1、第七章 解析几何 第1讲 直线的方程 课标要求考情风向标1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系1.本节是解析几何的基础，它渗透到解析几何的各个部分，复习时应把握基础点，重视基础知识之间的联系，注意基本方法的相互结合，提高通性通法的熟练程度，提高选择题和填空题的正确率.2.在本节的复习中，注意熟练地画出图形，抓住图形的特征量，利用该特征量解决问题往往能达到事
2、半功倍的效果1.直线的倾斜角00，)(1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正方向与直线 l 向上方向之间所成的角，叫做直线 l 的倾斜角.当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_.(2)倾斜角的取值范围是_.2.直线的斜率 (1)定义：当90时，一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用小写字母 k 表示，即 ktan.当90时，直线没有斜率.(2)经过两点的直线的斜率公式：经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为_.ky2y1x2x13.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy1k(xx1)不含
3、垂直于 x 轴的直线斜截式_不含垂直于 x 轴的直线两点式yy1y2y1 xx1x2x1(x1x2，y1y2)不含垂直于坐标轴的直线截距式xayb1(ab0)不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A，B 不同时为零)平面直角坐标系内的直线都适用ykxb4.过点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程(1)若 x1 x2，且 y1y2，则 直 线 垂 直 于 x 轴，方 程 为_.(2)若 x1x2，且 y1 y2，则 直 线 垂 直 于 y 轴，方 程 为_.(3)若 x1x2，且 y1y2，直线方程为 yy1y2y1 xx1x2x1.xx1yy15.线段的中点坐标公式若
4、点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段 P1P2 的中点 M 的坐标为(x，y)，则_,_.xyx1x22y1y221.直线 x3的倾斜角等于()A.0 B.3 C.2 D.C解析：由直线 x3，知倾斜角为2.则直线 AB 的倾斜角是()A.60B.30C.120D.1502.(2019 年广东广州模拟)已知点 A(1，3)，B(1,3 3)，C解析：设直线 AB 的倾斜角为.A(1，3)，B(1，3 3)，kAB3 3 311 3，tan 3，0，180)，120.故选 C.3.已知点 A(1,2)，B(3,1)，则线段 AB 的垂直平分线的方程为(B)A.4x2y
5、5C.x2y5B.4x2y5D.x2y54.(2019 年辽宁沈阳模拟)直线 axbyc0 同时要经过第一、第二、第四象限，则 a，b，c 应满足()A.ab0，bc0C.ab0B.ab0，bc0D.ab0，bc0A解析：由于直线 axbyc0 经过第一、二、四象限，直线存在斜率，将方程变形为 yabxcb.易知ab0，故 ab0，bc1 知，其倾斜角大于 45，从而直线 l2 的倾斜角大于 90，斜率为负值，排除 B，C 选项.故选D.考点 2 直线方程的综合应用例 5：过点 P(2,1)作直线 l，与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，求：(1)AOB 的面积的最小值及此时直
6、线 l 的方程；(2)求直线 l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线 l的方程；(3)求|PA|PB|的最小值及此时直线 l 的方程.解：(1)方法一，设直线 l 的方程为 y1k(x2)，则可得 A2k1k，0，B(0,12k).与 x 轴，y 轴正半轴分别交于 A，B 两点，2k1k0，12k0k0.于是 SAOB12|OA|OB|122k1k(12k)1241k4k 12 421k 4k 4.当且仅当1k4k，即 k12时，AOB 的面积有最小值为 4，此时，直线 l 的方程为 y112(x2)，即 x2y40.方法二，设所求直线 l 的方程为xayb1(a0，b0)，则2a1b1.
