1、第1讲基本不等式与线性规划【自主学习】第1讲基本不等式与线性规划(本讲对应学生用书第2427页)自主学习回归教材1. (必修5 P101习题2改编)若x0，y0，且log3x+log3y=1，则+的最小值是.【答案】【解析】由log3x+log3y=1，得xy=3，所以+2=2=.2. (必修5 P90习题6改编)若x，y满足约束条件则z=x+y的最小值是.(第2题)【答案】2【解析】画出不等式组表示的平面区域如图所示.由z=x+y，得y=-x+z.令z=0，画出y=-x的图象，当它的平行线经过点A(2，0)时，z取得最小值，最小值为z=2.3. (必修5 P91习题3改编)函数y=的最小值为
2、.【答案】【解析】设t=(t2)，易知y=t+在2，+)上是单调增函数，所以当t=2，即x=0时，ymin=.4. (必修5 P91复习题13改编)设x-1，则函数y=的最小值为.【答案】9【解析】y=x+1+5，因为x-1，所以y=x+1+59，当且仅当x=1时取等号.5. (必修5 P84习题4改编)若实数x，y满足约束条件则的最小值为.【答案】【解析】画出图象，可知最小值为原点到直线x+y-2=0的距离为.【要点导学】要点导学各个击破运用基本不等式求最值例1(2015扬州期末)设实数x，y满足x2+2xy-1=0，则x2+y2的最小值是.【分析】(1) 注意到条件与所求均含有两个变量，从
3、简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值.注意题中消去y较容易，所以应消去y.(2) 由所求的结论x2+y2想到将条件应用基本不等式，构造出x2+y2，然后将x2+y2求解出来.【答案】【解析】方法一：由x2+2xy-1=0得y=，从而x2+y2=x2+=+-2-=，当且仅当x=时等号成立.方法二：由x2+2xy-1=0得1-x2=2xymx2+ny2，其中mn=1(m，n0)，所以(m+1)x2+ny21，令m+1=n，与mn=1联立解得m=，n=，从而x2+y2=.变式1若a0，b0，且+=1，则a+2b的最小值为.【答案】【解析】由已知等式得2a+
4、2b+1=2ab+2a+b2+b，从而a=，a+2b=+2b=+b+2=，故有最小值.变式2(2015扬淮南连二调)设x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则+的最小值为.【答案】【分析】从求解的结构上看，属于基本不等式中“1”的代换的题型.【解析】由题意得lg x0，lg y0，lg z0，且z2=xy，从而lg z=(lg x+lg y)，所以+=lg z=+=.线性规划中的最值问题例2(2015盐城三模)若x，y满足约束条件则目标函数z=2x+y的最大值为.(例2)【答案】6【解析】作出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，则当目标函数过点A(4，-2)时，取得最大值z
5、=2x+y=24-2=6.变式1(2015苏北四市期末)若实数x，y满足x+y-40，则z=x2+y2+6x-2y+10的最小值为.(变式1)【答案】18【解析】先作出不等式x+y-40表示的平面区域如图所示，则z=(x+3)2+(y-1)2表示不等式x+y-40表示的平面区域内的点(x，y)与定点(-3，1)距离的平方，可求zmin=18.变式2(2015浙江卷)已知实数x，y满足 x2+y21，则|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是.【答案】15【解答】当x，y满足x2+y21时，2x+y-40，设z=|2x+y-4|+|6-x-3y|，则z=-2x-y+4+6-x-3y=-3x-
6、4y+10，即3x+4y+z-10=0.由题意可知，1，即|z-10|5，所以5z15，故所求最大值为15.基本不等式模型的应用例3(2014南京学情调研)如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400m2的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分)，道路的宽度均为2m.怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大?并求其最大面积.(例3)【分析】引入变量，可设休闲广场的长为xm，然后求出宽，可以将绿化区域的总面积表示成x的函数，然后利用基本不等式求最大面积，从长、宽的取值可求得x的取值范围，注意基本不等式等号成立
