1、第3讲 圆的方程 课标要求考情风向标1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.2.在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想本节内容具有承前启后的作用，既与前面的直线相联系，也为后面学习圆锥曲线做准备.高考中对此部分内容的考查主要呈现以下几个特点：一是重基础知识和基本技能，主要考查直线、圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系；二是重在知识的交汇处命题，把解析几何初步与集合、向量、函数等知识结合命题，注重考查学生综合运用知识解决问题的能力1.圆的定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.确定一个圆最基本的要素是圆心和
2、半径.2.圆的标准方程(a，b)x2y2r2(1)方程(xa)2(yb)2r2(r0)表示圆心为_，半径为 r 的圆的标准方程.(2)特别地，以原点为圆心，半径为 r(r0)的圆的标准方程为_.3.圆的一般方程方程 x2y2DxEyF0 可变形为xD22yE22D2E24F4.故有：(1)当 D2E24F0 时，方程表示以D2，E2 为圆心，以 D2E24F2为半径的圆；(2)当 D2E24F0 时，方程表示一个点D2，E2；(3)当 D2E24F0 时，方程不表示任何图形.4.点 M(x0，y0)与圆 x2y2DxEyF0 的位置关系点 M 在圆内x20y20Dx0Ey0F1.圆心为(1,1
3、)且过原点的圆的方程是()A.(x1)2(y1)21B.(x1)2(y1)21C.(x1)2(y1)22D.(x1)2(y1)222.若直线 yxb 平分圆 x2y28x2y80 的周长，则b()DDA.3B.5C.3D.53.已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0，5)在圆 C上，且圆心到直线 2xy0 的距离为4 55，则圆 C 的方程为_.解析：设 C(a,0)，(a0)，则|2a|54 55a2，r 22 523，故圆 C 的方程为(x2)2y29.(x2)2y294.(2019 年北京)设抛物线 y24x 的焦点为 F，准线为 l.则以F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程
4、为_.解析：抛物线 y24x 中，2p4，p2，焦点 F(1,0)，准线l 的方程为 x 1，以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为(x1)2y222，即为(x1)2y24.(x1)2y24考点 1 求圆的方程例 1：(1)圆心在直线 x2y0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 3，则圆 C 的标准方程为_.解析：圆心在直线 x2y0 上，设圆心为(2a，a)，圆 C 与 y 轴的正半轴相切，a0，r2a，又圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 3，a2(3)2(2a)2，a21，a1.则圆 C的标准方程为(x2)2(x1)24.答案：(x2)2(x1)
5、24(2)(2016 年天津)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点M(0，5)在圆 C 上，且圆心到直线 2xy0 的距离为4 55，则圆 C 的方程为_.答案：(x2)2y29解析：设 C(a,0)，(a0)，则|2a|54 55a2，r 22 523，故圆 C 的方程为(x2)2y29.(3)(2018 年天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为_.解析：设圆的方程为 x2y2DxEyF0，圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，则F0，11DEF0，42DF0，解得F0，E0，D2，则圆的方程为 x2y22x0.答案：x2y22x0(4
6、)已知圆的圆心在直线 x2y30 上，且过点 A(2，3)，B(2，5)，则圆的方程为_.解析：解法一，设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由题意得2a23b2r2，2a25b2r2，a2b30，解得a1，b2，r210，故所求圆的方程为(x1)2(y2)210.答案：x2y22x4y50解法二，设圆的一般方程为 x2y2DxEyF0，则圆心坐标为D2，E2.由题意得D2 2E2 30，492D3EF0，4252D5EF0，解得D2，E4，F5.故所求圆的方程为 x2y22x4y50.【规律方法】(1)确定一个圆的方程，需要三个独立条 件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是
7、指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.因此利用待定系数法求圆的方程时，不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.(2)研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程思想，又要重视几何性质及定义的运用，以降低运算量.总之，要数形结合，拓宽解题思路.与弦长有关的问题经常需要用到点到直线的距离公式、勾股定理、垂径定理等.考点 2 与圆有关的最值问题考向 1 斜率型最值问题例 2：已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10，求yx的最大值和最小值.解：原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆.yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，设yxk
8、，即 ykx.如图 D44 所示，当直线 ykx 与圆相切时，斜率 k 取最大值或最小值，图 D44此时|2k0|k21 3，解得 k 3.yx的最大值为 3，最小值为 3.考向 2 截距型最值问题 例 3：已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10，求 yx的最大值和最小值.解：yx 可看作是直线 yxb 在 y 轴上的截距，如图 D45所示，图 D45当直线 yxb 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值，此时|20b|2 3，解得 b2 6.yx 的最大值为2 6，最小值为2 6.考向 3 距离型最值问题 例 4：已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10，求 x2y2 的最大值
