1、 江苏省如皋、海安联合20072008学年度第一学期期中调研考试数学试题（理科） （满分160分，答卷时间120分钟）一、填空题：本大题共11小题，每小题5分，共55分把答案填写在答题纸相应位置上1 方程的解是 2 已知函数f(x)的图象与函数的图象关于直线y=x对称，则f(9)= 3 已知x，y为正实数，且x 21，则的最大值为 4 不等式的解集是 5 已知ABC两内角A、B的对边边长分别为a、b，且，则的形状是 6 若变量x、y满足 则的最小值为 7 已知,且点P在第一象限，则的取值范围为 8 2002年在北京召开了国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全
2、等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于 9 已知函数y=满足，且方程=0有n个实根x1, x2, , xn, 则x1+x2+xn= 10 对于各项互不相等的正数数列，如果在时有，则称与 是该数列的一个“逆序”，一个数列中所有“逆序”的个数称为此数列的“逆序数”若各数互不相等的正数数列a，b，c，d，e，f的“逆序数”是2，则数列f，e，d，c，b，a的“逆序数”是 11若函数是定义域为的奇函数，且对于任意，有，若，则的值为 2,4,6二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四
3、个选项中，只有一项是符合题目要求的12对于给定集合A、B, 定义AB. 若A4, 5, 6，B1，2，3，则集合 AB 中的所有元素之和为（ ） A27 B14 C15 D1413设是正实数，给出以下四个不等式： ， ， ， . 其中恒成立的序号为 （ ） A 、 B、 C、 D、14设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(则ABC的形状是（ ）A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形15在数列中，2，设为数列的前n项和，则的值为（ ）A1 B2 C3 D4三、解答题：本大题共6小题，共85分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤2,4,616(本题满分14分) 已知的面
4、积为，且满足，设和的夹角为 （1）求的取值范围； （2）求函数的最大值与最小值17(本题满分14分)函数f(x)的定义域为D, 且满足: 对于任意，都有. （1）求的值； （2）如果上是单调增函数，求x的取值范围.18(本题满分14分)某观测站C在城A的南20西的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南40东，在C处测得距C为31千米的公路上B处，有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到达D处，此时C、D间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A城？19（本题满分14分）设an是公差d0的等差数列，Sn是其前n项的和. （1）若a1=4，且，求数列an的通项公式； （2）是否存在的等差中项
5、？证明你的结论.20(本题满分14分)一艘太空飞船飞往地球，第一次观测时，如图1发现一个正三角形的岛屿(边长为)；第二次观测时，如图2发现它每边中央处还有一正三角形海岬，形成了六角的星形；第三次观测时，如图3发现原先每一小边的中央处又有一向外突出的正三角形海岬，把这个过程无限地继续下去，就得到著名的数学模型柯克岛. （1）把第1，2，3，n次观测到的岛的海岸线长记为，试求 的值及的表达式； （2）把第1，2，3，n,次观测到的岛的面积记为，求21（本题满分15分）已知函数. （1）当f(x)的定义域为时，求f(x)的值域； （2）求的值； （3）设函数g(x)=x2+|(xa)f(x)| ,
6、求g(x) 的最小值.参考答案一、填空题（5分1155分）2,4,611 22 3 4或5等腰三角形或直角三角形 62 7 8 9 1013 111二、选择题（5分420分）12C 13D 14B 15C三、解答题（85分）16（14分） （1）设中角的对边分别为，则由， 4分可得，所以 6分 （2） 10分因为，所以 13分即当时，；当时， 14分17(14分) （1）令 4分 （2） 6分所以 8分因为上是增函数， 所以 13分故x的取值范围为. 14分18(14分)根据题意得，BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，CAB=60 2分设ACD = ，CDB = 在CDB中，由余弦
7、定理得，5分于是 8分 11分在ACD中，由正弦定理得 13分答：此人还得走15千米到达A城 14分19(14分) （1）由, 2分即,将a1=4代入上式并整理得d(12+5d)=0,因为d0，解得. 5分所以数列an的通项公式为 7分（2）不存在p，qN*，且pq，使得的等差中项. 9分证明：因为 10分所以. 13分因为d0，且pq,所以即不存在p，qN*，且pq，使得的等差中项. 14分20(14分) （1）由题意知， 3分因为第一个图形的边长为，从第二个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的，所以第n个图形的边长为； 5分第一个图形的边数为3，从第二个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形边数的4倍，所以第n个图形的边数为.因此 7分 （2） 8分， 11分叠加得， 14分21(15分) （1）.当,于是， 即. 4分 （2）因为 所以 6分 于是，故. 8分 （3） 当.如果 即 则函数在上单调递增,所以； 如果当时，最小值不存在. 11分当.如果；如果.13分当. 综合得：当时, g(x)最小值是;当时, g(x)最小值是; 当时, g(x)最小值为当时, g(x)最小值不存在. 15分