1、第2讲 两直线的位置关系 课标要求考情风向标1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.3.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离1.求两条直线的位置关系(特别是平行与垂直)的判定、两点之间的距离、点到直线的距离、两条平行线之间的距离是高考考查的重点，题型既有选择题与填空题，又有解答题，难度属于中低档题.2.客观题主要以考查基础知识和基本能力为主，题目较易，主观题主要在知识的交汇点处命题，全面考查基本概念和基本能力名称一般式斜截式直线方程l1：A1xB1yC10l2：A2xB2yC20l1：yk1xb1l2：yk2xb2相交
2、k1k2平行_k1k2，且 b1b2重合k1k2，且 b1b2垂直A1A2B1B20k1k2_1.两条直线的位置关系A1A2B1B2A1A2B1B2C1C2A1A2B1B2C1C212.三个距离公式名称两点间的距离公式点到直线的距离公式两平行线间的距离公式条件两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)点 A(x0，y0)，直线 l：AxByC0l1：AxByC0，l2：AxByC0(CC)距离公式|P1P2|x1x22y1y22d|Ax0By0C|A2B2d|CC|A2B21.与直线 3x4y50，关于 x 轴对称的直线方程为_；关于 y 轴对称的直线方程为_；关于原点对称的直线方程为_；关
3、于直线 yx 对称的直线方程为_；关于直线 yx 对称的直线方程为_.3x4y503x4y503x4y504y3y504x3y502.(2016 年新课标)圆 x2y22x8y130 的圆心到直线 axy10 的距离为 1，则 a()A.43 B.34 C.3 D.2A解析：圆 x2y22x8y130 化为标准方程为(x1)2(y4)24，故圆心为(1,4).由题意，得 d|a41|a21 1，解得 a43.3.(2016 年上海)已知平行直线 l1：2xy10，l2：2xy10，则 l1，l2 间的距离为_.2 554.已知 A(4,2)，B(6，4)，C(12,6)，D(2,12)，下面四
4、个结论：ABCD；ABAD；ACBD；ACBD.其中正确的有()CA.1 个B.2 个C.3 个D.4 个解析：由题意，得 kAB 426435，kCD12621235，kAD 1222453，kAC6212414，kBD124264.ABCD，ABAD，ACBD.考点 1 两直线的平行与垂直关系例 1：已知直线 l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，求 m 的值，使得：(1)l1 与 l2 相交；(2)l1l2；(3)l1l2；(4)l1，l2 重合.解：(1)由已知 13m(m2)，即 m22m30，解得 m1，且 m3.故当 m1，且 m3 时，l1 与 l2 相交.(2)当 1
5、(m2)m30，即 m12时，l1l2.(3)当 13 m(m 2)，且 12m6(m 2)，或m2m36，即 m1 时，l1l2.(4)当 13m(m2)，且 12m6(m2)，即 m3 时，l1 与 l2 重合.【规律方法】(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决 本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线 l1 和 l2，l1l2k1k2，l1l2k1k21.如果有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意.(2)设 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则 l1l2A1A2B1B20.【跟踪训练】1.已知直线 l1：x(a2)y20，l2：(a2)
6、xay10，)则“a1”是“l1l2”的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：当 a1 时，直线 l1 的斜率为13，直线 l2 的斜率为3，它们的斜率之积等于1，故有 l1l2，故充分性成立.当l1l2 时，有(a2)(a2)a0 成立，即(a2)(a1)0，解得 a1，或 a2，故必要性不成立.答案：A2.(2019 年宁夏模拟)若直线 l1：x2my10 与 l2：(3m1)xmy10 平行，则实数 m 的值为_.解析：直线 l1：x2my10 与 l2：(3m1)xmy10 平行，则斜率相等或者斜率不存在，12m3m1m或者m0，m16或 0.
