1、数列中的进制问题一重要结论1.定义：设整数，则每个正整数可唯一表示为，其中满足，则称为正整数的进制表示中的数码. 特别地，当时就可得到正整数的二进制表示.2.二进制的运算性质.（1）若，则称为正整数的进制表示中的数码和，显然.证明：由于，则，显然可得.（公众号：凌晨讲数学）（2） 二进制的加法运算：“逢二进一”. 待会通过例题予以分析.（3），其中正整数的二进制展开式中最高次数小于.证明：由于，则，另一方面，令，则.例如：写出的二进制表示.解析：由于，故.注：可以看到，一个正整数的二进制表示其实就是以为底的幂级数展开的系数.二典例分析.例1.（2021新高考2卷）设正整数，其中，记，则（ ）A
2、. B.C. D.解析：由上述性质（1），A正确.（公众号：凌晨讲数学）由于，则，故，则B错误.同理可证，C正确.最后，由于，故，D正确.下来再给出两道高考中的二进制问题，毫无疑问它们都是选填压轴题，特别是12年湖南卷这道题目，第二个空也很有趣.例2（2008陕西卷）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息设定原信息为（），传输信息为，其中，运算规则为：，例如原信息为111，则传输信息为01111传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ）A11010B01100C10111D00011解析：选C.例3设正整数，其中
3、，记，则以下命题正确的个数是（）；.A4B3C2D1解析：对于，所以，正确；对于，取，而，则，即，错误；对于，所以，所以，因此，正确；对于，故，正确.故选：B例4设正整数，其中，记，则（）ABCD解析：对于A选项，由题，则，所以，因此A选项正确；对于B选项，取，则，即，而，即，所以，因此B选项错误；对于C选项，故，因此C选项正确；对于D选项，所以，所以，故，因此D选项错误.故选：AC下面看一道其他进制的问题，其实质与二进制相同，逢进一.例5设正整数，其中，记，当时，_（用含的代数式表示）.解析：，又，所以，同理，所以，所以，所以.，所以，又，所以.故答案为：三习题演练习题1设正整数，其中，记，则（）ABCD解析：对于选项A，选项A正确；对于选项B，所以 ，选项B正确；对于选项C，取，所以，而，则，即，选项C错误；对于选项D， ，所以，所以，因此选项D正确. 故选：ABD习题2设正整数，其中，记.例如，那么.则下列说法正确的有_.；.解析：由，那么，正确；由则所以，正确；由所以，故，不正确；由所以，故，正确故答案为：
