1、2.5指数与指数函数必备知识预案自诊知识梳理1.根式(1)根式的概念xn=a(2)根式的性质()n=a(nN*).2.实数指数幂(1)分数指数幂的表示正数的正分数指数幂的意义是(a0,m,nN*,n1).正数的负分数指数幂的意义是(a0,m,nN*,n1).0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂没有意义.(2)有理数指数幂的运算性质aras=(a0,r,sQ).(ar)s=(a0,r,sQ).(ab)r=(a0,b0,rQ).(3)无理数指数幂一般地,无理数指数幂a(a0,为无理数)是一个的实数.整数指数幂的运算性质于实数指数幂.3.指数函数的图象和性质函数y=ax(a0,且a1)0a1图象图
2、象特征在x轴,过定点当x逐渐增大时,图象逐渐下降当x逐渐增大时,图象逐渐上升续表性质定义域值域单调性在R上在R上函数值变化规律当x=0时,当x0时,当x0时,1.指数函数y=ax(a0,且a1)的图象过三个定点:(1,a),(0,1),.2.指数函数y=ax与y=bx的图象特征,在第一象限内,图象越高,底数越大;在第二象限内,图象越高,底数越小.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)=-4.()(2)与()n都等于a(nN*).()(3)(-1=(-1.()(4)函数y=32x与y=2x+1都不是指数函数.()(5)若aman,则mn.()2.(2020山东实验中
3、学月考,3)已知mnn0B.0mnC.nm0D.0nm3.(2020广东广州模拟,4)已知函数f(x)=x,则不等式f(a2-4)f(3a)的解集为()A.(-4,1)B.(-1,4)C.(1,4)D.(0,4)4.(2020天津卷,6)设a=30.7,b=,c=log0.70.8,则a,b,c的大小关系为()A.abcB.bacC.bcaD.cab5.不等式2-2x的解集是.关键能力学案突破考点指数幂的化简与求值【例1】(1)化简(x0,y0,b0).解题心得指数幂运算的一般原则:(1)有括号的先算括号里面的,没有括号的先做指数运算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数
4、是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分数.(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数.对点训练1化简下列各式:(1)(a0,b0);(2)-+(0.002-10(-2)-1+()0.考点指数函数的图象及其应用(多考向探究)考向1指数函数型图象的判别【例2】(2020安徽马鞍山二模,理7)已知函数f(x)=,则f(x)的图象大致为()解题心得1.画指数函数y=ax(a0,且a1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),-1,.2.已知函数解析式
5、判断其图象一般是依据函数的单调性、奇偶性,再结合一些特殊点,判断所给的图象是否符合,若不符合则排除.对点训练2函数f(x)=1-e|x|的图象大致是()考向2指数函数图象的应用【例3】(1)若函数y=|3x-1|的图象与直线y=m有两个不同交点,则实数m的取值范围是.(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是.变式发散1若本例(1)的条件变为:方程3|x|-1=m有两个不同实根,则实数m的取值范围是.变式发散2若本例(1)的条件变为:函数y=|3x-1|+m的图象不经过第二象限,则实数m的取值范围是.解题心得1.对于有关指数型函数图象的应用问题,一般是从最基本的指数函
6、数的图象入手,通过平移、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.2.一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.对点训练3(1)(2020安徽蒙城月考,4)已知0a1,b1,b1,b0C.0a0D.0a1,b0,且a1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是.考点指数函数的性质及其应用(多考向探究)考向1指数函数单调性的应用【例4】(1)(2020湖南永州二模,理3)已知a=0.40.3,b=0.30.3,c=0.30.4,则()A.acbB.abcC.cabD.bca(2)若x0是方程x=的解,则x0属于区间()A.,1B.C.D.0
7、,解题心得比较两个指数幂大小时,尽量化同底或同指,当底数相同,指数不同时,构造同一指数函数,然后比较大小;当指数相同,底数不同时,构造两个指数函数,利用图象比较大小;当底数、指数均不同时,可以利用中间值比较.对点训练4(1)(2019全国1,文3,理3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.abcB.acbC.cabD.bca(2)当x(-,-1时,不等式(m2-m)4x-2x0恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-2,1)B.(-4,3)C.(-3,4)D.(-1,2)考向2解简单的指数方程或指数不等式【例5】(1)不等式2-2x的解集是.(2)设函数f(x)=