7、0 或16时，则 a 的值为_.3.(2019 年上海)已知 2x2y1，4xa2ya，当方程有无穷多解解析：方程有无穷多解，即两直线重合，可对2，得 4x4y2.再与式比较，可得 a2.2考点 2 直线系中的过定点问题例 2：求证：不论 m 取什么实数，直线(m1)x(2m1)ym5 都通过一定点.证明：方法一，取 m1，得直线方程 y4；从而得两条直线的交点为(9，4).又当 x9，y4 时，有 9(m1)(4)(2m1)m5，再取 m12，得直线方程 x9.即点(9，4)在直线(m1)x(2m1)ym5 上.故直线(m1)x(2m1)ym5 都通过定点(9，4).方法二，(m1)x(2m
8、1)ym5，m(x2y1)(xy5)0.则直线(m1)x(2m1)ym5 都通过直线 x2y10与 xy50 的交点.由方程组x2y10，xy50，解得x9，y4，即过点(9，4).直线(m1)x(2m1)ym5 通过定点(9，4).方法三，(m1)x(2m1)ym5，m(x2y1)xy5.由 m 为任意实数知，关于 m 的一元一次方程 m(x2y1)xy5 的解集为 R，直线(m1)x(2m1)ym5 都通过定点(9，4).【规律方法】本题考查了方程思想在解题中的应用，构建方程组求解是解决本题的关键.很多学生不理解直线过定点的含义，找不到解决问题的切入点，从而无法下手.x2y10，xy50.
9、解得x9，y4.【跟踪训练】4.(2018 年江西临川一中)直线 kxy24k，当 k 变化时，)所有直线都通过定点(A.(0,0)C.(4,2)B.(2,1)D.(2,4)解析：直线方程可化为 k(x4)(y2)0，直线恒过定点(4,2).C考点 3 对称问题考向 1 中心对称例 3：在平面直角坐标系中，直线 y2x1 关于点(1,1)对称的直线方程是_.解析：方法一，在直线 l 上任取一点 P(x，y)，其关于点(1,1)的对称点 P(2x,2y)必在直线 y2x1 上，2y2(2x)1，即 2xy30.因此，直线 l 的方程为 y2x3.方法二，由题意，得直线 l 与直线 y2x1 平行
10、，设直线 l 的方程为 2xyC0(C1)，则点(1,1)到两平行线的距离相等.答案：y2x3|21C|221|211|221.解得 C3.因此所求直线 l 的方程为 y2x3.方法三，在直线 y2x1 上任取两个点 A(0,1)，B(1，3)，则点 A 关于点(1,1)对称的点为 M(2,1)，点 B 关于点(1,1)对称的点为 N(1，1).由两点式求出对称直线 MN 的方程为y111x121，即 y2x3.【规律方法】中心对称：解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式.点 P(x，y)关于点 M(a，b)的对称点 P(x，y)满足x2ax，y2by.直线关于点的对称可转化为点关于点的对
11、称问题来解决.考向 2 轴对称例 4：(1)(2019 年广西桂林模拟)点 P(2,5)关于 xy10)对称的点的坐标为(A.(6,3)C.(6，3)B.(3，6)D.(6,3)答案：C解析：设点 P(2,5)关于 xy10 的对称点为 Q(a，b)，则b5a211，a22 b52 10，解得a6，b3，即 P(2,5)关于 xy10 对称的点的坐标为(6，3).故选 C.(2)(2017 年广东广州模拟)直线 x2y10 关于直线 xy)20 对称的直线方程是(A.x2y10C.2xy30B.2xy10D.x2y30解析：由题意得直线 x2y10 与直线 xy20 的交点坐标为(1,1).在
12、直线 x2y10 上取点 A(1,0)，设 A 点关于直线 xy20 的对称点为 B(m，n)，答案：B则n0m111，m12n220，解得m2，n3.故所求直线的方程为y131x121，即 2xy10.【规律方法】轴对称：解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点连线的中点在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解.【跟踪训练】5.光线沿直线 l1：x2y50 射入，遇直线 l：3x2y70 后反射，如图 7-2-1，求反射光线所在的直线方程.图 7-2-1解：由x2y5
