1、第2讲导数在研究函数中的应用第1课时导数与函数的单调性函数的单调性与导数的关系条件结论函数yf(x)在区间(a，b)上可导f(x)0f(x)在(a，b)内单调递增f(x)0f(x)在(a，b)内单调递减f(x)0f(x)在(a，b)内是常数函数常用结论1在某区间内f(x)0(f(x)0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性()(3)在(a，b)内f(x)0且f(x)0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函数()答案：(1)(2)(3)诊断自测1已知函数f(x)xln x，则f(x)()A在(0，)上单调递增B在(0，)上单调递减C在上单调递
2、增D在上单调递减解析：选D.因为函数f(x)xln x，定义域为(0，)，所以f(x)ln x1(x0)，当f(x)0时，解得x，即函数的单调递增区间为；当f(x)0时，解得0x0恒成立，所以f(x)是增函数3函数f(x)xln x的单调递减区间为_解析：由f(x)11，即x0，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1)答案：(0，1)不含参数函数的单调性(自主练透)1函数y4x2的单调递增区间为()A(0，)B.C(，1) D.解析：选B.由y4x2，得y8x，令y0，即8x0，解得x，所以函数y4x2的单调递增区间为.故选B.2函数yx2ln x的单调递减区间是()A(3，1)B(0，1)
3、C(1，3)D(0，3)解析：选B.方法一：令y10，得3x1，又x0，故所求函数的单调递减区间为(0，1)故选B.方法二：由题意知x0，故排除A、C选项；又f(1)4f(2)2ln 2，故排除D选项故选B.3已知定义在区间(，)上的函数f(x)xsin xcos x，则f(x)的单调递增区间是_解析：f(x)sin xxcos xsin xxcos x，令f(x)xcos x0，则其在区间(，)上的解集为和，即f(x)的单调递增区间为和.答案：和求函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域(2)求f(x)(3)在定义域内解不等式f(x)0，得单调递增区间(4)在定义域内解不等式f(x)
4、0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减；当0a1时，令f(x)0，解得x，则当x(0, )时，f(x)0，故f(x)在(0, )上单调递减，在( ，)上单调递增解决含参数函数的单调性问题应注意的2点(1)研究含参数函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点 1已知函数f(x).则函数yf(x)在x(m，)上的单调递减区间为_，单调递增区间为_解析：f(x)，当x(m，m1)时，f(x)0，当x(m1，)时，f(x)0，所以f(x)在(m，m1)上单调
5、递减，在(m1，)上单调递增答案：(m，m1)(m1，)2设函数f(x)x2mln x，求函数f(x)的单调区间解：函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)，当m0时，f(x)0，所以函数f(x)的单调递增区间是(0，)，无单调递减区间当m0时，f(x)，当0x时，f(x)0，函数f(x)单调递减；当x时，f(x)0，函数f(x)单调递增综上：当m0时，函数f(x)的单调递增区间是(0，)，无单调递减区间；当m0时，函数f(x)的单调递增区间是(，)，单调递减区间是(0，)利用导数研究函数单调性的应用(多维探究)角度一函数yf(x)与yf(x)图象的相互判定 (1)函数yf(x)的导函数yf(
6、x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()(2)设函数yf(x)的图象如图，则函数yf(x)的图象可能是()【解析】(1)原函数先减再增，再减再增，且x0位于增区间内，故选D.(2)由yf(x)图象可知，当x(，x1)时，yf(x)单调递增，所以f(x)0.当x(x1，x2)时，yf(x)单调递减，所以f(x)0.所以yf(x)的图象在四个选项中只有D符合【答案】(1)D(2)D角度二已知函数单调性求参数的取值范围 (1)(2020浙江省高中学科基础测试)若函数f(x)2x(aR)在1，)上是增函数，则实数a的取值范围是()A0，2B0，4C(，2D(，4(2)函数f(x)kxln
7、x在区间(1，)上单调递减，则k的取值范围是_【解析】(1)由题意得f(x)20在1，)上恒成立，则a(2x2)min2，所以a2，故选C.(2)因为函数f(x)kxln x，所以f(x)k，函数在区间(1，)上单调递减，则f(x)0在(1，)上恒成立，即k0在区间(1，)上恒成立，故k在区间(1，)上恒成立，因为在区间(1，)上01，故k0.【答案】(1)C(2)(，0角度三比较大小或解不等式 (1)设f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(2)0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是_(2)定义在R上的函数f(x)的导函数是f(x)，若f(x)f(2x
8、)，且当x(，1)时，(x1)f(x)0，设af(e为自然对数的底数)，bf()，cf(log28)，则a，b，c的大小关系为_(用“”连接)【解析】(1)设g(x)(x0)，则g(x)，所以当x0时，g(x)0，即g(x)在(0，)上单调递增，又g(2)0，所以f(x)0的解集为(2，0)(2，)故填(2，0)(2，)(2)因为当x(，1)时，(x1)f(x)0，得f(x)0，所以函数f(x)在(，1)上单调递增，又f(x)f(2x)，得函数f(x)的图象关于直线x1对称，所以函数f(x)图象上的点距离直线x1越近函数值越大，又log283，所以log2821，得f()ff(log28)，故
9、cab.【答案】(1)(2，0)(2，)(2)cab(1)利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路由函数在区间a，b上单调递增(减)可知f(x)0(f(x)0)在区间a，b上恒成立列出不等式利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题对等号单独检验，检验参数的取值能否使f(x)在整个区间恒等于0，若f(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f(x)0，则参数可取这个值(2)利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式提醒(1)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a
10、，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解(2)注意函数的单调区间与函数在某区间上具有单调性是不同的 已知f(x)的定义域为(，0)(0，)，f(x)是f(x)的导函数，且满足xf(x)2f(x)0，若f(x)是偶函数，f(1)1，则不等式f(x)x2的解集为_解析：令g(x)1，则g(x)，因为xf(x)2f(x)0，所以当x(0，)时，g(x)0，故g(x)在(0，)上单调递增因为f(x)是偶函数，所以g(x)1g(x)，所以g(x)为偶函数因为g(1)10，所以不等式f(x)x2可转化为g(x)1g(1)，可得|x|1，得x
11、1，所以不等式f(x)x2的解集为(，1)(1，)答案：(，1)(1，)核心素养系列3数学运算、逻辑推理构造函数、比较大小此类涉及已知f(x)与f(x)的一些关系式，比较有关函数式大小的问题，可通过构造新的函数，创造条件，从而利用单调性求解一、x与f(x)的组合函数 若函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)2，f(x)1，则不等式f(x)x0的解集为_【解析】令g(x)f(x)x，所以g(x)f(x)1.由题意知g(x)0，所以g(x)为增函数因为g(2)f(2)20，所以g(x)0的解集为(2，)【答案】(2，)二、ex与f(x)的组合函数 已知f(x)(xR)有导函数，且xR，f(x)f(x)，nN*，则有()Aenf(n)enf(0)Benf(n)f(0)，f(n)f(0)，f(n)enf(0)Denf(n)f(0)，f(n)0，g(x)为R上的增函数，故g(n)g(0)g(n)，即，即enf(n)enf(0)故选A.【答案】A 设a0，b0，e是自然对数的底数，则()A若ea2aeb3b，则abB若ea2aeb3b，则abD若ea2aeb3b，则a0，b0，所以ea2aeb3beb2bbeb2b.对于函数yex2x(x0)，因为yex20，所以yex2x在(0，)上单调递增，因而ab成立故选A.【答案】A
