1、第2讲 函数的单调性与最值A级基础练1下列函数中，在区间(0，)上单调递增的是()AyxB y2xCylogx Dy解析：选A对于幂函数yx，当0时，yx在(0，)上单调递增，当0，且a1)，当0a1时，yax在(，)上单调递增，而选项B中的函数y2x可转化为y，因此函数y2x在(0，)上单调递减，故选项B不符合题意；对于对数函数ylogax(a0，且a1)，当0a1时，ylogax在(0，)上单调递增，因此选项C中的函数ylogx在(0，)上单调递减，故选项C不符合题意，故选A2函数f(x)x在上的最大值是()A BC2 D2解析：选A函数f(x)x的导数为f(x)1，则f(x)0，可得f(
2、x)在上单调递减，即f(2)为最大值，且为2.3函数y|x|(1x)在区间A上是增函数，那么区间A是()A(，0) BC0，) D解析：选By|x|(1x)函数y的草图如图所示由图易知函数y|x|(1x)在上单调递增故选B4若函数f(x)x2a|x|2，xR在区间3，)和2，1上均为增函数，则实数a的取值范围是()A B6，4C3，2 D4，3解析：选B由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，)上的单调性即可由题意知函数f(x)在3，)上为增函数，在1，2上为减函数，故2，3，即a6，45已知函数f(x)是定义在区间0，)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x1)f
3、的x的取值范围是()A BC D解析：选D因为函数f(x)是定义在区间0，)上的增函数，满足f(2x1)f.所以02x1，解得x.6函数f(x)的值域为_解析：因为所以2x4，所以函数f(x)的定义域为2，4又y1，y2在区间2，4上均为减函数，所以f(x)在2，4上为减函数，所以f(4)f(x)f(2)即f(x) .答案：，7若函数f(x)2|xa|3在区间1，)上不单调，则a的取值范围是_解析：因为函数f(x)2|xa|3因为函数f(x)2|xa|3在区间1，)上不单调，所以a1.所以a的取值范围是(1，)答案：(1，)8定义新运算“”：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)
4、(1x)x(2x)，x2，2的最大值为_解析：由已知得，当2x1时，f(x)x2；当10，x0)(1)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(2)若f(x)在上的值域是，求实数a的值解：(1)证明：任取x1x20，则f(x1)f(x2)，因为x1x20，所以x1x20，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(0，)上是增函数(2)由(1)可知，f(x)在上为增函数，所以f2，f(2)2，解得a.10已知f(x)(xa)(1)若a2，试证f(x)在(，2)上单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，)上单调递减，求a的取值范围解：(1)证明：设x1x22，则f
5、(x1)f(x2).因为(x12)(x22)0，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(，2)上单调递增(2)设1x1x2，则f(x1)f(x2).因为a0，x2x10，所以要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0恒成立，所以a1.综上所述，0a1.B级综合练11若f(x)x24mx与g(x)在区间2，4上都是减函数，则m的取值范围是()A(，0)(0，1 B(1，0)(0，1C(0，) D(0，1解析：选D函数f(x)x24mx的图象开口向下，且以直线x2m为对称轴，若在区间2，4上是减函数，则2m2，解得m1；g(x)的图象由y的图象向
6、左平移一个单位长度得到，若在区间2，4上是减函数，则2m0，解得m0.综上可得，m的取值范围是(0，112已知函数f(x)log2x，若x1(1，2)，x2(2，)，则()Af(x1)0，f(x2)0Bf(x1)0Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0解析：选B因为函数f(x)log2x在(1，)上为增函数，且f(2)0，所以当x1(1，2)时，f(x1)f(2)0，即f(x1)0.故选B13设f(x)若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为_解析：因为当x0时，f(x)(xa)2，f(0)是f(x)的最小值，所以a0.当x0时，f(x)xa2a，当且仅当x1时取“”要满足f(0)是
7、f(x)的最小值，需2af(0)a2，即a2a20，解得1a2，所以a的取值范围是0a2.答案：0，214如果函数yf(x)在区间I上是增函数，且函数y在区间I上是减函数，那么称函数yf(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”若函数f(x)x2x是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为_解析：因为函数f(x)x2x的对称轴为x1，所以函数yf(x)在区间1，)上是增函数，又当x1时，x1，令g(x)x1(x1)，则g(x)，由g(x)0得1x，即函数x1在区间1， 上单调递减，故“缓增区间”I为1， 答案：1， 15已知函数f(x)x2a|x2|4.(1)当a2时，求f(x)
8、在0，3上的最大值和最小值；(2)若f(x)在区间1，)上单调递增，求实数a的取值范围解：(1)当a2时，f(x)x22|x2|4当x0，2)时，1f(x)1时，f(x)0，代入得f(1)f(x1)f(x2)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)证明：任取x1，x2，且x1x2，则1，由于当x1时，f(x)0，所以f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间上是单调递减函数(3)因为f(x)在(0，)上是单调递减函数，所以f(x)在2，9上的最小值为f(9)，由ff(x1)f(x2)得ff(9)f(3)，而f(3)1，所以f(9)2.所以f(x)在2，9上的最小值为2.