1、空间中的平行与垂直12015安徽卷改编 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出命题：若，垂直于同一平面，则与平行；若m，n平行于同一平面，则m与n平行；若，不平行，则在内不存在与平行的直线；若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面其中假命题的序号是_22015福建卷改编 若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面，则“lm”是“l”的_条件(填“充分而不必要”“必要而不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”之一)32014江苏卷改编 在三棱锥PABC中，D，E分别为棱PC，AC的中点，F为棱AB上除点A外的动点，则直线PA与平面DEF的位置关系是_42014辽宁卷改编 已知m，n为
2、直线，为平面若m，n，则直线m，n的位置关系是_52015广东卷改编 若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线给出以下命题：l至少与l1，l2中的一条相交；l与l1，l2都相交；l至多与l1，l2中的一条相交；l与l1，l2都不相交其中真命题的序号是_62015浙江卷 如图131所示，在三棱锥ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成角的余弦值是_图131考点一空间点线面的位置关系的判断题型：选择、填空分值：5分难度：中等热点：空间点、直线、平面位置关系的判断1 已知m，n，l是不同的直线，是不同的平
3、面，给出下列命题：若mn，n，则m；若ml，nl，则mn；若mn，m，n，则；若，则.其中真命题有()A0个 B1个C2个 D3个听课笔记 小结 分析判断空间点、线、面位置关系的依据是平行关系和垂直关系的判定定理和性质定理在解答该类试题时，可以利用正方体、三棱锥等几何模型进行分析判断，也可以借助周围的实物(如教室的墙面之间的交线、手中的书本)进行分析判断，不正确的只要找出反例即可，正确的要符合平面的公理、空间位置关系的判定定理和性质定理式题 设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是()A若lm，m，则lB若l，lm，则mC若l，m，则lmD若l，m，则lm考点二空间线面的位置关
4、系题型：解答分值：6分左右难度：中等热点：线面位置关系的证明，通常为解答题的一小问2 2015江苏卷 图132如图132所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.设AB1的中点为D，B1CBC1E.求证：(1)DE平面AA1C1C；(2)BC1AB1.听课笔记 小结 (1)线面关系是指直线与平面的平行和垂直，证明的基本思想是利用线线平行证明线面平行，利用线线垂直证明线面垂直，在证明了线面平行、线面垂直后反过来又可根据性质定理得到线线平行、线线垂直等关系，线面位置关系就是在这种相互转化中解决的(2)线面角、二面角都是建立在“垂直”关系上的概念，求解线面角和二面角的实质是垂直
5、关系的具体应用式题 图133 在图133所示的几何体中，平面ABC平面DEFG，BACEDG120，四边形ABED是矩形，四边形ADGC是直角梯形，ADG90，四边形DEFG是梯形，EFDG，ABACADEF1，DG2.(1)求证：FG平面ADF；(2)求二面角F CG D的余弦值考点三面面的位置关系题型：解答分值：6分左右难度：中等热点：面面关系的证明，通常为解答题的一小问 3 如图134，图134已知E，F分别是正方形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，PA，NC都垂直于平面ABCD，且PAAB2NC，M是PA的中点，连接MN.(1)求证：平面PAC平面NEF；(2)求二面角
6、MEFN的余弦值听课笔记 小结 空间中面面的平行关系是建立在线面平行的基础上的，线面平行是建立在线线平行的基础上的，平行关系的核心是线线平行空间中面面垂直是建立在线面垂直的基础上的，线面垂直又是建立在线线垂直的基础上的，垂直关系的核心是线线垂直上述线线关系又与线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的性质密不可分，空间位置关系的判断证明过程就是在不断地使用判定定理和性质定理的过程中实现的式题 四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且PAABADCD，ABCD，ADC90.图135(1)在侧棱PC上是否存在一点Q，使BQ平面PAD？证明你的结论(2)求证：平面PBC平面PCD.(3)求平面PAD与
