1、天津南开中学2020届高三第五次月考数学试卷一、选择题1.设集合，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可【详解】，；故选：C【点睛】本题考查了集合的交集和补集的运算，以及绝对值不等式的解法，属基础题.2.“”是“直线与直线垂直”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分非必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先由两直线垂直求出的值，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】因为直线与直线垂直，则，即，解得或；因此由“”能推出“直线与直线垂直”，反之不能推出，所以“”是“直线与直线垂
2、直”的充分非必要条件.故选B【点睛】本题主要考查命题充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及两直线垂直的判定条件即可，属于常考题型.3.已知直线，平面，且，给出下列四个命题：（1）若，则 （2）若，则（3）若，则 （4）若，则其中正确命题的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】根据空间线线、线面和面面位置关系有关定理，对四个命题逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于命题（1），由于，所以，进而，故（1）正确.对于命题（2），如图所示，但与相交，故（2）错误对于（3），如图所示，但与不平行，故（3）错误.对于（4），如图所示，由于，故，根
3、据面面垂直的判定定理可知，故（4）正确.综上所述，正确的命题有个.故选B.【点睛】本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性的判断，考查空间想象能力，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.4.已知圆截直线所得弦长为4，则实数的值是（ )A. 3B. 2C. 1D. 4【答案】B【解析】【详解】圆心为，圆心到直线距离为，故圆的半径为，即，故选.5.已知定义在上的函数满足，且当时为增函数，记，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先比较,0的大小，然后由函数的单调性得出结论【详解】数满足，的图象关于直线对称，又时，递增，所以时，递减，由指数函数性质得，所以，
4、即故选：D【点睛】本题考查函数的对称性、单调性，考查指数函数的性质与对数的运算掌握指数函数的性质与函数的对称性是解题关键6.已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位以后得到一个偶函数，则下列判断正确的是（ ）A. 函数的最小正周期为B. 函数在上单调递增C. 函数的图象关于点对称D. 函数的图象关于直线对称【答案】B【解析】【分析】根据已知求出函数解析式，然后判断各选项是否正确【详解】由已知，向左平移个单位后得，它为偶函数，则，又，所以，A错，时，B正确；，因此是对称轴，不是对称中心，C错；，不是对称轴，D错故选：B【点睛】本题考查由三角函数的图象与性质得函数解析
5、式，考查正弦型函数的周期性、单调性、对称性，掌握正弦函数的性质是解题关键7.函数在的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】试题分析：函数|在2,2上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数故选：D.8.设双曲线的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由方程得渐近线，可得A，B，P的坐标，由已知向量式可得+=1，=，解之可得的值，由=，可得a，c的关系，从而可
6、得离心率【详解】双曲线的渐近线为：y=x，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c，），P（c，），（c，）=（+）c，（），+=1，=，解得=，=，又由=，得=，解得,e=故答案为C【点睛】(1)本题主要考查双曲线的简单几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是根据得到=，=.9.如图，在等腰梯形中，高为，为的中点，为折线段上的动点，设的最小值为，若关于的方程有两不等实根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先以为坐标原点，为轴，建立直角坐标系，设的横坐标为，将用表示分段表示出来，再求最小值，再对有两不
7、等实根变形，可转化为两函数有两个交点，数形结合，求出的取值范围.【详解】解：以为坐标原点，为轴，建立直角坐标系如图所示:则，设的横坐标为，则 当时，在上动，则当时，的最小值；当，时，在上动，则，则，当时，的最小值又，故，又有两不等实根，则在有两不等实根，则有两不等实根，则与，有两个交点.当时，有最小值为，当时，当时，则，的图象如图所示，即方程有两不等实根有：.故选：A【点睛】本题考查了平面向量及应用，方程根的存在性及个数判断，是方程、向量、不等式的综合应用，还考查了分析推理能力，运算能力，分类讨论思想，数形结合思想，难度较大.二、填空题10.已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数_.【答案】【
8、解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解【详解】解：是纯虚数，解得故答案为：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题11.设二项式的展开式中的系数为，常数项为，若，则的值是_.【答案】【解析】【分析】先求二项展开式通项公式，求出，再由，求出.【详解】二项式展开式的通项公式为，化简得令，得展开式中的系数为令，得展开式中常数项为由 可得.又，所以.故答案为：【点睛】本题考查了二项展开式，利用通项公式求出指项项的系数是解决此类问题的关键，属于基础题.12.在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，则的值为_【答案】【解析】试题分析：因,故
9、,由题设可得,即,所以,所以,应填.考点：余弦定理及三角形面积公式的运用【易错点晴】本题的设置将面积与余弦定理有机地结合起来,有效地检测了综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.求解时先借助题设条件和三角形的面积公式及余弦定理探究出三边的关系及,先求出,在运用余弦定理得到.13.若正实数满足，则的最大值为_，此时_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】应用基本不等式化为的形式，然后可得的最大值，用已知条件代入化简后可得最大值利用取最大值的条件可得【详解】，解得，即，当且仅当时等号成立，最大值为2，所以的最大值为由代入已知得，（），从而，故答案为：【点睛】本题考查用基本不等式求最值本
10、题中不是直接应用基本不等式求得最值，而是应用基本不等式把已知等式转化为不等式，然后解不等式得出最值14.设是等比数列的前n项和，an0，若，则的最小值为_.【答案】20【解析】设等比数列an的公比为q，则由an0得q0，Sn0.又S62S3(a4a5a6)(a1a2a3)S3q3S35，则S3，由S30，得q31，则S9S6a7a8a9S3q6，令t，t(0，1)，则tt2，所以当t，即q32时，取得最大值，此时S9S6取得最小值20.故答案为20.点睛：求解数列中的最大项或最小项的一般方法：（1）研究数列的单调性，利用单调性求最值；（2）可以用或；（3）转化为函数最值问题或利用数形结合求解.