7、的条件.【解答】设休闲广场的长为xm，则宽为 m，绿化区域的总面积为Sm2，则S=(x-6)=2424-=2424-4，x(6，600).因为x(6，600)，所以x+2=120，当且仅当x=，即x=60时取等号.此时S取得最大值，且最大值为1944.答：当休闲广场的长为60m，宽为40m时，绿化区域总面积最大，最大面积为1 944m2.【点评】在利用基本不等式求函数的最值时，一定要注意验证基本不等式成立的三个条件，即一正二定三相等.如果等号成立的条件不具备，就应该研究函数的单调性来求函数的最值.在实际问题中，由实际意义得出的变量取值范围十分重要.变式(2015金陵中学)如图，有一块边长为1(
8、百米)的正方形区域ABCD.在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角PAQ始终为45(其中点P，Q分别在边BC，CD上)，设PAB=，tan =t.(变式)(1) 用t表示出PQ的长度，并探求CPQ的周长l是否为定值；(2) 问：探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少(平方百米)?【解答】(1) 由题设得，BP=t，CP=1-t，0t1.DAQ=45-，DQ=tan(45-)=，CQ=1-=，所以PQ=，所以l=CP+CQ+PQ=1-t+=1-t+1+t=2.(2) S=S正方形ABCD-SABP-SADQ=11-1t-1=1-=1-=1-=1+-=2-，因为1+t0，所以S=2-
9、2-2=2-，当且仅当=，即t=-1时等号成立.答：探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为(2-)平方百米.1. 若0x1，则当f(x)=x(4-3x)取得最大值时x的值为.【答案】【解析】因为0xy0，且log2x+log2y=1，则的最小值为.【答案】4【解析】因为log2x+log2y=log2xy=1，所以xy=2.因为xy0，所以x-y0，所以=x-y+2=4，当且仅当x-y=2时取等号.3. (2015泰州二模)已知实数x，y满足约束条件则z=|x|+|y-3|的取值范围是.【答案】1，7【解析】作出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示(ABC包含边界)，此时x0，y
10、3，则z=x-y+3，作出直线l0：y=x，并平行移动，当直线经过点A时，zmin=1；当直线经过点C(4，0)时，zmax=7，所以z的取值范围为1，7.(第3题)4. (2015陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料.已知生产1 t每种产品所需原料及每天原料的可用限额如下表所示.如果生产1 t 甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为.甲乙原料限额A(t)3212B(t)128【答案】18万元(第4题)【解析】设该企业每天生产甲种产品x t、乙种产品y t，则x，y需满足约束条件可获利润z=3x+4y.约束条件表示的平面区域是以(0，0)，(4，
11、0)，(2，3)，(0，4)为顶点的四边形及其内部(如图)，把各顶点坐标代入检验可知，目标函数在点(2，3)处取得最大值32+43=18，即该企业每天可获得的最大利润为18万元.5. (2015南通期末)如图，已知函数y=ax+b(b0)的图象经过点P(1，3)，则+的最小值为.(第5题)【答案】【解析】方法一：(基本不等式法)由图可知a1，点(1，3)在函数y=ax+b的图象上，所以a+b=3，且1a3，0b2，所以+=2=(a-1)+b=.当且仅当=，即a=，b=时取等号.所以+.方法二：(三角代换法)由方法一可知a+b=3，且1a3，0b2，所以+=1.令=cos2，=sin2，所以+=
12、+=2(1+tan2)+=+2tan2+.以下同方法一.【融会贯通】完善提高融会贯通典例学校某研究性学习小组去化工厂实习，同学们在体会劳动辛苦的同时，发现并进行了如下的课题研究.现知道化工厂的主控制表盘高1 m，表盘底边距地面2 m，问：值班人员坐在什么位置上时表盘看得最清楚?(设值班人员坐在椅子上时，眼睛距地面1.2 m).【思维引导】【规范解答】(典例)如图，CD=2-1.2=0.8，设AD=x，CAD=，BAD=，BAC=.则tan=，2分tan=.4分因为tan=tan(-)=， 6分所以tan=，8分当且仅当x=，即x=1.2时，10分tan达到最大值，是锐角，tan最大时，也最大，
