1、第2讲 命题、量词与简单的逻辑联结词 课标要求考情风向标1.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题.2.通过数学实例，了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.3.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定高考对全称命题、特称命题的考查主要有以下两个命题角度：(1)判断全称命题、特称命题的真假性；(2)全称命题、特称命题的否定1.命题可以判断真假的陈述句叫做命题；命题就其结构而言分为条件和结论两部分；就其结果正确与否分为真命题和假命题.2.四种命题之间的相互关系图 1-2-1如图 1-2-1，原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价命题.pqpq
2、pqp真真真真假真假_真假假真假_真假假假假真3.命题 pq，pq，p 的真假关系假真量词名称常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 4.全称量词和存在量词命题命题的否定xM，p(x)x0M，p(x0)x0M，p(x0)xM，p(x)命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立 xM，p(x)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立 x0M，p(x0)5.全称命题和特称命题6.含有一个量词的命题的否定1.(2015 年新课标)设命题 p：n0N，n2002n，则p为()A.nN，n22nB
3、.n0N，n2002nC.nN，n22nD.n0N，n2002nC3.命题“若 x，y 都是偶数，则 xy 也是偶数”的逆否命题是()A.若 xy 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数B.若 xy 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数C.若 xy 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数D.若 xy 不是偶数，则 x 与 y 都不是偶数2.(2017 年广东佛山一模)命题“x00，使得 x200”的否定是()A.x0，x20 B.x0，x20C.x00，x200 D.x00，x200AC4.已知命题 p：xR，2x3x；命题 q：x0R，x301x20，则下列命题中为真命题的是()A.pqB.pqC.
4、pqD.pq图 D1解析：当 x0 时，有 2x3x，不满足 2x3x.p：xR,2x3x 是假命题.如图 D1，函数 yx3 与 y1x2 的图象有交点，即方程 x31x2 有解.q：x0R，x301x20是真命题.pq 为假命题，排除 A.p 为真命题，pq是真命题.故选 B.B考点 1 四种命题及其相互关系考向 1 真命题与假命题例 1：(1)(2017 年新课标)设有下面四个命题：p1：若复数 z 满足1zR，则 zR；p2：若复数 z 满足 z2R，则 zR；p3：若复数 z1，z2 满足 z1z2R，则 z1 z 2；p4：若复数 zR，则 z R.其中的真命题为()A.p1，p3
5、 B.p1，p4 C.p2，p3 D.p2，p4答案：B解析：令 zabi(a，bR)，1z1abi abia2b2R，得b0，zR，故 p1 正确；当 zi 时，z2i21R，而zi R，故 p2 不正确；当 z1z2i 时，z1z2i21R，而 z1 z 2，故 p3 不正确；复数 zR，则 b0，zR，故 p4正确.故选 B.【规律方法】分式形式的复数，分子分母同乘分母的共轭 复数，化简成 zabi(a，bR)的形式进行判断，求共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.)(2)(多选)下列四个命题中的真命题是(A.xR，sinx 2B.xR，(x1)20C.xR，log3x22lo
6、g3xD.xR，x2x140答案：BD解析：xR，1sin x1，A 为假命题；当 x1 时，(x1)20，B 为真命题；当 x0 时，log3x 无意义，C 为假命题；x2x14 x12 20 恒成立，D 为真命题.(3)(2019 年新课标)记不等式组xy6，2xy0表示的平面区域为 D，命题 p：(x，y)D,2xy9；命题 q：(x，y)D,2xy12.给出了四个命题：pq；pq；pq；pq，这四个命题中，所有真命题的编号是()A.B.C.D.图 D2答案：A解析：如图 D2，平面区域 D 为阴影部分，由y2x，xy6，得x2，y4，即 A(2,4)，直线 2xy9 与直线2xy12
7、均过区域 D，则 p 真 q 假，有p 假q 真，真假.故选 A.考向 2 四种命题及其相互关系例 2：(1)给出下列四个命题：“若 b3，则 b29”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若 c1，则 x22xc 0 有实根”的逆命题；“若 ABA，则 AB”的逆否命题.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析：逆命题是“若 b29，则 b3”，是假命题；否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，是假命题；逆命题是“若 x22xc0 有实根，则 c1”，方程x22xc0 有实根，44c0，c1，是真命题；若 ABA，则 BA，“若 ABA，则 AB”是假命题，其逆否命题也是假
8、命题.故选 A.答案：A(2)(2018年山东模拟)已知命题p：若x23x20，则x1 或 x2，下列说法正确的是(A.p 的否定是真命题C.p 的逆命题是假命题)B.p 的否命题是真命题D.p 的逆否命题是假命题解析：命题 p 的否命题是：若x23x20，则 x1 且 x2，是真命题，且 p 是真命题，故 p 的逆命题是真命题，逆否命题是真命题，p 的否定是假命题，故选 B.答案：B(3)下列说法正确的是()A.“若 a1，则 a21”的否命题是“若 a1，则 a21”B.“若 am2bm2，则 ab”的逆命题为真命题C.x0(0，)，使 3x04x0 成立D.“若 sin 12，则 6”是