8、若f(a)ag(x),当a1时,等价于f(x)g(x);当0a1时,等价于f(x)0在x(-,1时恒成立,则实数a的取值范围是.解题心得指数函数的综合问题,主要涉及单调性、奇偶性、最值问题,应在有关性质的基础上,结合指数函数的性质进行解决,而指数函数性质的重点是单调性,注意利用单调性实现问题的转化.对点训练6(1)函数y=的值域是()A.(-,4)B.(0,+)C.(0,4D.4,+)(2)函数y=x-x+1在x-3,2上的值域是.1.比较大小问题,常利用指数函数的单调性及中间值.2.指数型函数、方程及不等式问题,可利用指数函数的图象、性质求解.3.与指数型函数有关的恒成立问题:(1)当a1时
9、,af(x)ag(x)恒成立f(x)g(x)恒成立f(x)-g(x)0恒成立f(x)-g(x)min0.(2)当0a1及0a10y10y1考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)2.A因为指数函数y=x在R上单调递减,所以由mnn0,故选A.3.B因为函数f(x)=x在R上单调递减,所以由不等式f(a2-4)f(3a),得a2-43a,解得-1a30.7=a30=1,c=log0.70.8log0.70.7=1,ca3或x-12x,解得x3或x3或x-1.关键能力学案突破例1(1)D(2)(1)=(16x8y4=24(-x)8(-y)4=(-x(-y=2(-x)2(-y)=-2x2y.(2)
10、原式=.对点训练1解(1)原式=ab-1=.(2)原式=-+1=-+50-10(+2)+1=+10-10-20+1=-.例2A函数的定义域为x|x0,故排除B,由函数的解析式易得f(x)=-f(-x),则函数为奇函数,故排除C,D,故选A.对点训练2A由题知f(x)=1-e|x|是偶函数,图象关于y轴对称,故排除B,D,又e|x|1,则f(x)0,故排除C,故选A.例3(1)(0,1)(2)-1,1(1)如图,函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位长度后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,而直线y=m的图象是平行于x轴的一条直线.如图所示,由图象可得,
11、如果曲线y=|3x-1|与直线y=m有两个公共点,则m的取值范围是(0,1).(2)曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示.由图象可得,若|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则-1b1.故b的取值范围是-1,1.变式发散1(0,+)作出函数y=3|x|-1与y=m的图象如图所示,数形结合可得m的取值范围是(0,+).变式发散2(-,-1作出函数y=|3x-1|+m的图象如图所示.由图象知m-1,即m(-,-1.对点训练3(1)A(2)D(3)0,(1)因为0a1,b-1,则函数y=ax+b的大致图象如图.由图象可知,y=ax+b的图象必定不经过第一象限.故选A.(2)由图象知f(x
12、)是减函数,所以0a1,又由图象在y轴上的截距小于1,则a-b0,所以b0.故选D.(3)当0a1时,y=|ax-1|的图象如下图,因为y=2a与y=|ax-1|的图象有两个交点,所以02a1.所以0a1时,y=|ax-1|的图象如下图,而此时直线y=2a不可能与y=|ax-1|的图象有两个交点.综上,a的取值范围是0,.例4(1)B(2)C(1)因为y=0.3x是减函数,所以0.30.30.30.4,即cb1,即ab,则abc,故选B.(2)设f(x)=x-,f(0)=10,f=-,由幂函数y=单调递增,得f=-0;f=-,由指数函数y=x单调递减,得f=-0.所以x0.故选C.对点训练4(
13、1)B(2)D(1)因为a=log20.220=1,又0c=0.20.30.20=1,所以acb.故选B.(2)(m2-m)4x-2x0在区间(-,-1上恒成立,m2-m在区间(-,-1上恒成立.y=在(-,-1上单调递减,当x(-,-1时,y=2,m2-m2,解得-1m3,或x-1(2)C(1)2-2x,2x,解得x3或x3,或x-1.(2)当a0时,不等式f(a)1可化为a-71,则a8,即a-3,则-3a0;当a0时,不等式f(a)1可化为1,所以0a1.故实数a的取值范围是(-3,1),故选C.对点训练5(1)0,(2)x=log23(1)f(x)=a+的图象过点1,-,a+=-,解得
14、a=-,即f(x)=-.-f(x)0,-0,24x+13,即14x2,0x.(2)当x0时,原方程化为4x+2x-12=0,即(2x)2+2x-12=(2x-3)(2x+4)=0,解得2x=3,或2x=-4(舍).x=log23.当x0时,原方程化为4x-2x-10=0.令t=2x,则t2-t-10=0(0t1).由求根公式得t=均不符合题意,故x0,所以ex+11,所以02,所以-11-x+x.因为函数y=x和y=x在R上都是减函数,所以当x(-,1时,x,x,所以x+x,从而得-x+x-.故实数a的取值范围为-,+.对点训练6(1)C(2),57(1)设t=x2+2x-1,则y=t,且y=t为关于t的减函数.因为t=(x+1)2-2-2,所以0t-2=4,故所求函数的值域为(0,4.故选C.(2)因为x-3,2,若令t=x,则t,8.则y=t2-t+1=t-2+.当t=时,ymin=;当t=8时,ymax=57.所以函数y的值域为,57.