7、平面PBC所成二面角的余弦值考点四图形的折叠问题题型：选择、填空、解答分值：5分左右难度：中等热点：折叠后位置关系的判断和证明 4 如图136，在等腰梯形CDFE中，A，B分别是边DF，CE的中点，AD2AB2BC2.沿AE将AEF折起，使二面角FAEC为直二面角连接CF，DF.(1)证明：平面ACF平面AEF；(2)求平面AEF与平面CDF所成二面角的大小图136听课笔记 小结 解决折叠问题的关键是分清折叠前后线线位置关系的“变”与“不变”，以及折叠前后线段的数量之间的关系折叠前后位于同一个平面上的位置关系和数量关系都不变，折叠前后位于不同面上的位置关系和部分数量关系会产生变化 高考易失分题
8、12 图形的折叠与空间位置关系的判断问题范例 2015陕西卷如图137(1)所示，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBC1，AD2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图(2)所示图137(1)证明：CD平面A1OC；(2)若平面A1BE平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值失分分析 折叠问题中常见的易失分点为：(1)忽视从平面图形到空间几何体中变化的元素和不变化的元素，不能正确使用不变化的元素解决问题；(2)在证明过程中使用线面位置关系的判定定理和性质定理时，条件列举不全；(3)求解空间角时，不能正确使用相关知识作出角，求解时出
9、现计算错误高考预测 如图138(1)，O的直径AB4，点C，D为O上两点，且CAB45，DAB60，F为的中点沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直(如图138(2)所示)(1)求证：OF平面ACD.(2)求二面角C AD B的余弦值(3)在上是否存在点G，使得FG平面ACD？若存在，试指出点G的位置，并求直线AG与平面ACD所成角的正弦值；若不存在，请说明理由图138空间中的平行与垂直 核心知识聚焦1.解析 垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交，为假命题；平行于同一个平面的两条直线既可以平行、也可以相交，还可以异面，为假命题；当两个平面相交时，只要一个平面内的直线平行于它们的
10、交线，则这条直线就与另一个平面平行，为假命题；对命题，假设不成立，即m，n垂直于同一个平面，根据直线与平面垂直的性质定理可得m，n相互平行，与已知矛盾，命题为真命题.2.必要而不充分解析 若m，lm，则l或l；若m，l，则lm.3.PA平面DEF解析 如图，根据三角形中位线定理可得PADE，又PA平面DEF，DE平面DEF，所以PA平面DEF.4.mn解析 根据直线与平面垂直的定义.5.解析 由于l与l1共面，l与l2共面，如果l与l1，l2都不相交，则只能l与l1，l2都平行，则l1，l2平行，与l1和l2是异面直线矛盾，所以不正确；中含有l与l1，l2都不相交的情况，故不正确；l可能与l1
11、，l2都相交，也可能与l1，l2中的一条相交、与另一条平行，故只有正确.6.解析 连接ND，取ND的中点为E，连接CE，ME，则MEAN，则异面直线AN，CM所成的角为EMC.因为ANNDMC2 ，所以ME，CE，则cosEMC. 考点考向探究考点一空间点线面的位置关系的判断 例1A解析 中还可能直线m，不正确；在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能相交、平行或异面，不正确；中，平面，可能相交或平行，不正确；中，同时与一个平面垂直的两个平面可能相交或平行，不正确.变式题B解析 选项A中，一条直线与一个平面内的一条直线垂直不能推出该直线与该平面垂直；两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也
12、垂直于这个平面，选项B正确；选项C中，一条直线与一个平面平行，不能保证其平行于平面内的任意直线，选项C不正确；平行于同一个平面的两条直线可能相交、平行或异面，选项D不正确.考点二空间线面的位置关系 例2证明：（1）由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DEAC.又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.（2）因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因为AC平面ABC，所以ACCC1.又因为ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1A
