1、专题限时集训(十三) 基础演练夯知识1设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真的是()A若ab，b，则aB若ab，b，则aC若ab，b，则aD若，a，则a2已知a，b，m，n是四条不同的直线，其中a，b是异面直线，则下列命题为真的个数为()若ma，mb，na，nb，则mn；若ma，nb，则m，n是异面直线；若m与a，b都相交，n与a，b都相交，则m，n是异面直线A0 B1C2 D33正四面体ABCD中，AO平面BCD，垂足为O，设M是线段AO上一点，且BMC90，则的值为()A1 B2C. D.4，表示两个不重合的平面，m，n表示两条不重合的直线若m，l，l，则“lm”是“l
2、且l”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5给出下列关于互不相同的直线m，l，n和平面，的四个命题：若m，lA，点Am，则l与m不共面；若m，l是异面直线，l，m，且nl，nm，则n；若l，m，则lm；若l，m，lmA，l，m，则.其中真命题的序号是_ 提升训练强能力6已知直线l平面，直线m平面，给出下列命题：若，则lm；若，则lm；若lm，则；若lm，则.其中真命题的序号是()A BC D7四面体ABCD中，ABAC2 ，DBDC2 ，BC2AD4，则二面角ABCD的大小是()A30 B45C60 D1358在空间四边形ABCD中，ABAD，CBCD，E
3、，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则下列结论正确的是()AE，F，G，H四点不共面 B四边形EFGH是梯形CEGFH D四边形EFGH是矩形9如图Z131，四棱锥P ABCD中，ABCBAD90，BC2AD，PAB和PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为()A90 B75 C60 D45图Z13110如图Z132，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD，则二面角AVDB的余弦值为()A. B.C. D.图Z13211异面直线l与m所成的角为，异面直线l与n所成的角为，则异面直线m与n所成角的范围是()A. B.C
4、. D.12已知边长为1的等边三角形ABC与正方形ABDE有一条公共边AB，二面角CABD的余弦值为，若A，B，C，D，E在同一球面上，则此球的体积为()A2 B. C. D.13已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱AA1与CC1的中点，过直线EF的平面分别与BB1，DD1相交于点M，N.设BMx，x0，1，有以下结论：平面MENF平面BDD1B1；当x时，四边形MENF的面积最小；四边形MENF的周长Lf(x)，x0，1是单调函数；四棱锥C1MENF的体积Vg(x)为常函数其中正确结论的序号是_(将正确结论的序号都填上)14在直三棱柱ABC A1B1C1中，D，E，
5、F分别是BB1，AC，AA1的中点，ACBCAA1，ABAC.(1)求证：CD平面BEF；(2)求平面ACD与平面A1C1D所成二面角的大小图Z13315如图Z134所示，已知四棱锥P ABCD的侧棱PD底面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，ADCD，ABCD，ABADCD2，点M在侧棱PC上(1)求证：BC平面BDP；(2)若侧棱PC与底面ABCD所成角的正切值为，点M为侧棱PC的中点，求异面直线BM与PA所成角的余弦值图Z13416如图Z135所示，已知AB是O的直径，AB2，C是O上一点，且ACBC，PA，PC2 ，PB，E是PC的中点，F是PB的中点(1)求证：EF平面ABC；(2)
6、求证：EF平面PAC；(3)求PC与平面ABC所成角的大小图Z135专题限时集训(十三) 基础演练1C解析 选项A，B中，直线a还可能在平面内；当ab，b时，a，选项C正确；选项D中只有当a垂直于，的交线时，才能有a.2B解析 由于a，b异面，过a上一点A作bb，则a，b确定平面，mb，则mb，又ma，由直线与平面垂直的判定定理得m，同理n，所以mn，正确；中m，n可能相交故只有1个真命题3A解析 如图，连接OB，设正四面体的棱长为1，则OB，MB，AO，故OMAOAM，则1.4C解析 根据直线与平面平行的判定定理知，若lm，则一定有l且l；反之，若l且l，过l分别作平面，使得a，b，根据直线
7、与平面平行的性质定理，可得la，lb，则ab，所以a，再根据直线与平面平行的性质定理，可得am，所以lm.5解析 假设l，m共面，记为，由于m，m，所以m.由于Al，所以A，又A，根据公理3，点A必在平面，的交线m上，与已知Am矛盾，所以假设不成立，即l，m不共面，为真命题；过l，m分别作平面，使得a，b，根据直线与平面平行的性质定理，可得la，mb，且a，b为相交直线，又nl，nm，所以na，nb，所以n，为真命题；分别与两个平行平面平行的两条直线未必平行，故命题为假命题；根据两个平面平行的判定定理知，为真命题故真命题的序号为. 提升训练6D解析 l，l，又m，所以lm，正确；l，l或者l，