9、真命题答案：D解析：对于选项 A，否命题为“若 a1，则 a21”，故 A不正确.对于选项 B，逆命题为“若 ab，则 am2bm2”，当m20 时，等式显然不成立，故为假命题，故 B 不正确.对于选项 C，由题意知对x0(0，)，都有 3x04x0，故 C 不正确.对于选项 D，对于条件中和结论中均含有不等号的，可以考虑其逆否命题，命题的逆否命题“若 6，则 sin 12”为真命题，故“若 sin 12，则 6”是真命题，D 正确.故选 D.【规律方法】(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键.(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命
10、题不易直接判断真假时，可转化为判断其等价命题的真假.(3)判断一个命题为假命题可举反例.考点 2 全称命题与特称命题考向 1 含有一个量词的命题的否定例 3：(1)(2017 年河南郑州三模)设命题p：x0，log2x2x3，则p 为()解析：根据全称命题的否定为特称命题，则命题 p：x0，log2x2x3，p为x00，log2x02x03.A.x0，log2x2x3B.x00，log2x02x03 C.x00，log2x02x03D.x0，log2x2x3答案：B(2)(2016年浙江)命题“xR，n0N*，使得n0 x2”的否定形式是()A.xR，nN*，使得 nx2B.xR，nN*，使得
11、 nx2C.x0R，n0N*，使得 n0 x20D.x0R，nN*，使得 nx20答案：D解析：的否定是，的否定是，n0 x2 的否定是 n0B.x0R，lg x00C.x0，2，xsin xD.x0R，sin x0cos x0 3 答案：D解析：由指数函数的性质易知 A 对；x01 时，lg x0lg 10，B 对；记 f(x)xsin x，x0，2，f(x)1cos x0，f(x)在0，2 单调递增，f(x)f(0)0，即 xsin x，C 对；sin xcos x 2sinx4，sin xcos x 2，2，即不存在x0R，sin x0cos x0 3.故选 D.(2)(2018 年北京
12、)设集合 A(x，y)|xy1，axy4，xay2，则()A.对任意实数 a，(2,1)AB.对任意实数 a，(2,1)AC.当且仅当 a4a32，2a2a0，即当 a32时，(2,1)A，当且仅当 a32时，(2,1)A.故选 D.(3)已知 f(x)sin xtan x，命题 p：x00，2，f(x0)0”为假命题，则实数a的取值范围是()A.(，80，)C.(，0B.(8,0)D.8,0解析：由题意，知xR，ax2ax20恒成立，a0答案：D或a0.解得 m15.又“pq”为假命题，“pq”为真命题，则 p 与 q 一真一假.若 p 真 q 假，则54m1，35m15，m 无解；若 p
13、假 q 真，则m1，或m15，或m35，得 m54，或1m15.综上所述，m 的取值范围为 m54，或1m15.【规律方法】若“pq”为假命题，“pq”为真命题，则p 和q 中有且仅有一个为真，应该分“p 真q 假”和“p 假q真”两种情况来讨论.另外若一个命题为假，则求其参数范围的 补集.【跟踪训练】1.(2019 年浙江金华联考)已知 p：方程 x2mx10 有两个不相等的负实数根；q：不等式 4x24(m2)x10 的解集为 R.若“pq”为真命题，“pq”为假命题，则实数 m 的取值范围是_.答案：(1,23，)解析：p 为真命题，有m240，m2.q 为真命题，有 4(m2)2441
14、0，解得 1m2，m1或m3，得 m3；当 p 假 q 真时，由m2，1m3，得 1m2.综上，实数 m 的取值范围是(1,23，).思想与方法利用转化与化归思想判断命题的真假例 6：已知函数 f(x)是(，)上的增函数，a，bR，对命题“若 ab0，则 f(a)f(b)f(a)f(b)”.(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论.解：(1)逆命题是：若 f(a)f(b)f(a)f(b)，则 ab0，它是真命题.若证它为真，可以证明其逆否命题“若 ab0，则 f(a)f(b)f(a)f(b)”为真.ab0，ab，ba.函数 f(x)是(，)上
15、的增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a).f(a)f(b)f(a)f(b)，其逆否命题为真命题.逆命题为真命题.(2)逆否命题是：若 f(a)f(b)f(a)f(b)，则 ab0.若证它为真，可以证明原命题为真来证明它.ab0，则 ab，ba，函数 f(x)是(，)上的增函数，则 f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)，逆否命题为真.【跟踪训练】2.(2016 年河南郑州质量预测)已知函数 f(x)x4x，g(x)2xa，若x112，1，x22,3，使得 f(x1)g(x2)，则实数 a的取值范围是()A.a1B.a1C.a2D.a2答案：A解析：由题意知 f
16、(x)min x12，1 g(x)min(x2,3)，f(x)min5，g(x)min4a，54a，即 a1，故选 A.1.要特别注意命题的否定与否命题不是同一个概念，否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定，命题的否定只是对原命题的结论进行否定.2.对含有量词的命题进行否定时，除了把命题的结论否定外，还要注意量词的改变，即全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题.3.集合中的“交”“并”“补”与逻辑联结词“且”“或”“非”密切相关.ABx|xA，且 xB，集合中的交集是用逻辑联结词“且”来定义的；ABx|xA，或 xB，集合中的并集是用逻辑联结词“或”来定义的；U Ax|xU，且x A，集合中的补集是用逻辑联结词“非”来定义的.4.对于命题正误的判断是高考的热点之一，理应引起大家的关注，命题正误的判断可涉及各章节的内容，覆盖面宽，也是学生的易失分点.命题正误的判断的原则是正确的命题要有依据或者给以论证；不一定正确的命题要举出反例，绝对不要主观臆断，这也是最基本的数学逻辑思维方式.