点共线)时和最小，当直接求解怎么做都不可能三点共线时，联 想到抛物线的定义，即点 P 到该抛物线准线的距离等于点 P 到其焦点的距离，进行转换再求解.考向 4 抛物线几向性质与三角形的简单应用 例 5：(2015 年浙江)如图 7-7-1，设抛物线 y24x 的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点 A，
11、B，C，其中点 A，B 在抛物线上，点 C 在 y 轴上，则BCF 与ACF 的面积之比是()A.|BF|1|AF|1B.|BF|21|AF|21C.|BF|1|AF|1D.|BF|21|AF|21图 7-7-1解析：SBCFSACFBCACxBxA|BF|1|AF|1.答案：A考点 3 直线与抛物线的位置关系例 6：(2018 年新课标)设抛物线 C：y22x，点 A(2,0)，B(2,0)，过点 A 的直线 l 与 C 交于 M，N 两点.(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程；(2)证明：ABMABN.(1)解：当 l 与 x 轴垂直时，l 的方程为 x2，可得 M 的坐标
12、为(2,2)或(2，2).直线 BM 的方程为 y12x1 或 y12x1.(2)证明：当 l 与 x 轴垂直时，AB 为 MN 的垂直平分线，ABMABN.当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x10，x20.由ykx2，y22x，得 ky22y4k0，可知 y1y22k，y1y24.直线 BM，BN 的斜率之和为kBMkBN y1x12 y2x22x2y1x1y22y1y2x12x22.将 x1y1k 2，x2y2k 2 及 y1y2，y1y2 的表达式代入式分子，可得x2y1x1y22(y1y2)2y1y24ky1y2
13、k88k0.kBMkBN0，可知 BM，BN 的倾斜角互补，ABMABN.综上所述，ABMABN.【跟踪训练】1.(2018 年新课标)设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过点(2,0)且斜率为23的直线与 C 交于 M，N 两点，则FM FN()A.5 B.6 C.7 D.8D解析：联立y24x，y23x2，化简得 x25x40，解得 x11，x24.M(1,2)，N(4,4)，F(1,0)，则FM FN(0,2)(3,4)8.思想与方法 利用运动变化的思想探求抛物线中的不变问题 例题：已知 AB 是抛物线 y22px(p0)的焦点弦，F 为抛物线焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2).
14、求证：(1)y1y2p2，x1x2p24；(2)|AB|x1x2p 2psin2(为直线 AB 与 x 轴的夹角)；(3)SAOB p22sin；(4)1|AF|1|BF|为定值；(5)以 AB 为直径的圆与抛物线准线相切.思维点拨：求(1)要写出焦点 F 的坐标p2，0，由点斜式写出过焦点 F 的直线方程，注意讨论斜率是否存在，然后与 y22px 联立，再由根与系数的关系即得；(2)中|AB|AF|BF|，再将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离即可；(3)中 SAOBSAOFSBOF，再由面积公式求得；(4)中将点到焦点的距离转化为点到准线的距离；求(5)要先求出AB的中点M，再证
15、明 M 点到准线的距离等于12|AB|即可.证明：(1)y22px(p0)的焦点为 Fp2，0，设直线方程为ykxp2(k0).由ykxp2，y22px，消去 x，得 ky22pykp20.y1y2p2，x1x2y1y224p2 p24.当 k 不存在时，直线方程为 xp2.这时 y1p，y2p，则 y1y2p2，x1x2p24.因此，总有 y1y2p2，x1x2p24 成立.(2)由抛物线定义：|AF|等于点 A 到准线 xp2的距离.|AF|x1p2，同理：|BF|x2p2.|AB|AF|BF|x1x2p.又90时，ykxp2，x1kyp2.x1x21k(y1y2)p.由方程知 y1y22
16、pk，x1x22pk2p.将代入，得|AB|2pk22p2p11k2 2p1 1tan2 2psin2.当 90，|AB|y1y2|2p 2psin2.综上所述，|AB|x1x2p 2psin2.(3)SAOBSAOFSBOF12|OF|AF|sin()12|OF|BF|sin 12|OF|sin(|AF|BF|)12|OF|AB|sin 12p2 2psin2sin p22sin.(4)1|AF|1|BF|1x1p21x2p2x1x2px1x2p2x1x2p24.(5)设 AB 的中点为 M(x0，y0)，分别过 A，M，B 作准线的垂线，垂足分别为 C，N，D，如图 7-7-2.图 7-7
17、-2又x1x2p24，代入式得 1|AF|1|BF|2p常数.【规律方法】解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解.则|MN|12(|AC|BD|)12(|AF|BF|)12|AB|.以 AB 为直径的圆与抛物线准线相切.【跟踪训练】2.(多选)AB 为过抛物线焦点的动弦，P 为 AB 的中点，A，B，P 在准线 l 的射影分别是 A1，B1，P1.下列结论正确的是()A.FA1FB1C.BP1FB1B.AP1BP1D.AP1FA1解析：A 选项，如图 D59(1)，|AA1|AF|，AA1FAF
18、A1，又 AA1F1F，AA1FA1FF1，则AFA1A1FF1.同理BFB1B1FF1，则A1FB190，故 FA1FB1.B 选项，如图 D59(2)，|PP1|AA1|BB1|2|AF|BF|2|AB|2，即AP1B 为直角三角形，故 AP1BP1.C 选项，如图 D59(3)，|BB1|BF|，即BB1F 为等腰三角形，|PP1|PB|，PP1BPBP1.又 BB1P1P，PP1BB1BP1，则PBP1B1BP1，即 BP1 为角平分线，故 BP1FB1.D 选项，如图 D59(4)，同 C 选项有 AP1FA1.(1)(3)(2)(4)图 D59答案：ABCD【规律方法】利用抛物线的
19、定义“P 到该抛物线准线的距 离等于点 P 到其焦点的距离”能得到多个等腰三角形，然后利用平行线的性质，得到多对相等的角，最后充分利用平面几何的性质解题.1.对于抛物线的标准方程有四种形式，重点把握好两点：“p”是焦点到准线的距离，恒为正数；要搞清方程与图形的对应性，其规律是“对称轴看一次项，符号决定开口方向”.对抛物线的标准方程要准确把握，注意和二次函数的形式区分开，例如抛物线 y2x2 化成标准方程物线开口方向，防止设错抛物线的标准方程.为 x212y.用待定系数法求抛物线的方程时，要注意对称轴和抛2.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点 M，一个定点 F(抛物线的焦点)，一条定
20、直线 l(抛物线的准线)，一个定值 1(抛物线的离心率).3.抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的等价性，故二者可相互转化，这一转化在解题中有着重要作用.4.抛物线的焦半径、焦点弦.y22px(p0)的焦半径|PF|xp2；x22py(p0)的焦半径|PF|yp2；过焦点的所有弦中最短的弦，也被称作通径，其长度为2p；AB 为抛物线 y22px(p0)的焦点弦，则 xAxBp24，yAyBp2，|AB|xAxBp.5.直线与抛物线只有一个交点并不表明直线与抛物线相切，因为直线与对称轴平行时，直线与抛物线只有一个交点，但该种关系显然不是相切.因此通过方程判断直线与抛物线的位置关系时，要注意这种特殊情形.