1、山东省青岛市胶州市2019-2020学年高一数学下学期期中学业水平检测试题（含解析）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有30种、10种、35种、25种不同的品牌现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本进行质量检测，若抽取的婴幼儿奶粉的品牌数是种，则（ ）A. B. C. 20D. 【答案】C【解析】【分析】首先计算商品品牌的种数，再按抽样比列式计算.【详解】由条件可知共有种品牌，采用分层抽样，则，解得：.故选：C【点
2、睛】本题考查分层抽样，重点考查抽样比计算，属于基础题型.2.已知向量，向量，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由向量数量积的计算公式直接列式求解.【详解】由条件可知，则，解得：.故选：D【点睛】本题考查向量数量积表示垂直关系，属于简单题型.3.复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】化简复数，再求复数对应复平面的点所在的象限.【详解】，则在复平面内对应的点是，位于第一象限.故选：A【点睛】本题考查复数的除法计算，以及复数的几何意义，属于基础题型.4.在中，、分别是角、的对边，
3、若，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先由条件和正弦定理判断是等腰直角三角形，由三角形的性质可知直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点，所以由外接圆的半径可求得三角形的边长，再求面积.【详解】由正弦定理可知 已知，所以和，所以，所以是等腰直角三角形，由条件可知外接圆的半径是，即等腰直角三角形的斜边长为，所以.故选：A【点睛】本题考查正弦定理判断三角形形状，重点考查直角三角形和外接圆的性质，属于基础题型.5.已知数据的平均数、标准差分别为，数据的平均数、标准差分别为，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别代入平均数和标准差的公式，得到和
4、的关系，以及和的关系，计算求值.【详解】 ， .故选：D【点睛】本题考查样本平均数和标准差的计算公式，重点考查计算化简能力，属于中档题型，本题的关键是利用公式正确化简两个数据的平均数和标准差.6.已知向量，为向量在向量上的投影向量，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先计算，再根据投影公式计算投影向量的模.【详解】 由投影公式可知.故选：A【点睛】本题考查投影的计算，属于基础题型.7.已知复数是关于的方程的一个根，则实数的值分别为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由条件可知，化简求值.【详解】由条件可知是方程的一个实数根，则 化简为：，即 ，解得：
5、.故选：C【点睛】本题考查复数的代数计算，重点考查计算化简能力，属于基础题型.8.在中，若，则此三角形为（ ）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角直角三角形D. 等腰三角形【答案】B【解析】【分析】做差化简，利用数量积的公式判断三角形的形状.【详解】， ，而，,即角为钝角,所以此三角形是钝角三角形.故选:B【点睛】本题考查向量数量积，重点考查转化与化归的思想，计算，化简能力，属于中档题型.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9.已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（ ）A.
6、 B. 复数的共轭复数C. 复数的虚部等于D. 【答案】ACD【解析】【分析】首先化简复数，再分别分析四个选项，利用复数的相关定义判断.【详解】 所以，故A正确；复数的共轭复数，故B不正确；复数的虚部等于-1，故C正确；，.故D正确.故选：ACD【点睛】本题考查复数的的化简，定义，运算律，属于基础题型.10.如图，在梯形中，与相交于点，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】由条件可知，所以，再根据向量加减法的法则，分别计算每个选项.【详解】A.，所以A正确；B. 正确，所以B正确；C.，所以，即，所以，所以C正确；D.，故D不正确.故选：ABC【点睛】本