9、和最小值.解：如图 D46 所示，x2y2 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.图 D46又圆心到原点的距离为 2020022，x2y2 的最大值是(2 3)274 3，x2y2 的最小值是(2 3)274 3.考向 4 距离和(差)最值问题例 5：(1)已知圆 C1：(x2)2(y3)21，圆 C2：(x3)2(y4)29，M，N 分别是圆 C1，C2 上的动点，P 为 x 轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A.5 24 B.171 C.62 2 D.17解析：圆心 C1(2,3)，C2(3,4)，作 C1 关于 x 轴
10、的对称点 C1(2，3)，连接 C1，C2 与 x 轴交于点 P，此时|PM|PN|取得最小答案：A值，为|C1C2|135 24.(2)(2018 年安徽巢湖四中、庐江二中第二次联考数学试题)点 P 是直线 yx1 上的动点，过点 P 作圆 C：x2(y2)21的切线，则切线长的最小值是()A.322B.14C.142D.72答案：C解析：圆 C：x2(y2)21，圆心 C(0,2)，半径 r1.由题意可知，点 P 到圆 C：x2(y2)21 的切线长最小时，CP垂直直线 yx1.圆心到直线的距离 d 32，切线长的最小值为921 142.故选 C.考向 5 利用目标函数求最值A.9B.8C
11、.4D.2例 6：已知直线 axbyc10(bc0)经过圆 x2y22y50 的圆心，则4b1c的最小值是()答案：A解析：将 x2y22y50 化为 x2(y1)26，圆心(0,1)，代入axbyc10得bc1.4b1c(bc)(4b1c)54cbbc52 4cb bc9.【规律方法】与圆有关的最值问题的常见解法：形如 taxby 形式的最值问题，可转化为动直线截距 的最值问题；形如(xa)2(yb)2 形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.形如 ybxa形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；考点 3 圆的综合应用例 7：(1)直线 l1 和 l2 是圆 x2y2
12、2 的两条切线，若 l1 与 l2的交点为(1,3)，则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于_.解析：如图 7-3-1，sinOPB|OB|OP|210 55，cosOPB255，tanOPB12，tanAPBtan 2OPB212112 243.图 7-3-1答案：43(2)(2017 年江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，A(12,0)，B(0,6)，点 P 在圆 O：x2y250 上，若PAPB20，则点 P 的横坐标的取值范围是_.解析：设 P(x，y)，由PAPB20，易得 2xy50，由2xy50，x2y250可得x5，y5，或x1，y7.由 2xy50 表示直线 2xy50 以及
13、直线上方的区域，结合限制条件5 2x5 2，可得点 P 的横坐标的取值范围是5 2，1.答案：5 2，1【跟踪训练】1.若长度为 4 的线段 AB 的两端点分别在 x 轴正半轴和 y 轴正半轴上移动，P(x，y)为OAB(O 为原点)外心的轨迹上的一点，则 xy 的最大值是()A.1B.2C.2D.2 2答案：D解析：OAB 为直角三角形，外心就是 AB 的中点，OP12AB2，即 P 在以原点为圆心，以 2 为半径的圆上，设x2cos，y2sin，0，2，x y 2(cos sin)22sin 4 22，当4时，“”成立，故选 D.思想与方法利用函数与方程的思想求圆的方程例题：(2017 年
14、新课标)已知抛物线 C：y22x，过点(2,0)的直线 l 交 C 于 A，B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆.(1)证明：坐标原点 O 在圆 M 上；(2)设圆 M 过点 P(4，2)，求直线 l 与圆 M 的方程.(1)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy2，由xmy2，y22x可得 y22my40，y1y24.又 x1y212，x2y222，x1x2y212y222y1y2244，因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为y1x1y2x244 1，OAOB.故坐标原点 O 在圆 M 上.(2)解：由(1)，可得y1y22m，x1x2m(y1y2)42m24，故
15、圆心为 M(m22，m)，故(x14)(x24)(y12)(y22)0，即 x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200.由(1)，可得 y1y24，x1x24，圆的半径为 r m222m2，圆 M 过点 P(4，2)，因此APBP0，2m2m10.解得 m1 或 m12.当 m1 时，直线 l 的方程为 xy20，圆 M 的圆心坐标为(3,1)，半径为 10，则圆 M 的方程为(x3)2(y1)210.当 m12 时，直线 l 的方程为 2xy40，圆 M 的圆心坐标为94，12，半径为 854，圆 M 的方程为x942y1228516.【跟踪训练】2.(2019 年福建福州质检)过点
16、 P(1，2)作圆 C：(x1)2y21 的两条切线，切点分别为 A，B，则 AB 所在直线的方程为()A.y 34 B.y12C.y 32 D.y14答案：B解析：圆(x1)2y21 的圆心为 C(1,0)，半径为 1，以|PC|1122022 为直径的圆的方程为(x1)2(y1)21，将两圆的方程相减得 AB 所在直线的方程为 2y10，即 y12.1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.3.常用结论：(1)以 A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.(2)若圆(xa)2(yb)2r2 与 x 轴相切，则|b|r；若圆(xa)2(yb)2r2 与 y 轴相切，则|a|r.(3)若圆 x2y2DxEyF0 关于 x 轴对称，则 E0;若圆 x2y2DxEyF0 关于 y 轴对称，则 D0；若圆 x2y2DxEyF0 关于 yx 对称，则 DE.