8、此时未必有lm，不正确；lm，lm，又m，所以，正确；与可能平行或相交，不正确7B解析 如图，取BC的中点E，连接AE，DE，根据二面角的平面角的定义知，AED即为所求二面角的平面角，计算得AE2 ，AD2，DE2，由余弦定理得cosAED，则AED45.8D解析 如图，显然，四边形EFGH是平行四边形取BD的中点P，连接AP，CP.因为ABAD，CBCD，所以APBD，CPBD，根据直线与平面垂直的判定定理知，BD平面APC，所以BDAC，又FGBD，EFAC，所以FGEF，所以四边形EFGH是矩形9A解析 如图，取BC的中点E，连接AE，ED，BD，PE.设BDAEO，连接PO.设ABa，
9、则OAOBa.因为PBPAPD，O为BD的中点，所以BDPO，所以POa，所以PO2OA2PA2，所以POOA，所以PO平面ABCD，所以POAE.由已知可得四边形ABED为正方形，所以BDAE.所以AE平面PBD，所以AEPB，又CDAE，所以CDPB，即异面直线CD与PB所成的角为90.10.C解析 因为平面VAD平面ABCD，平面VAD平面ABCDAD，又AB在平面ABCD内，ADAB，所以AB平面VAD，所以ABAV.设ABADAV1，易知BVBD.设VD的中点为E，连接AE，BE，则AEVD，BEVD，所以AEB是平面VDA与平面VDB所成二面角的平面角又AE，BE，所以cosAEB
10、.11B解析 如图，在直线l上找一点A分别作直线m，n的平行线m，n，只有当l，m，n三线共面时，m，n所成的角最小，最小值为，根据m，n在空间的不同位置，m，n可以垂直，故异面直线m与n所成角的范围是.12.D解析 如图，取AB的中点F，DE的中点G，连接CF，CG，FG，则CFAB，FGAB，则CFG为二面角CABD的平面角，在CFG中，由余弦定理得，CG，又CF，可得CFG是等腰三角形取FG的中点O，则COFG，所以CO，又OAOBODOE，故A，B，C，D，E在以O为球心，为半径的球面上，该球的体积为.13解析 由正方体的性质可知，EF平面BDD1B1，所以平面MENF平面BDD1B1
11、，所以正确连接MN，因为EF平面BDD1B1，所以EFMN，四边形MENF的对角线EF长度是固定的，所以要使面积最小，只需MN的长度最小即可，所以当M为棱BB1的中点，即x时，MN的长度最小，则四边形MENF的面积最小，所以正确易知四边形MENF是平行四边形，因为EFMN，所以四边形MENF是菱形当x0，时，EM的长度由大变小；当x(，1时，EM的长度由小变大所以函数Lf(x)，x0，1不单调所以错误四棱锥C1MENF可被分割为两个小三棱锥，它们是以C1EF为底面，分别以M，N为顶点的两个小三棱锥因为三角形C1EF的面积是个常数，M，N到平面C1EF的距离是个常数，所以四棱锥C1MENF的体积
12、Vg(x)为常函数，所以正确14解：(1)证明：连接A1C.D，E，F分别是BB1，AC，AA1的中点，A1DBF，A1CEF，A1D平面BEF，A1C平面BEF.在平面A1CD中，A1DA1CA1，平面A1CD平面BEF，而CD平面A1CD，CD平面BEF.(2)设平面ACD与平面A1C1D的交线为l.A1C1AC，A1C1平面ACD，lA1C1.依题意易知A1C1平面BCC1B1，A1C1CD，A1C1C1D，lCD，lC1D，CDC1是平面ACD与平面A1C1D所成二面角的平面角，D是BB1的中点且ACBCAA1，CDC1DBC，而CC12BC，CDC1D，CDC1，即平面ACD与平面A
13、1C1D所成的二面角为.15解：(1)证明：由已知可得BDBC2 ，BD2BC216DC2，故BDBC.又PD平面ABCD，BC平面ABCD，故PDBC，又BDPDD，BC平面BDP.(2)如图，取PD的中点N，并连接AN，MN，易证得BMAN，则PAN即为异面直线BM与PA所成的角又PD底面ABCD，PCD即为PC与底面ABCD所成的角，即tanPCD，PDCD2，即PNPD1，易求得AN，PA2 ，则在PAN中，cosPAN，即异面直线BM与PA所成角的余弦值为.16解：(1)证明：在PBC中，E是PC的中点，F是PB的中点，所以EFBC.又BC平面ABC，EF平面ABC，所以EF平面ABC.(2)证明：因为AB是O的直径，C是O上一点，所以BCAC.在RtABC中，AB2，ACBC，所以ACBC.因为在PCB中，PB，PC2 ，BC，所以PB2PC2BC2，所以BCPC.又PCACC，所以BC平面PAC.由(1)知EFBC，所以EF平面PAC.(3)由(2)知BC平面PAC，又PA平面PAC，所以PABC.因为在PAC中，PC2 ，PA，AC，所以PC2PA2AC2，所以PAAC.又ACBCC，所以PA平面ABC.所以PCA为PC与平面ABC所成的角在RtPAC中，tanPCA，所以PCA，即PC与平面ABC所成角的大小为.