7、题考查向量加，减法，以及平面向量基本定理的应用，属于基础题型，本题后两个选项的判断，需根据条件，所以，确定向量关系.11.设为非零向量，下列有关向量的描述正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项.【详解】表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB正确，当不是单位向量时，不正确，所以D正确.故选：ABD【点睛】本题重点考查向量的理解，和简单计算，应用，属于基础题型，本题的关键是理解表示与向量同方向的单位向量.12.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续天
8、，每天新增疑似病例不超过人”过去日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是（ ）甲地：总体平均数，且中位数为；乙地：总体平均数为，且标准差；丙地：总体平均数，且极差；丁地：众数为，且极差A. 甲地B. 乙地C. 丙地D. 丁地【答案】CD【解析】【分析】根据条件，举例说明甲地和乙地，根据极差的概念，说明每天新增疑似病例的最大值，判断丙地和丁地.【详解】甲地：满足总体平均数，且中位数为，举例7天的新增疑似病例为0，0，0，0，5，6，7，则不符合该标志；乙地：若7天新增疑似病例为1，1，1，1，2，2，6，满足平均数为2，标准差，但不符合该标志；丙地：由极差可知，若新增
9、疑似病例最多超过5人，比如6人，那么最小值不低于4人，那么总体平均数就不正确，故每天新增疑似病例低于5人，故丙地符合该标志；丁地：因为众数为1，且极差，所以新增疑似病例的最大值，所以丁地符合该标志.故选：CD【点睛】本题考查统计的实际应用，重点考查统计的相关概念，以及举例推理的能力，属于基础题型.三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13.已知是虚数单位，若复数是纯虚数，则_【答案】【解析】【分析】由条件设，再化简，列式求解.【详解】是纯虚数，则设 ， ，解得：.故答案为：【点睛】本题考查根据复数的特征求参数的取值范围，重点考查计算能力，属于基础题型.14.若向量，满足，记与的夹角
10、为，则_【答案】【解析】【分析】根据公式，展开后利用数量积的运算公式化简求值.【详解】因为，所以，即，因为，所以.故答案为：【点睛】本题考查向量数量积，模，夹角的运算公式，属于基础题型.15.某地区年龄超过周岁的男士的体重（单位：千克）全部介于千克到千克之间，现从该地区年龄超过周岁的男士中随机抽取人组成一个样本进行统计将这名男士的体重的统计结果按如下方式分成五组：第组，第组，第组，第组，第组，其频率分布直方图如图所示则：（1）_；（2）以每组的中位数作为本组每人体重的估计值估算该地区年龄超过周岁的男士体重的平均值为_（千克）【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图
11、可知频率和为1，求；（2）根据频率分布直方图直接求解平均值.【详解】（1）由频率分布直方图可知 解得：；（2）平均数为.故答案为：；【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，平均数的计算，属于基础题型，本题的关键是熟记公式.16.已知开始时轮船在轮船正南千米处，当轮船以千米/分钟的速度沿北偏东方向直线行驶时，轮船同时以千米/分钟的速度直线行驶去拦截轮船，则轮船拦截所用的最短时间为_分钟【答案】【解析】【分析】设拦截所用的最短时间为分钟，由题意画出，根据余弦定理解三角形.【详解】如图，设拦截所用的最短时间为分钟，千米，千米，千米，根据余弦定理可知，所以 ，即，解得：或（舍）故答案为：2【点睛】本题考
12、查解三角形的实际应用问题，重点考查余弦定理解三角形，属于基础题型.四、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.甲、乙两台机床同时生产一种零件，在天中，两台机床每天生产的次品数分别为：甲：；乙：（1）分别求两组数据的众数、中位数；（2）根据两组数据平均数和标准差的计算结果比较两台机床性能【答案】（1）甲的众数等于；乙的众数等于和；甲的中位数等于；乙的中位数等于；（2）甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定.【解析】【分析】（1）根据众数和中位数的公式直接计算，众数是指数据中出现次数最多的数据，中位数是按从小到大排列，若是奇数个，则正中间的数是中位数，若是偶数个数，则正中间两个数的平
