1、2.2 等差数列 2.2.1 等差数列 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念.3.理解等差数列的性质.1.等差数列的概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示.名师点拨1.定义中从“第2项起”,这一条件是指第1项是首项,前面没有其他项.2.“每一项与它的前一项的差”说明了运算的顺序,必须是后项减前项,而且必须是相邻的两项.3.“同一常数”是指每一项与它前一项的差必须相同,否则不是等差数列.【做一做1】如果一个数列的前3项分别为1,2,3,那么下列结论中
2、正确的是()A.它一定是等差数列 B.它一定是递增数列 C.它一定是有穷数列 D.以上结论都不一定正确 答案:D 2.等差数列的通项公式 如果一个等差数列an的首项为a1,公差为d,则通项公式为an=a1+(n-1)d.名师点拨等差数列通项公式的其他形式.(1)an=am+(n-m)d;(2)an=an+b(a,b是常数).【做一做2-1】已知数列an的通项公式为an=2(n+1)+3,则此数列()A.是公差为2的等差数列 B.是公差为3的等差数列 C.是公差为5的等差数列 D.不是等差数列 解析:已知a1=7,an-an-1=2(n2),故这是一个以2为公差的等差数列.答案:A【做一做2-2
3、】等差数列1,-1,-3,-89的项数是()A.92 B.47 C.46D.45 解析:由已知,得a1=1,d=(-1)-1=-2,an=1+(n-1)(-2)=-2n+3.令-2n+3=-89,得n=46.答案:C 3.等差中项 如果三个数x,A,y组成等差数列,那么A叫做x和y的等差中项.x,A,y是等差数列的充要条件是2A=x+y.归纳总结1.当三个数成等差数列时,一般设为a-d,a,a+d;当四个数成等差数列时,一般设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.2.在等差数列an中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项,表示为an+1=,等价于an+a
4、n+2=2an+1,an+1-an=an+2-an+1.【做一做3】已知在ABC中,三内角A,B,C成等差数列,则B等于()A.30 B.60 C.90 D.120 答案:B +22 一 二 三 一、解读等差数列的概念 剖析:(1)在等差数列的定义中,要注意两点,“从第2项起”及“同一个常数”.因为数列的第1项没有前一项,因此强调从第2项起,如果一个数列,不从第2项起,而是从第3项或从第4项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么此数列不是等差数列,但可以说从第2项或第3项起是一个等差数列.一个数列,从第2项起,每一项与它的前一项的差,尽管等于常数,这个数列也不一定是等差数列,因为这个
5、常数可以不同.(2)求公差d时,可以利用d=an-an-1(n2)或d=an+1-an来求.(3)公差dR,当d=0时,数列为常数列;当d0时,数列为递增数列;当d0,所以+1=+1,即+1 =1.所以 是首项为 1=1,公差为 1 的等差数列.所以=1+(n-1)=n.所以 an=n2.反思应熟记几种辅助数列构造方法及其对应数列的结构形式.构造等差数列的方法一般有:平方法、开平方法、倒数法等.题型一 题型二 题型三 题型四 题型五【变式训练5】在数列an中,a1=1,an+1=,求an.2+2解:由已知得1+1=1+12,1 为等差数列.1=1+12(n-1)=+12,an=2+1.题型四
6、题型五 题型一 题型二 题型三 易错辨析 易错点1:忽视公差取值的多样性而致误【例6】已知b是a,c的等差中项,且lg(a+1),lg(b-1),lg(c-1)成等差数列,同时a+b+c=15,求a,b,c的值.错解:因为b是a,c的等差中项,所以2b=a+c.又a+b+c=15,所以3b=15,所以b=5.不妨设a=5-d,c=5+d.由题可知2lg(b-1)=lg(a+1)+lg(c-1),所以2lg 4=lg(5-d+1)+lg(5+d-1).所以16=25-(d-1)2.所以(d-1)2=9,即d-1=3.所以d=4,所以a,b,c分别为1,5,9.题型四 题型五 题型一 题型二 题型
7、三 错因分析:解方程(d-1)2=9时,d-1应取3.而错解只取d-1=3,漏掉了d-1=-3的情况.正解:因为b是a,c的等差中项,所以2b=a+c.又a+b+c=15,所以3b=15.所以b=5.不妨设a=5-d,c=5+d.由题可知2lg(b-1)=lg(a+1)+lg(c-1),所以2lg 4=lg(5-d+1)+lg(5+d-1).所以16=25-(d-1)2,即(d-1)2=9.所以d-1=3,即d=4或d=-2.所以a,b,c三个数分别为1,5,9或7,5,3.题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 易错点2:错误理解两数列的相同项而致误【例7】已知两个等差数列an:5,8,11
8、,与bn:3,7,11,它们的项数均为100,则它们有多少个彼此具有相同数值的项?错解:已知两等差数列的前3项,容易求得它们的通项公式分别为an=3n+2,bn=4n-1(1n100).令an=bn,得3n+2=4n-1,即n=3.所以两数列只有1个数值相同的项,即第3项.错因分析:本题中所说的数值相同的项,它们的项的序号并不一定相同.例如23在数列an中是第7项,而在数列bn中是第6项,我们也说它是两个数列中数值相同的项,也就是说,在这里我们只看这个数在两个数列中有没有都出现过,而并不关心它是这两个数列中的第几项.题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 正解:因为an=3n+2(nN+),b
9、k=4k-1(kN+),两数列的共同项可由3n+2=4k-1求得,所以n=k-1.而nN+,kN+,所以可设k=3r(rN+),得n=4r-1.43由 1 3 100,1 4-1 100,且 rN+,可得1r25.所以共有25个相同数值的项.1 2 3 4 51已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是()A.2B.3C.6D.9 解析:由题意,得 +2=8,2+=10,所以 =4,=2.所以 m 和 n 的等差中项是 3.答案:B 1 2 3 4 52已知an是首项a1=1,公差d=3的等差数列,若an=2 014,则序号n等于()A.669B.670C.671
10、D.672 解析:由首项a1=1,公差d=3,得an=a1+(n-1)d=3n-2.代入an=2 014=3n-2,解得n=672.答案:D 1 2 3 4 53在等差数列an中,已知a3=7,a5=a2+6,则a6=.解析:在等差数列an中,a3=7,a5-a2=6,3d=6.a6=a3+3d=7+6=13.答案:13 1 2 3 4 54若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a=.解析:设公差为 d,则 c-a=2d=29-25-1=274=72.答案:721 2 3 4 55在等差数列an中,a3+a4+a5=84,a9=73.求数列an的通项公式.解:由a3+a4+a5=84,得3a4=84,a4=28,又a9=73,d=9-49-4=73-285=9.an=a4+(n-4)d=28+(n-4)9=9n-8,an=9n-8.