1、广东省肇庆市广宁一中2014-2015学年高二上学期10月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分1（5分）已知全集U=1，2，3，4，5，集合A=1，3，则UA=（）AB1，3C2，4，5D1，2，3，4，52（5分）已知点P（3，4）是角终边上的一点，则tan=（）ABCD3（5分）要用一根铁丝焊接围成一个面积为9的矩形框，不考虑焊接损耗，则需要铁丝的长度至少为（）A24B12C6D34（5分）如图，在边长为2的正方形ABCD内随机取一点P，分别以A、B、C、D为圆心、1为半径作圆，在正方形ABCD内的四段圆弧所围成的封闭区域记为M（阴影部分），则点P取自区
2、域M的概率是（）ABCD5（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y2x的最小值为（）A5B4C3D26（5分）某几何体的三视图（均为直角三角形）及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD17（5分）函数的零点所在的区间为（）ABCD8（5分）已知等差数列an的首项为4，公差为4，其前n项和为Sn，则数列 的前n项和为（）ABCD9（5分）若函数f（x）=kaxax（a0且a1）在（，+）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=loga（x+k）的图象是（）ABCD10（5分）已知正方体ABCDA1B1C1D1，过顶点A1作平面，使得直线AC和BC1平面所成的角都为30，这样的
3、平面可以有（）A1个B2个C3个D4个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11（5分）在ABC中，ABC=45，AC=2，BC=1，则sinBAC的值为12（5分）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录用茎叶图表示（如图），则该赛季发挥更稳定的运动员是（填“甲”或“乙”）13（ 5分）已知函数f（x）=，则f（ln3）=14（5分）如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB=2，则点A到平面MBC的距离等于三.解答或证明题15（12分）已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若，求的值16（13分）对某校2014-2
4、015学年高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取N名学生作为样本，得到这N名学生参加社区服务的次数根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率3，6）10m6，9）np9，12）4q12，1520.05合计N1（1）求出表中N，p及图中a的值；（2）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于9次的学生中任选2人，求至少有一人参加社区服务次数在区间12，15内的概率17（13分）如图所示，AB是O的直径，点C是O圆周上不同于A、B的任意一点，PA平面ABC，点E是线段PB的中点，点M在上，且MOAC（1）求证：BC平面PAC；（2）求证：平面EOM平面PAC18（1
5、4分）如图1，AD是直角ABC斜边上的高，沿AD把ABC的两部分折成直二面角（如图2），DFAC于F（）证明：BFAC；（）设DCF=，AB与平面BDF所成的角为，二面角BFAD的大小为，试用tan，cos表示tan；（）设AB=AC，E为AB的中点，在线段DC上是否存在一点P，使得DE平面PBF？若存在，求的值；若不存在，请说明理由19（14分）已知数列an满足a1=1，（nN*，为常数），且a1，a2+2，a3成等差数列（1）求的值；（2）求数列an的通项公式；（3）设数列bn满足bn=，证明：bn20（ 14分）在直三棱柱（侧棱垂直底面）ABCA1B1C1中，AB=AC=1，BAC=90
6、（）若异面直线A1B与B1C1所成的角为60，求棱柱的高；（）设D是BB1的中点，DC1与平面A1BC1所成的角为，当棱柱的高变化时，求sin的最大值广东省肇庆市广宁一中2014-2015学年高二上学期10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分1（5分）已知全集U=1，2，3，4，5，集合A=1，3，则UA=（）AB1，3C2，4，5D1，2，3，4，5考点：补集及其运算 分析：根据补集的定义直接求解：UA是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合解答：解：根据补集的定义，UA是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合，由已知，有且仅有
7、2，4，5符合元素的条件UA=2，4，5故选：C点评：本题考查了补集的定义以及简单求解，属于简单题2（5分）已知点P（3，4）是角终边上的一点，则tan=（）ABCD考点：任意角的三角函数的定义 专题：三角函数的求值分析：直接利用正切函数的定义，即可得到结论解答：解：点P（3，4）是角终边上的一点，tan=，故选A点评：本题考查正切函数的定义，考查学生的计算能力，属于基础题3（5分）要用一根铁丝焊接围成一个面积为9的矩形框，不考虑焊接损耗，则需要铁丝的长度至少为（）A24B12C6D3考点：基本不等式；函数最值的应用 专题：不等式的解法及应用分析：设矩形的长为x，宽为y，则xy=9，铁丝的长度