11、15.6名同学报考、三所大学，每人只能从这三所大学中选一所大学作为第一志愿学校.假设每位同学选择哪所大学是等可能的.若每所院校至少有一人报名，则共有_种不同的报名方法；若六名同学完全根据个人兴趣自由报考，则每所大学恰好均有两人报考的概率为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】按照各大学报名人数分三类：114,123,222，然后用大学选人的方法求解【详解】按照各大学报名人数分三类一所大学报4人，其余各1人，有方法数种，一所大学报3人，一所2人一所1人，有方法数种，三所学校各2人，种，共有9036090540种，每所大学恰好均有两人报考的概率为故答案为：540；【点睛】本题考查排列组
12、合的应用，解题中涉及到分组分配问题，其中人数为321的分组是组间有区别的分组，人数为222的分组是组间无区别的分组，解题时要注意区别三、解答题16.冠状病毒是目前已知RNA病毒中基因组最大一个病毒家族，可引起人和动物的呼吸系统、消化系统、神经系统等方面的严重疾病.自2019年底开始，一种新型冠状病毒COVID-19开始肆虐全球.人感染了新型冠状病毒后初期常见发热乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹泻等症状，严重者可致呼吸困难、脏器衰竭甚至死亡.筛查时可先通过血常规和肺部CT进行初步判断，若血液中白细胞、淋巴细胞有明显减少或肺部CT有可见明显磨玻璃影等病毒性肺炎感染症状则为疑似病例，可再通过核酸检测
13、做最终判断，现A、B、C、D、E五人均出现了发热咳嗽等症状，且五人发病前14天因求学、出差、旅行、探亲等原因均有疫区旅居史.经过初次血液化验已确定其中有且仅有一人罹患新冠肺炎，其余四人只是普通流感，但因化验报告不慎遗失，现需要再次化验以确定五人中唯一患者的姓名，下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定患者为止；方案乙：混合检验，先任取三人血样混合在一起化验，若混合血液化验结果呈阳性则表明患者在这3人中，然后再逐个化验，直到能确定患者为止；若混合血液化验结果呈阴性，则在另外2人中任选一人进行化验.假设在接受检验的血液样本中每份样本是阳性结果是等可能的，且每份样本的检验结果是阳性还是阴性都
14、是相互独立的.（1）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（2）求的期望.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先分析得到所有可能的值为，所有可能的值为，并求，分别取每个值时概率，再求；（2）列出随机变量的分布列，求出的期望.【详解】（1）所有可能的值为，所有可能的值为,，若乙验两次时，有两种可能：先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：先验三只结果为阴性,再从其它两只中验出阳性(无论第二次试验中有没有,均可以在第二次结束)乙只用两次的概率为.若乙验三次时，只有一种可能：先验三只结果为阳性,再从中逐个验时,恰好二次验中概率为在三次验出时概率为，（2），
15、所以的分布列为23【点睛】本题考查了随机事件的概念计算，独立事件同时发生的概率，离散型随机变量的分布列与期望，还考查了学生的阅读理解能力，属于中档题.17.如图：在直三棱柱中，是棱上一点，是的延长线与的延长线的交点，且平面.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值；（3）若点在线段上，且直线与平面所成的角的正弦值为，求线段的长.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）连结，设，连结，由平面，利用线面平行的性质，可得，由是的中点，证得为的中点；（2）建立空间直角坐标系，用向量法求二面角的正弦值；（3）在第二问的基础上，设，根据直线与平面所成的角的正弦值，求出，求出线段的长【详
16、解】（1）连结，设，连结平面，平面，平面平面，.为正方形的中心，.，.（2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系.则，设平面的法向量为，又则，令，得，设平面的法向量为，又则则，令，得，.二面角的正弦值为.（3）设，其中，.【点睛】本题考查了线面平行的性质，利用空间向量坐标运算解决二面角，线面角问题，还考查了学生空间想象能力，运算能力，属于中档题.18.已知椭圆，以椭圆的顶点为顶点的四边形的面积为，且该四边形内切圆的半径为.（1）求椭圆的方程；（2）设是过椭圆中心的任意一条弦，直线是线段的垂直平分线，若是直线与椭圆的一个交点，求面积的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分
