1、天津市部分区20192020学年度第一学期期中练习高三数学第I卷(共45分)一、选择题：本大题共9道小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，集合，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】,所以，故选A.考点：集合的运算.2.是虚数单位，复数A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：，故选A考点：复数的运算3.展开式中的常数项为（ ）A. 80B. -80C. 40D. -40【答案】C【解析】【分析】先求出展开式的通项，然后求出常数项的值【详解】 展开式的通项公式为:，化简得，令，即，故展开式中的常数项为.故选
2、：C.【点睛】本题主要考查二项式定理、二项展开式的应用，熟练运用公式来解题是关键.4.设xR，则“|x1|1”是“x2x20，且a1)的导函数为_.【答案】【解析】【分析】直接根据指数函数的导数公式即可得结果.【详解】由指数函数求导得，故答案为：【点睛】本题考查了指数函数的导数公式，属于基础题11.在ABC中，ABC45，AC，BC3，则sinBAC_.【答案】【解析】【分析】直接利用正弦定理，计算即可求解.【详解】，由正弦定理可得，则，故答案为：.【点睛】本题主要考查三角形的正弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题12.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法
3、，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_名学生【答案】60【解析】【分析】采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的.【详解】该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，应从一年级本科生中抽取学生人数为：.故答案为60.13.某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种.(用数字作答)【答案】30【解析】试题分析：由题意可知，这位同学可以从A类选修
4、课中选1门，从B类选修课中选2门，也可以从A类选修课中选2门，从B类选修课中选1门，所以不同的选法共有考点：本小题主要考查组合的应用.点评：其实排列组合的应用的基础还是分类加法计数原理和分步乘法计数原理.14.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(底面为正方形，侧棱与底面垂直的棱柱)高为4，体积为16，则这个球的表面积是_.(参考公式：球的表面积S4R2)【答案】【解析】【分析】先求出正四棱柱的底面边长，再求其对角线的长，就是外接球的直径，然后求出球的表面积【详解】各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，它的底面边长是：2，所以它的体对角线的长是：，球的直径是：，所以这个球的表面积是：
5、，故答案为：.【点睛】本题主要考查正四棱柱的外接球的表面积，考查了学生的计算能力，属于基础题15.己知x0，y0，且，若x2ym22m恒成立，则实数m的取值范围_.【答案】【解析】【分析】由，可得展开，利用基本不等式可求得最小值，不等式等价于，据此求出的取值范围即可.详解】由，可得，而恒成立，所以恒成立，即恒成立，解得，故答案为：.【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质，以及一元二次不等式的解法的运用，属于中档题.三、解答题：本大题共5道小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知函数.(I)求f(x)的单调区间；(II)若f(a2)f(a2)(aR)，求a的取值范围.【
6、答案】（）单调递减区间为，无增区间；（）或.【解析】【分析】（）求导，判断与0的关系，即可得出函数的单调性；（）根据函数的单调性，得出满足条件的不等式组，解出即可【详解】解：（）定义域为，且 在上恒成立.即单调递减区间为.（）等价于，解不等式组得或.即的取值范围为或.【点睛】本题主要考查了函数的导数与单调性的关系，利用单调性解不等式，属于中档题17.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.8csinAatanC.(I)求cosC；(II)若，且ab9，求c【答案】（）（）6【解析】【分析】（）由已知利用正弦定理得，化简可求的值；（）由已知利用平面向量数量积的运算可求，又，可得，进而
7、根据余弦定理可求的值【详解】解：（）由正弦定理得，化简得（），又，.【点睛】本题主要考查了正弦定理，平面向量数量积的运算，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18.己知甲盒内有大小相同的1个红球和2个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和3个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球.(I)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；(II)设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望.【答案】（）（）分布列见解析，数学期望【解析】【分析】（）利用互斥事件的概率和计算所求概率值；（）由题意知的可能取值，计算对应的概率值，写出的分布列，求出数学期望值【详解】解：（）设“取出的
8、4个球中恰有1个红球”为事件， （）可能的取值为 由（）， . 分布列为0123的数学期望.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，属于中档题19.如图，已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，ABC60，E，F分别是BC，PC的中点.(I)证明：AEPD；(II)设ABPA2，求异面直线PB与AD所成角的正弦值；求二面角EAFC的余弦值.【答案】（）证明见解析；（）【解析】【分析】（）通过得到，再证明，平面PAD，然后证明；（）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出，得到异面直线PB与AD所成角的正弦函数值；求出平面AEF的一法向量，
9、平面AFC的一法向量，利用空间向量的数量积求解所求二面角的余弦值【详解】（）证明：由四边形为菱形，可得为正三角形.因为为的中点，所以.又，因此. 因为平面，平面，所以.而平面，平面且，所以平面，又平面.所以（）由（）知两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，又分别为的中点，所以，,. ,设异面直线与所成角为， 设平面的一法向量为则，因此取 因为，所以 ，故为平面的一法向量. 又=，所以 =.因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为【点睛】本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、利用法向量夹角求空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题20.已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列前项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列的性质得出运用通项公式求解即可（2）由（1）可得.对n分类讨论“裂项相消求和”即可得出.【详解】（1）等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1、S2、S4成等比数列Snna1+n（n1）（2a1+2）2a1（4a1+12），a11，an2n1；（2）由（1）可得，当n为偶数时，Tn 当n为奇数时， 【点睛】本题考查了等差数列等比数列的定义，性质，公式，分类讨论思想，裂项相消求和，属于中档题