13、均数是中位数；（2）平均数指数据的平均水平，标准差指数据的稳定程度，离散水平.【详解】解：（1）由题知：甲的众数等于；乙的众数等于和；甲的中位数等于；乙的中位数等于 （2）甲的平均数等于乙的平均数等于甲的方差等于 乙的方差等于所以甲标准差等于，乙的标准差 因此，甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定！【点睛】本题考查样本的众数，中位数，标准差，重点考查定义和计算能力，属于基础题型.18.在复平面内，平行四边形的顶点，对应复数分别为，（1）求，及，；（2）设，求【答案】（1），；，；（2）.【解析】【分析】（1）因为，再根据复数的几何意义可知向量的坐标，再表示的坐标，再根据向量模的计算公式计算；（2）
14、分别求向量和坐标，再根据夹角公式计算.【详解】解：（1）因为所以所对应的复数所以， 因为所以所对应的复数所以，（2）由题因为， 所以，所以【点睛】本题考查复数，向量，以及坐标的关系，向量数量积的坐标表示，重点考查定义，公式，属于基础题型，本题的关键是理解向量坐标和复数的几何意义的关系.19.已知（1）若向量，求的值；（2）若向量，证明：【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）根据两角和的正切公式求，再表示；（2）根据公式计算的值，再根据向量平行的坐标表示判断两向量平行.【详解】解：（1）因为所以 所以（2）因为 所以.所以【点睛】本题考查三角函数恒等变形，向量平行的坐标表示，重点
15、考查基本公式，恒等变形能力，属于基础题型.20.在中，若、分别是内角、的对边，已知同时满足下列4个条件中的3个：； ； （1）请指出这3个条件，并说明理由；（2）求【答案】（1），理由详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由可知，由可知，可得，所以条件不能一起，所以一起，再分别判断或那个条件满足；（2）由正弦定理求，再求，再根据，表示，化简求值.【详解】解：（1）同时满足条件，理由如下：若同时满足，因为，且，所以，即因为，且，所以 所以，矛盾所以只能同时满足，因为，所以，故不满足故满足，（2）在中，又由正弦定理知：，所以又因为，所以， 所以【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，三角恒等变换，属
16、于基础题型，本题的关键是判断条件不能一起，再判断其他就迎刃而解了.21.一年来，某足球队的足球运动员每天进行距离球门米远的射门训练次，若打进球门算成功，否则算失败随机提取该球员连续天的成功次数统计如下：（1）估计该球员一天射门成功次数的四分位数；（2）若每天三位球员均进行“三角战术”配合训练，要求三位球员在运动中必须保持如下规则：三人所在的位置构成，的面积（平方米）求球员之间的距离的最小值（米）【答案】（1）第，分位数分别约为：，；（2）4米.【解析】【分析】（1）首先将球员连续天的成功次数从小到大排序，按照四分位数的定义计算；（2）根据面积公式计算可得，再根据余弦定理，结合基本不等式计算求得
17、距离的最小值.【详解】解：（1）将该球员连续天的成功次数从小到大排序，可得 因为，所以，样本数据的第分位数等于，第分位数等于，第分位数等于 所以该球员一天射门成功次数的第，分位数分别约为：， （2）设的内角所对的边分别为，则，因为，所以 由余弦定理知：所以（当且仅当时等号成立）所以所以球员之间的距离的最小值是（米）【点睛】本题考查四分位数，余弦定理，基本不等式求最值，重点考查基本公式，基本转化，计算能力，属于基础题型.22.如图所示，在四边形中：，点为四边形的外接圆劣弧（不含）上一动点（1）证明：；（2）若，设，求的最小值【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由余弦定理求得，再
18、根据，求得，最后根据三边长度判断否满足勾股定理；（2）设交于，作平行于且交于，则四边形为平行四边形，由平面向量基本定理和正弦定理表示，再根据三角恒等变形求的最小值.【详解】解：（1）在中，由余弦定理知：所以，又因为，所以 所以分别为方程两根，因为，所以 所以，所以 （2）因为，所以是四边形的外接圆的直径，所以四边形为矩形，连接， 设交于，作平行于且交于，则四边形为平行四边形，所以，又因为，由平面向量基本定理知：，所以 在中，因，所以由正弦定理知：，所以在中，所以， 所以因为，所以，所以所以，当时，取最小值，最小值为【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，平面向量基本定理，三角恒等变换，三角函数的性质的综合应用，重点考查转化与化归的思想，化简，变形能力，属于中高档题型.