17、析】（1）由已知条件列出的方程组，解得后得椭圆方程；（2）当不在坐标轴上时，设直线的方程为：，设，代入椭圆方程求出交点坐标，得弦长，同理得点坐标得，然后计算三角形面积，利用基本不等式得最小值再求出直线与坐标轴重合时，三角形的面积，比较后可得最小值【详解】（1）椭圆的标准方程为（2）当不在坐标轴上时，设直线的方程为：，设，同理：，（当且仅当，即进“=”成立），当直线与坐标轴生重合时，易得，当且仅当时，面积的最小值为.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交中三角形面积问题，本题中由于直线是过原点的，因此可设出直线方程后代入椭圆方程求出交点坐标，得出弦长否则一般用设而不求的思想方法求解
18、19.已知数列满足：，.（1）设，求证数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：；（3）设，求的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）把已知递推关系代入得的递推关系，同时说明即证，求出后可得；（2）由（1）得，用放缩法，然后可求得和，证明出结论；（3）求出，设，作商，再对化简后的的分子分母作差，可知，当时，单调递减，从而得最大值【详解】（1）为等比数列，且，则（2）（当且仅当时“=”成立）（3），设当时，当时，单调递减，即的最大值为.【点睛】本题考查由数列的递推关系证明等比数列，考查用放缩法估计数列的和证明数列不等式，考查用
19、数列的单调性求数列的最大项在证明与和有关的不等式时，一般先求出和，如果不能直接求和，那么可以采取用放缩法后能够求和，从而证明结论求数列的最大或最小项，可以先研究数列的单调性，数列单调性的判断可用作差法或作商法20.已知函数f（x）=（2a）（x1）2lnx，g（x）= （aR，e为自然对数的底数）（）当a=1时，求f（x）的单调区间；（）若函数f（x）在 上无零点，求a的最小值；（）若对任意给定的x0（0，e，在（0，e上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范围【答案】(1) f（x）的单调减区间为（0，2，单调增区间为2，+）；(2) 函数f（x）在
20、 上无零点，则a的最小值为24ln2；（3）a的范围是.【解析】试题分析：（）把a=1代入到f（x）中求出f（x），令f（x）0求出x的范围即为函数的增区间，令f（x）0求出x的范围即为函数的减区间；（）f（x）0时不可能恒成立，所以要使函数在（0，）上无零点，只需要对x（0，）时f（x）0恒成立，列出不等式解出a大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a的最小值；（）求出g（x），根据导函数的正负得到函数的单调区间，即可求出g（x）的值域，而当a=2时不合题意；当a2时，求出f（x）=0时x的值，根据x（0，e列出关于a的不等式得到，并根据此时的x
21、的值讨论导函数的正负得到函数f（x）的单调区间，根据单调区间得到和，令中不等式的坐标为一个函数，求出此函数的导函数，讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到此函数的最大值，即可解出恒成立和解出得到，联立和即可解出满足题意a的取值范围试题解析：（1）当a=1时，f（x）=x12lnx，则f（x）=1，由f（x）0，得x2；由f（x）0，得0x2故f（x）的单调减区间为（0，2，单调增区间为2，+）；（2）因为f（x）0在区间上恒成立不可能，故要使函数上无零点，只要对任意的，f（x）0恒成立，即对恒成立令，则，再令，则，故m（x）在上为减函数，于是，从而，l（x）0，于是l（x）在
22、上为增函数，所以，故要使恒成立，只要a24ln2，+），综上，若函数f（x）在 上无零点，则a的最小值为24ln2；（3）g（x）=e1xxe1x=（1x）e1x，当x（0，1）时，g（x）0，函数g（x）单调递增；当x（1，e时，g（x）0，函数g（x）单调递减又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=ee1e0，所以，函数g（x）在（0，e上的值域为（0，1当a=2时，不合题意；当a2时，f（x）=，x（0，e当x=时，f（x）=0由题意得，f（x）在（0，e上不单调，故，即此时，当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下：x（0，） （，ef（x）0+f（x）最小值又因为，当x0时，2a0，f（x）+，所以，对任意给定x0（0，e，在（0，e上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，当且仅当a满足下列条件：即令h（a）=，则h，令h（a）=0，得a=0或a=2，故当a（，0）时，h（a）0，函数h（a）单调递增；当时，h（a）0，函数h（a）单调递减所以，对任意，有h（a）h（0）=0，即对任意恒成立由式解得：综合可知，当a的范围是 时，对任意给定的x0（0，e，在（0，e上总存在两个不同的xi（i=1，2），使f（xi）=g（x0）成立