1、高考资源网（） 您身边的高考专家不等式选讲12015山东卷改编 不等式|x1|x5|2的解集是_22014广东卷 不等式|x1|x2|5的解集为_32015陕西卷改编 已知关于x的不等式|xa|b的解集为x|2x0，b0，c0，函数f(x)|xa|xb|c的最小值为4，则a2b2c2的最小值是_考点一含绝对值的不等式的解法题型：解答分值：10分难度：中等 热点：解绝对值不等式1 已知函数f(x)|2xa|x1|.(1)当a1时，解不等式f(x)2时，若函数f(x)的图像与x轴所围成的封闭图形的面积不超过54，求a的最大值 考点二不等式的证明题型：解答分值：10分难度：中等 热点：求最值、证明不
2、等式2 2015全国卷 设a，b，c，d均为正数，且abcd，证明：(1)若abcd，则；(2)是|ab|cd|的充要条件听课笔记 小结 证明不等式的基本方法有综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等不等式的性质和重要不等式是证明其他不等式的主要工具，要特别注意柯西不等式的应用式题 (1)已知a，b都是正实数，求证：2 2.(2)已知实数a，b，c，d满足abcd3，a22b23c26d25，求a的取值范围 考点三绝对值不等式与不等式证明的综合题型：解答分值：10分难度：中等热点：与函数、不等式恒成立、最值等的综合考查 3 已知函数f(x)的定义域为R.(1)求实数m的取值范围；(2)若m
3、的最大值为n，当正数a，b满足n时，求7a4b的最小值听课笔记 小结 使用绝对值三角不等式求含有两个绝对值符号的函数的最值时，注意利用恒等变换的方法创造使用重要不等式(均值不等式、柯西不等式等)的条件式题 已知函数f(x)|x|2|x3|.(1)求不等式f(x)10的解集；(2)记f(x)的最大值为m，且a，b，c为正实数，求证：当abcm时，abbccama2b2c2. 不等式选讲 核心知识聚焦1(，4)解析 当x1时，原不等式化为(1x)(5x)2，即42，当x1时原不等式恒成立；当1x5时，原不等式化为(x1)(5x)2，即x5时，原不等式化为(x1)(x5)2，即42，此时不等式不成立
4、故原不等式的解集为(，4)2(，32，)解析 |x1|x2|5的几何意义是数轴上的点到1与2的距离之和大于等于5的实数，所以不等式的解为x3或x2，即不等式的解集为(，32，)33，1解析 由|xa|b，得baxba，则解得46或4解析 当a1时，f(x)3|x1|0，不成立；当a1时，f(x)故f(x)minf(a)a12a5，解得a4.53解析 根据柯西不等式(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)29，所以p2q2r23，即其最小值为3.6.解析 因为f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，当且仅当axb时，等号成立，又a0，b0，所以|ab|ab，所以f(x)
5、的最小值为abc.又已知f(x)的最小值为4，所以abc4.由柯西不等式得(491)(abc)216，即a2b2c2，当且仅当，即a，b，c时等号成立故a2b2c2的最小值为. 考点考向探究考点一含绝对值的不等式的解法 例1解：(1)因为f(x)|2x1|x1|且f(1)f(1)3，所以f(x)3的解集为x|1x1(2)|2xa|x1|x|x1|x|1|0|1|，当且仅当(x1)(x)0且x0时，取等号所以|1|1，解得a4或0.变式题解：(1)当a4时，f(x)0，即2|x2|x4|0，即2|x2|x4|，两边平方得4x216x16x28x16，即x28x0，解得8x0，即不等式f(x)0的
6、解集为8，0(或者分段去绝对值求解)(2)当a2时，f(x)令f(x)0，解得x14a，x2，f(x)的图像与x轴的交点为A(4a，0)，B(，0)，f(x)在(，2上单调递减，在(2，)上单调递增，f(x)minf(2)(a2)记C(2，(a2)f(x)的图像与x轴围成以A，B，C为顶点的三角形，其面积为(4a)|(a2)|，根据已知得54，解得11a7，又a2，所以2cd，得()2()2，因此.(2)(i)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)得.(ii)若，则()2()2，即ab2 cd2 .因为abcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(
7、cd)24cd(cd)2，因此|ab|是|ab|cd|的充要条件变式题解：(1)证明：方法一：(代数换元法)设a2bx，aby，则a2yx，bxy，且x，y为正实数22 2，当且仅当xy时取等号方法二：(配凑法)11222 2，当且仅当a2b(ab)时取等号(2)由柯西不等式得(2b23c26d2)(bcd)2，即2b23c26d2(bcd)2.由条件可得5a2(3a)2，解得1a2，即a的取值范围是1，2考点三绝对值不等式与不等式证明的综合例3解：(1)因为该函数的定义域为R，所以|x1|x3|m0恒成立设函数g(x)|x1|x3|，则m不大于函数g(x)的最小值，又|x1|x3|(x1)(
8、x3)|4，即g(x)的最小值为4，所以m4.(2)由(1)知n4，所以7a4b，当且仅当a2b3ab，即b2a时，等号成立所以7a4b的最小值为.变式题解：(1)f(x)|x|2|x3|当x0时，x610，4x0；当0x3时，3x610，0x0，b0，c0，3abc的最小值为m.(1)求m的值；(2)解关于x的不等式|x1|2xm.解：(1)a，b，cR，3，3abc3abc，而3abc2 6，3abc6，当且仅当abc时，式等号成立；当且仅当3abc时，式等号成立；则当且仅当abc1时，式等号成立，即3abc取得最小值m6.(2)由(1)知m6，则|x1|2x6，即|x1|62x，62xx162x，解得原不等式的解集为(，)高考资源网版权所有，侵权必究！