1、南宫中学2010-2011第二学期期中考试数学（理）试题一、选择题：（每题5分，共60分）1. 1. 已知函数f (x ) = a x 2 c,且=2 , 则a的值为 （ ） A.1 B. C.1 D. 02.函数，的最大值是（ ） A.1 B. C.0 D.-13复数对应的点在虚轴上，则（）或且或4. 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有( )A 40种 B 60种 C 100种 D 120种5的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开式中的常数项是（）第3项第4项
2、第7项第8项6图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（）2566911207设随机变量，则等于（ ）8. 给出以下命题：若，则f (x)0； ;f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以T为周期的函数，则；其中正确命题的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 09.已知二次函数的导数为，对于任意实数，有，则的最小值为（ ） 10、函数导数是（ ） A. B. C. D.11用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（）假设都是偶数假设
3、都不是偶数假设至多有一个是偶数假设至多有两个是偶数12已知，则中共有项A. B. C. D.二、填空题：（每题5分，共20分）13.函数的单调增区间为_。14.已知随机变量服从正态分布，则（ ）15已知，用数学归纳法证明时， 等于16. 在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率P的取值范围是三、解答题：17计算下列定积分。（本小题满分10分）（1） （2）18. (本小题满分12分) 已知曲线 y = x3 + x2 在点 P0 处的切线 平行直线4xy1=0，且点 P0 在第三象限,求P0的坐标; 若直线 , 且 l 也过切
4、点P0 ,求直线l的方程.19(本小题满分12分)有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内（1）共有多少种放法？（2）恰有一个盒子不放球，有多少种放法？（3）恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？（4）恰有两个盒不放球，有多少种放法？20(本小题满分12分)袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量的概率分布和数学期望；(3)计分介于20分到40分之间的概率.21（本小题满分12分）已知函数,函数当时,求
5、函数的表达式;若,函数在上的最小值是2 ,求的值;在的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.22(本小题满分12分)若不等式对一切正整数都成立，求正整数的最大值，并证明结论附加题：（本小题满分10分）实验班必做。已知函数, 其中且（）讨论函数的单调性；（）设函数 （e是自然对数的底数），是否存在a，使g(x)在a,-a上是减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.南宫中学2010-2011第二学期期中考试数学（理）试题一、选择题：A ADBB CABCC BD（每题5分，共60分）13. 14. 15、 16：17（1） （2）=118.解:由y=x3+x2，得y=3x2+1
6、，由已知得3x2+1=4，解之得x=1.当x=1时，y=0;当x=1时，y=4.又点P0在第三象限,切点P0的坐标为 (1,4).直线,的斜率为4,直线l的斜率为,l过切点P0,点P0的坐标为 (1,4)直线l的方程为即.20. 解：（I）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，则解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为，则事件和事件是互斥事件，因为所以.（II）由题意有可能的取值为：2，3，4，5. 所以随机变量的概率分布为2345因此的数学期望为（）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为，则
7、21.解:,当时,; 当时, 当时,; 当时,.当时,函数.由知当时,当时, 当且仅当时取等号.函数在上的最小值是,依题意得.由解得直线与函数的图象所围成图形的面积=22若不等式对一切正整数都成立，求正整数的最大值，并证明结论附加题. （）的定义域为，（1）若-1a0,则当0x-a时，；当-a x1时，.故分别在上单调递增，在上单调递减.（2）若a-1,仿（1）可得分别在上单调递增，在上单调递减. （）存在a，使g(x)在a,-a上是减函数.事实上，设，则，再设，则当g(x)在a,-a上单调递减时，h(x)必在a,0上单调递,所以，由于，因此，而，所以，此时，显然有g(x)在a,-a上为减函数，当且仅当在1,-a上为减函数，h(x)在a,1上为减函数,且，由（）知，当a-2时，在上为减函数 又 不难知道，因，令，则x=a或x=-2,而于是 （1）当a-2时，若a x-2,则，若-2 x1,则,因而分别在上单调递增，在上单调递减； （2）当a-2时， ,在上单调递减.综合（1）（2）知，当时，在上的最大值为，所以， 又对，只有当a=-2时在x=-2取得，亦即只有当a=-2时在x=-2取得.因此，当时，h(x)在a,1上为减函数，从而由，知 综上所述，存在a，使g(x)在a,-a上是减函数，且a的取值范围为. 高考资源网w w 高 考 资源 网