1、第2课时题型 1 圆锥曲线中的定点问题(1)求 C 的方程；(2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l 过定点.例 1：(2017 年新课标)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)，四点 P1(1,1)，P2(0,1)，P31，32，P41，32 中恰有三点在椭圆 C 上.(1)解：由于 P3，P4 两点关于 y 轴对称，故由题设知 C 经过P3，P4 两点.又由 1a2 1b2 1a2 34b2知，C 不经过点 P1，点 P2 在 C 上.因此 1b21，1a2 34b21，解得a24，b21.故 C 的方程为
2、x24y21.(2)证明：设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2，如果直线 l 与 x 轴垂直，设 l：xt，由题设知 t0 且|t|0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 8km4k21，x1x24m244k21.而 k1k2y11x1 y21x2kx1m1x1kx2m1x22kx1x2m1x1x2x1x2.由题设 k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)4m244k21(m1)8km4k210.由 m1，解得 km12.当且仅当 m1 时，0.于是 l：ym12xm，即 y1m12(x2)，直线 l 过定点(2，1).【名师点
3、评】(1)圆锥曲线中定点问题的两种解法：引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示 变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点；特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.(2)定点的探索与证明问题的两种策略：探索直线过定点时，可设出直线方程为 ykxb，然后 利用条件建立 b，k 的等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点；从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.【跟踪训练】且经过点 A(0,1).(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 O 为原点，直线 l：ykxt(t1)与椭圆 C 交于两个不同点 P，Q，直线 AP 与 x 轴交于点 M
4、，直线 AQ 与 x 轴交于点 N，若|OM|ON|2，求证：直线 l 经过定点.1.(2019 年北京)已知椭圆 C：x2a2y2b21 的右焦点为(1,0)，解：(1)椭圆的右焦点为(1,0)，c1.椭圆经过点 A(0,1)，b1，a2b2c22，故椭圆的方程为x22y21.(2)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立x22y21，ykxtt1，得(12k2)x24ktx2t220，0，x1x2 4kt12k2，x1x22t2212k2，y1y2k(x1x2)2t2t12k2，y1y2t22k212k2.直线 AP：y1y11x1 x，令 y0 得 x x1y11，即|OM|x1y1
5、1.同理可得|ON|x2y21.|OM|ON|2，x1y11 x2y21 x1x2y1y2y1y21 2.t21t22t1 1，解得 t0，直线方程为 ykx.直线 l 恒过定点(0,0).题型 2 圆锥曲线中的定值问题例 2：(2019 年新课标)已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，|AB|4，M 过点 A，B 且与直线 x20 相切.(1)若 A 在直线 xy0 上，求M 的半径；(2)是否存在定点 P，使得当 A 运动时，|MA|MP|为定值？并说明理由.解：(1)M 过点 A，B，圆心 M 在 AB 的垂直平分线上.由已知 A 在直线 xy0 上，且 A，B 关于坐标原点 O 对称
6、，M 在直线 yx 上，故可设 M(a,a).M 与直线 x20 相切，M 的半径为 r|a2|.解得 a0 或 a4.故M 的半径 r2 或 r6.由已知得|AO|2，又MO AO，故可得 2a24(a2)2，(2)存在定点 P(1,0)，使得|MA|MP|为定值.理由如下：设 M(x,y)，由已知得M 的半径为 r|x2|，|AO|2.化简得 M 的轨迹方程为 y24x.曲线 C：y24x 是以点 P(1,0)为焦点，以直线 x1 为准线的抛物线，|MP|x1.|MA|MP|r|MP|x2(x1)1，存在满足条件的定点 P.由于MO AO，故可得 x2y24(x2)2，【跟踪训练】(1)求
7、椭圆 C 的方程；(2)过点 M(1,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，设点N(3,2)，记直线 AN，BN 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1k2 定值.2.(2018 年河南八市重点质检)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点分别为 F1(2，0)，F2(2，0)，点 M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线互相垂直.(1)解：依题意，由已知得 c 2，则 a2b22，由已知易得 b|OM|1，a 3，椭圆的方程为x23y21.(2)证明：当直线 l 的斜率不存在时，不妨设 A1，63，B1，63，则 k1k22 6322 6322 为定值.当直线 l 的斜率
8、存在时，设直线 l 的方程为 yk(x1)，由 ykx1，x23y21，得(3k21)x26k2x3k230，依题意知，直线 l 与椭圆 C 必相交于两点，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 6k23k21，x1x23k233k21，又 y1k(x11)，y2k(x21)，k1k22y13x12y23x22y13x22y23x13x13x22kx113x22kx213x13x13x2122x1x2k2x1x24x1x2693x1x2x1x2122 6k23k21k23k233k214 6k23k21693 6k23k213k233k21122k2162k21 2，综上，得 k
9、1k2 为定值 2.3.(2018 年北京)已知抛物线 C：y22px 经过点 P(1,2).过点Q(0,1)的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N.(1)求直线 l 的斜率的取值范围；(2)设 O 为原点，QM QO，QN QO，求证：11为定值.(1)解：抛物线 y22px 经过点 P(1,2)，42p，解得 p2，抛物线的方程为 y24x.由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l 的方程为 ykx1(k0).依题意(2k4)24k210，解得 k0 或 0k1.又 PA，PB 与 y 轴相交，故直线 l 不过点(1，2).从而 k3.直线 l 斜率的取值范围是(，3)(3,0)(0,1).由y24x，ykx1，得 k2x2(2k4)x10.(2)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2).由(1)知 x1x22k4k2，x1x21k2.直线 PA 的方程为 y2y12x11(x1).令 x0，得点 M 的纵坐标为yMy12x11 2kx11x11 2.同理得点 N 的纵坐标为 yNkx21x21 2.由QM QO，QN QO 得 1yM，1yN.1 1 11yM 11yN x11k1x1 x21k1x2 1k12x1x2x1x2x1x2 1k12k22k4k21k22.11为定值.