13、C.因为BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C.因为AC，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC.又因为AB1平面B1AC，所以BC1AB1.变式题解：（1）证明：取DG的中点H，连接FH，EH.EFDH，EFDHED1，四边形DEFH是菱形，EHDF.又EFHG，EFHG，四边形EFGH是平行四边形，FGEH，FGDF.由已知条件可知ADDG，ADED，且EDDGD，AD平面EDGF，ADFG.又AD平面ADF，DF平面ADF，ADDFD，FG平面ADF.（2）过F作FODG于O，过O作OMCG于M，连接FM，由（1）知AD平面EDGF，ADFO.FOD
14、G，FOAD，DGADD，FO平面ADGC，FOCG.又CGOM，且FOOMO，CG平面FOM，CGMF，FMO是二面角F CG D的平面角.根据平面几何知识，可求得FO，OM，FM，在直角三角形FMO中，cosFMO，即二面角F CG D的余弦值为.考点三面面的位置关系例3解：（1）证明：连接BD.PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD.又BDAC，ACPAA，BD平面PAC.又E，F分别是BC，CD的中点，EFBD，EF平面PAC，又EF平面NEF，平面PAC平面NEF.（2）连接NO，MO.EF平面PAC，OM平面PAC，EFOM.易知NENF.在等腰三角形NEF中，点O为EF的中
15、点，NOEF，MON为二面角MEFN的平面角.设AB4，点M是PA的中点，AMNC2，在矩形MNCA中，可求得MNAC4 ，NO，MO.在MON中，由余弦定理可得，cosMON，二面角MEFN的余弦值为.变式题解：（1）当Q为侧棱PC的中点时，有BQ平面PAD.证明如下：如图，取PD的中点E，连接AE，EQ，QB.又Q为PC的中点，EQ为PCD的中位线，EQCD且EQCD.ABCD且ABCD，EQAB且EQAB，四边形ABQE为平行四边形，BQAE.BQ平面PAD，AE平面PAD，BQ平面PAD.（2）证明：PA底面ABCD，PACD.ADCD，PAADA，CD平面PAD.AE平面PAD，CD
16、AE.PAAD，E为PD的中点，AEPD.CDPDD，AE平面PCD.由（1）知BQAE，BQ平面PCD.BQ平面PBC，平面PBC平面PCD.（3）设平面PAD平面PBCl.BQ平面PAD，BQ平面PBC，BQl.BQ平面PCD，l平面PCD，lPD，lPC.故DPC就是平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角.CD平面PAD，CDPD.设PAABADCDa，则PDa，PCa，故cosDPC.平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值为.考点四图形的折叠问题例4解：（1）证明：在等腰梯形CDFE中，由已知条件可得，CDACAEEF，AFAD2，所以，AE2EF2AF2，所以EFAE.在四棱锥F
17、AECD中，因为二面角FAEC为直二面角，所以平面AEF平面AECD，所以EF平面AECD.因为AC平面AECD，所以ACEF.又因为在平面图形中，AEAC，EC2，AE2AC2CE2，所以ACAE.又AEEFE，所以AC平面AEF，又AC平面ACF，所以平面ACF平面AEF.（2）过点A作AGEF，且使得AGEF，连接FG，GC，则四边形AGFE为矩形，所以FGAE，G平面AEF.在平面图形中，因为AD綊CE，所以AECD，所以FGCD，G平面CDF.又F平面AEF，F平面CDF，所以FG就是平面AEF与平面CDF的交线.又平面AEF平面AECD，ACAE，所以CA平面AEF，所以CAFG.
18、又FGGA，CAGAA，所以FG平面ACG，所以FGGC，所以AGC即为平面AEF与平面CDF所成二面角的平面角.在RtAGC中，AGEF，AC，所以tanAGC1，所以AGC45，即平面AEF与平面CDF所成二面角的大小为45. 高考易失分题12 范例解：（1）证明：在图（1）中，因为ABBC1，AD2，E为AD的中点，BAD，所以BEAC，BECD.在图（2）中，BEOA1，BEOC，又OA1OCO，从而BE平面A1OC.又因为CDBE，所以CD平面A1OC.（2）因为平面A1BE平面BCDE，A1OBE，所以A1O平面BCDE.设A1C，A1D的中点分别为G，F，连接BG，GF，如图（a