7、又2a1b2 2ab12ab4，当且仅当2a1b12，即 a4，b2 时，AOB 的面积 S12ab 有最小值为 4.此时，直线 l 的方程是x4y21.(2)方法一，A2k1k，0，B(0,12k)(k0)，截距之和为2k1k12k32k1k322k 1k 322.此时2k1kk 22.故截距之和最小值为 322，此时直线 l 的方程为 y1 22(x2).即 x 2y2 20.方法二，2a1b1，截距之和 ab(ab)2a1b 32ba ab322ba ab322.此时2ba ab，求得 b 21，a2 2.此时，直线 l 的方程为x2 2y211.即 x 2y2 20.(3)方法一，A2
8、k1k，0，B(0,12k)(k0)，|PA|PB|1k2144k221kk 4.当且仅当k1k，即 k1 时上式等号成立.故|PA|PB|的最小值为 4，此时，直线 l 的方程为 xy30.方法二，设直线的倾斜角为，(显然2)，则|PA|1sin，|PB|2cos.|PA|PB|4sin 2.当 34 时，|PA|PB|取最小值 4.此时 ktan 1.直线 l 的方程为 y1(x2)，即 xy30.【跟踪训练】1.已知直线 x2y2 与 x 轴、y 轴分别相交于 A，B 两点，若动点 P(a，b)在线段 AB 上，则 ab 的最大值为_.解析：由题意，知 A(2,0)，B(0,1)，线段
9、AB 的方程为x2y1，x0,2.又动点 P(a，b)在线段 AB 上，a2b1，a0,2.又a2b2 ab2，12 ab2.解得 0ab12.当且仅当a2b12，即 P 的坐标为1，12 时，ab 取得最大值12.12思想与方法直线中的函数与方程思想例题：如果直线 l 经过点 P(2,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为 S.(1)当 S3 时，这样的直线 l 有多少条？(2)当 S4 时，这样的直线 l 有多少条？(3)当 S5 时，这样的直线 l 有多少条？(4)若这样的直线 l 有且只有 2 条，求 S 的取值范围；(5)若这样的直线 l 有且只有 3 条，求 S 的取值范围；(6)
10、若这样的直线 l 有且只有 4 条，求 S 的取值范围.解：设直线方程为xayb1，直线经过点 P(2,1)，有2a1b1，b aa2.(1)当 S3 时，S12ab 12aaa2 3，有 a2a26，即 a26a120 或 a26a120.前一个方程 0 有两个不相等的解，这样的直线 l 共有 2 条.前一个方程0 有一个解，后一个方程0 有两个不相等的解，这样的直线 l 共有 3 条.(2)当 S4 时，S12ab 12aaa2 4，有 a2a28，即 a28a160 或 a28a160.(3)当 S5 时，S12ab 12aaa2 5，有 a2a210，即 a210a200 或 a210
11、a200.前一个方程 0 有两个不相等的解，后一个方程 0 有两个不相等的解，这样的直线 l 共有 4 条.(4)若这样的直线 l 有且只有 2 条，则S12ab 12aaa2，有 a2a22S，即 a22Sa4S0 或 a22Sa4S0.后一个方程0 恒成立，肯定有两个不相等的解，如果这样的直线有且只有 2 条，那么前一个方程必须有0，即(2S)244S0 恒成立，肯定有两个不相等的解，S12ab 12aaa2，有 a2a22S，如果这样的直线有且只有 3 条，那么前一个方程必须有0，即(2S)244S0.故 S4.(6)若这样的直线 l 有且只有 4 条，则即 a22Sa4S0 或 a22
12、Sa4S0.后一个方程0 恒成立，肯定有两个不相等的解，如果这样的直线有且只有 4 条，那么前一个方程必须有0，即(2S)244S0.故 S 的取值范围为(4，).S12ab 12aaa2，有 a2a22S，【规律方法】因为关系到直线与两坐标轴围成的三角形的面积，所以解本题的关键就在于能否很敏锐地想到利用直线方想，应把握题型，注意一题多变，培养思维的灵活性和发散性.程的截距式xayb1.当然本题的解决还包含了丰富的方程思【跟踪训练】2.(2018年四川九江模拟)过点P(2，2)作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l一共有()A.3条 B.2条 C.1条 D.
13、0条解析：假设存在过点 P(2,2)的直线 l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为 8，设直线 l 的方程为xayb1，则2a 2b1，即 2a2bab，答案：C直线 l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积 S12ab8，即 ab16，联立2a2bab，ab16，解得 a4，b4.直线 l 的方程为 x4y41，即 xy40，即这样的直线有且只有一条，故选 C.1.直线的倾斜角与斜率都是表示直线方向的几何量，它们分别从“形”和“数”两方面反映直线的倾斜程度.求直线斜率的方法：(1)定义法：当 90时，k 与 的关系是 ktan；(2)公式法：若直线经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，
14、y2)(x1x2)，则斜率ky2y1x2x1；(3)方向向量法：若直线的方向向量为 v(m，n)，则斜率 knm.求倾斜角的取值范围则首先求直线斜率的取值范围，然后利用正切函数的单调性，借助正切函数的图象确定倾斜角的取值范围.3.求直线的方程可分为两种类型：(1)是根据题目条件确定点和斜率或两个点，进而选择相应的直线方程形式，写出方程，这是直接法；(2)是根据直线在题目中所具有的某些性质，先设出方程(含参数)，再确定其中的参数值，然后写出方程，这是间接法.4.求直线方程时要注意判断斜率是否存在，还要注意斜率为 0，直线过原点等特殊情形.2.直线的倾斜角的取值范围为0，)，但正切函数在 x2时无意义，因此讨论倾斜角与斜率的关系时，可结合正切函数的图象将其分为0，2 与2，两部分进行讨论.