13、12分所以值班人员看表盘最清楚的位置为AD=1.2 m.14分【精要点评】 本题考查解三角形的知识、两角差的正切公式的应用及利用基本不等式求最值.一般地，研究角的最值，需求角的某个三角函数值的最值，通常选择三角函数时，一看题目的条件，根据条件选择合适的三角函数；二要注意三角函数在角的范围内应该单调；最后利用三角函数的单调性得到角的最值.变式1(必修5 P92习题13改编)如图，有一壁画，最高点A处离地面4m，最低点B处离地面2m，若从离地面1.5m的C处观赏它，则离墙多远时，视角最大?(变式1)【解答】设人到墙的距离为xm，则tanACD=，tanBCD=，所以tan=tan(ACD-BCD)
14、=，当且仅当4x=，即x= m时，视角最大.变式2如图，某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m)时，测得垂直放置的标杆BC的高h=4m，仰角ABE=，ADE=.(变式2)(1) 若该小组已经测得一组，的值，且tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；(2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使与之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔的实际高度为125m，试问：d为多少时，-最大?【解答】(1) 因为=tan，所以AD=，同理AB=，BD=.因为AD-AB=DB，所以-=，解得H=124.所以此时电视塔的高度H是124m.(2) 由题设知d
15、=AB，得tan=，tan=，则tan(-)=.因为d+2(当且仅当d=55时，取等号)，故当d=55时，tan(-)最大.因为0，则0-0，b0)过点(1，1)，则a+b的最小值为.2. 已知+=1(x0，y0)，那么x+y的最小值为.3. (2015山东卷)若变量x，y满足约束条件则z=x+3y的最大值为.4. (2015苏锡常镇二模)已知常数a0，函数f(x)=x+(x1)的最小值为3，则a的值为.5. 若对任意的x0，a恒成立，则实数a的取值范围是.6. 若变量x，y满足约束条件则z=x2+y2的最小值为.7. 若不等式x2+2x0，所以f(x)2+1=3，当且仅当x-1=，即x=+1
16、0时取等号，此时a=1.5. 【解析】因为x0，所以x+2(当且仅当x=1时取等号).所以=，即的最大值为，故a.6. 【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方，目标函数z的最小值为原点到直线x-2y+1=0的距离的平方. zmin=.(第6题)7. (-4，2)【解析】不等式x2+2x+对任意的a，b(0，+)恒成立，等价于x2+2x，由于+2=8(a=4b时等号成立)，所以x2+2x8，解得-4x2.8. 1【解析】由约束条件可知，若m2，+)，则当时，zmax=0(舍去)；若m，则当即时，zmax=2-=2，所以m=1；若m，则z无最
17、大值(舍去).9. (1) 由x+3y-4=0，得x+3y=4，所以3x+27y+2=3x+33y+22+2=2+2=2+2=20，当且仅当3x=33y且x+3y-4=0，即x=2，y=时取等号，此时所求的最小值为20.(2) 由x+y-3xy+5=0，得x+y+5=3xy，所以2+5x+y+5=3xy，所以3xy-2-50，所以(+1)(3-5)0，所以，即xy，当且仅当x=y=时取等号，故xy的最小值是.10. (1) 由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：=x+-2002-200=200，当且仅当x=，即x=400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元/t.(2) 设该
18、单位每月获利为S，则S=100x-y=100x-=-x2+300x-80 000，=-(x-300)2-35 000，因为400x600，所以当x=400时，S有最大值-40 000.故该单位不能获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损.11. 设该公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为xmin和ymin，总收益为z元.由题意得目标函数为z=3 000x+2 000y.易知二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示.作直线l：3 000x+2 000y=0，即 3x+2y=0，平移直线l，(第11题)从图中可知，当直线l过点M时，目标函数取得最大值.联立解得，所以点M的坐标为(100，200)，所以zmax=3 000x+2 000y=700 000=70(万元).答：该公司在甲电视台做100min广告，在乙电视台做200min广告，公司的收益最大，最大收益是70万元.