19、）.因为A1BBC，G为A1C的中点，所以BGA1C.因为CD平面A1OC，所以CDA1C.因为G，F分别为A1C，A1D的中点，所以GFCD，所以GFA1C.所以BGF即为平面A1BC与平面A1CD所夹角或其补角.连接OD，过F作FH平面BCDE于点H，则FHA1O，易知H在OD上，且FHA1O，所以H为OD的中点.在平面图形中，如图（b）所示，连接EH，BH，由于E，H分别为AD，OD的中点，所以EHAO，且EHAO.又AOBE，所以EHBE，所以BH，所以BF.在RtA1OC中，A1OOC，所以A1C1.所以在A1BC中，A1BBCA1C1，所以BG，GFCD.在BGF中，由余弦定理，得
20、cosBGF，由于两平面的夹角范围是0，故所求的两平面夹角的余弦值为.高考预测解：（1）证明：如图，连接CO.CAB45，COAB，又F为的中点，FOB45，OFAC.OF平面ACD，AC平面ACD，OF平面ACD.（2）过O作OEAD于E，连接CE.COAB，平面ABC平面ABD，CO平面ABD.又AD平面ABD，COAD，又COOEO，AD平面CEO，ADCE，则CEO是二面角CADB的平面角.OAD60，OA2，OE.由CO平面ABD，OE平面ABD，得CEO为直角三角形，CO2，CE.cosCEO.（3）设在上存在点G，使得FG平面ACD.OF平面ACD，且FGOFF，FG，OF平面O
21、FG，平面OFG平面ACD，OGAD，BOGBAD60.因此，在上存在点G，使得FG平面ACD，且点G为的中点.连接AG，DG.设AG与平面ACD所成角为，点G到平面ACD的距离为h.SACDADCE2，SGADSOAD2，由V三棱锥GACDV三棱锥CAGD，得h2，得h.在AOG中，AOOG2，AOG120，由余弦定理得AG2，sin .即直线AG与平面ACD所成角的正弦值为. 教师备用例题例1（配例1使用）2015广东卷 若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A.至多等于3 B.至多等于4C.等于5 D.大于5解析 B正四面体符合要求，因此n可以等于4.下面证明n5不可能
22、.证明：假设存在五个点两两距离相等，设为A，B，C，D，E.其中A，B，C，D构成空间的正四面体ABCD，设其棱长为a.设G为BCD的中心，则不难算出AGa，BGa，且AG平面BCD.如果点E到A，B，C，D四点的距离相等，那么点E一定在直线AG上，且EBa.如果点E在线段AG上，那么在RtEBG中，EGa，AGa，此时A，E重合，所以点E可能在AG的延长线上.如果点E在AG的延长线上，此时EGa，EAaa.综上所述，如果E到正四面体的四个顶点的距离相等，那么点E只能是正四面体的四个顶点之一.所以若空间中n个不同的点两两距离相等，则正整数n的取值至多是4. 例2（配例2使用）如图，已知PAO所
23、在的平面，AB是O的直径，AB2，C是O上一点，且ACBC，PCA45，E是PC的中点，F是PB的中点，G为线段PA上（除点P外）的一个动点.（1）求证：BC平面GEF；（2）求证：BCGE.证明：（1）E是PC的中点，F是PB的中点，EFCB.又EF平面GEF，点G不与点P重合，BC平面GEF，BC平面GEF.（2）PAO所在的平面，BCO所在的平面，BCPA.又AB是O的直径，BCAC.PAACA，BC平面PAC，又GE平面PAC，BCGE. 例3（配例3使用）如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABCD是直角梯形，E为BC的中点，BADADC90，AB3，CD1，PAAD2.（1
24、）求证：DE平面PAC；（2）求PA与平面PDE所成角的正弦值.解：（1）证明：因为PA平面ABCD，DE平面ABCD，所以PADE，取AD的中点F，连接EF，则EF是梯形ABCD的中位线，所以EFAB且EF2，在RtADC和RtDEF中，EFDADC90，2，所以EFDADC，所以FEDDAC，所以ACDE.因为PAACA，所以DE平面PAC.（2）由（1）知平面PDE平面APC，设DEACG，连接PG，在RtPAG中作AHPG，垂足为H，则AH平面PDE，所以APH是PA与平面PDE所成的角.由（1）知，在RtADG中，AD2，tanCAD，所以AGADcosCAD.因为PA平面ABCD，所以PG，sinAPHsinAPG，所以PA与平面PDE所成角的正弦值为.例4（配例4使用）2015浙江卷 如图，已知ABC，D是AB的中点，沿直线CD将ACD翻折成ACD，所成二面角ACDB的平面角为，则（）A.ADBB.ADBC.ACB D.ACB解析 B当ACBC时，易知ADB，当ACBC时，作AECD，BFCD，因为D是中点，故DEDF，再作GFAE，GAEF，则GFB，设ADBDm，FDDEn，则cosADB，cos ，显然cosADB，故选B.