13、0，3x2y70，得x1，y2.反射点 M 的坐标为(1,2).又取直线 x2y50 上一点P(5,0).设 P 关于直线 l 的对称点 P(x0，y0)，由 PPl 可知，kPP23 y0 x05.而 PP的中点 Q 的坐标为x052，y02，Q 点在 l 上，3x0522y0270.由 y0 x0523，32x05y070，得x01713，y03213.根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为 29x2y330.考向 3 对称的应用例 5：在直线 l：3xy10 上存在一点 P，使得点 P 到点 A(4,1)和点 B(3,4)的距离之和最小，求此时的距离之和.解：设点 B 关于
14、直线 3xy10 的对称点为 B(a，b)，如图 7-2-2.图 7-2-2则b4a313，且 3a32 b42 10.解得 a35，b245.B35，245.当|PA|PB|最小时，|PA|PB|AB|435212452 26.【跟踪训练】6.(2017 年湖南长沙一模)已知入射光线经过点 M(3,4)，被直线 l：xy30 反射，反射光线经过点 N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_.6xy60解析：设点 M(3,4)关于直线 l：xy30 的对称点为M(a，b)，则 反 射 光 线 所 在 直 线 过 点M，b4a31，3a2b42 30，解得 a1，b0.又反射光线经过点 N(2,
15、6)，所求直线的方程为y060 x121，即 6xy60.易错、易混、易漏忽略直线方程斜率不存在的特殊情形致误例题：过点 P(1,2)引一条直线 l，使它到点 A(2,3)与到点B(4,5)的距离相等，求该直线 l 的方程.错因分析：设直线方程，只要涉及直线的斜率，易忽略斜率不存在的情形，要注意分类讨论.解：方法一，当直线 l 的斜率不存在时，直线 l：x1，显然到点 A(2,3)，B(4,5)的距离相等.当直线 l 的斜率存在时，设斜率为 k，则直线 l 的方程为 y2k(x1)，即 kxy2k0.依题意，得|2k32k|k21|4k52k|k21，即|3k1|3k3|.解得 k13.直线
16、l 的方程为 y213(x1)，即 x3y50.故所求直线 l 的方程为 x3y50 或 x1.方法二，当直线 l 与 AB 平行时，klkAB13，直线 l 的方程为 y213(x1)，即 x3y50.当直线 l 过线段 AB 的中点时，线段 AB 的中点为(1,4)，直线 l 的方程为 x1.故所求直线 l 的方程为 x3y50 或 x1.【失误与防范】方法一是常规解法，本题可以利用代数方 法求解，即设点斜式方程，然后利用点到直线的距离公式建立 等式求斜率 k，但要注意斜率不存在的情况，很容易漏解且计 算量较大.方法二是利用数形结合的思想使运算量大为减少，即A，B 两点到直线 l 的距离相
17、等，有两种情况：直线 l 与 AB平行；直线 l 过线段 AB 的中点.1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线 l1，l2，l1l2k1k2；l1l2k1k21.根据两直线的方程判断两直线的位置关系时，要特别注意斜率是否存在，对于斜率不存在的情况要单独考虑.注意斜率相等并不是两直线平行的充要条件，斜率互为负倒数也不是两直线垂直的充要条件.2.直线系.(1)与直线 AxByC0 平行的直线系方程为 AxByC0；(2)与直线 AxByC0 垂直的直线系方程为 BxAyC0;(3)过两直线 l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20 的交点的直线系方程为 a1xb1yc1(a2xb2yc2)0.(为参数)3.对称问题包括中心对称和轴对称两种情形，其中，中心对称一般是中点坐标公式的应用.轴对称一般要用到中点坐标公式和斜率公式(垂直).光线的反射问题具有入射角等于反射角的特点，这样就有两种对称关系：(1)入射光线与反射光线关于过反射点且与反射轴垂直的直线(法线)对称；(2)入射光线与反射光线所在直线关于反射轴对称.