8、为2（x+y），利用基本不等式，即可得到结论解答：解：设矩形的长为x，宽为y，则xy=9铁丝的长度为2（x+y）2=12当且仅当x=y=3时，铁丝的长度最小为12，故选B点评：本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题4（5分）如图，在边长为2的正方形ABCD内随机取一点P，分别以A、B、C、D为圆心、1为半径作圆，在正方形ABCD内的四段圆弧所围成的封闭区域记为M（阴影部分），则点P取自区域M的概率是（）ABCD考点：几何概型 专题：概率与统计分析：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件是正方形面积S=22，而阴影部分区域可以看作是由边长为2的正方形面积减去
9、半径为1的圆的面积得到，最后利用几何概型的概率公式解之即可解答：解：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件是矩形面积S=22=4，阴影部分区域的面积是4，由几何概型公式得到P=1，故选C点评：本题主要考查了几何概型，解题的关键求阴影部分的面积，同时考查了计算能力，属于中档题5（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y2x的最小值为（）A5B4C3D2考点：简单线性规划 专题：数形结合；不等式的解法及应用分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案解答：解：由约束条件作出可行域如图，化z=y2x为y=2x
10、+z，由图可知，当直线y=2x+z过B（2，1）时，目标函数有最小值，zmin=122=5故选：A点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题6（5分）某几何体的三视图（均为直角三角形）及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD1考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：先根据三视图判断出几何体的形状及长度关系，然后利用棱锥的体积公式求出几何体的体积解答：解：由三视图知，该几何体为底面为直角边长分别为1和2的直角三角形，一条侧棱垂直底面，几何体的高为1，该几何体的体积为V=Sh=121=故选B点评：解决三视图的题目，关键是由三视图判断出几何体的形
11、状及度量长度，然后利用几何体的面积及体积公式解决7（5分）函数的零点所在的区间为（）ABCD考点：函数零点的判定定理 专题：探究型分析：利用根的存在定理，分别判断，各区间端点处函数值的符合是否相反，从而确定零点所在的区间解答：解：函数在（0，+）上单调递增因为，所以，所以根据根的存在性定理可知函数的零点所在的区间为故选D点评：本题主要考查函数与方程的关系，利用根的存在定理去判断函数零点所在区间，是解决本题的关键8（5分）已知等差数列an的首项为4，公差为4，其前n项和为Sn，则数列 的前n项和为（）ABCD考点：数列的求和；等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：利用等差数列的前n项和即
12、可得出Sn，再利用“裂项求和”即可得出数列 的前n项和解答：解：Sn=4n+=2n2+2n，数列 的前n项和=故选A点评：熟练掌握等差数列的前n项和公式、“裂项求和”是解题的关键9（5分）若函数f（x）=kaxax（a0且a1）在（，+）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=loga（x+k）的图象是（）ABCD考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：由函数f（x）=kaxax，（a0，a1）在（，+）上既是奇函数，又是增函数，则由复合函数的性质，我们可得k=1，a1，由此不难判断函数的图象解答：解：函数f（x）=kaxax，（a0，a1）在（，+）上是奇函数则f（x）+f（x）=0即
13、（k1）（axax）=0则k=1又函数f（x）=kaxax，（a0，a1）在（，+）上是增函数则a1则g（x）=loga（x+k）=loga（x+1）函数图象必过原点，且为增函数故选C点评：若函数在其定义域为为奇函数，则f（x）+f（x）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f（x）f（x）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数减函数=增函数也是解决本题的关键10（5分）已知正方体ABCDA1B1C1D1，过顶点A1作平面，使得直线AC和BC1平面所成的角都为30，这样的平面可以有（）A1个B2个C3个D4个考点：空间中直线与平面之间的位置关系 专题：
14、空间角分析：利用线面角的定义，即可得出结论解答：解：因为AD1BC1，所以过A1在空间作平面，使平面与直线AC和BC1所成的角都等于30，即过点A在空间作平面，使平面与直线AC和AD1所成的角都等于30因为CAD1=60，所以过与平面ACD1垂直的平面满足要求因为CAD1的角平分线与AC和AD1所成的角相等，均为30，过角平分线与平面ACD1垂直的平面，满足要求；故符合条件的平面有2个故选：B点评：本题考查直线与平面所成角的问题，考查空间想象能力和转化能力在解决本题的过程中，转化思想很重要二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11（5分）在ABC中，ABC=45，AC=2，BC=
15、1，则sinBAC的值为考点：正弦定理 专题：解三角形分析：根据题意和由正弦定理得：sinBAC=，把数据代入直接求值即可解答：解：因为在ABC中，ABC=45，AC=2，BC=1，所以由正弦定理得，=，则sinBAC=，故答案为：点评：本题考查正弦定理的应用，熟练掌握正弦定理是解题的关键12（5分）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录用茎叶图表示（如图），则该赛季发挥更稳定的运动员是乙（填“甲”或“乙”）考点：茎叶图 专题：概率与统计分析：由茎叶图，数据的稳定程度与茎叶图形状的关系，茎叶图中各组数据大部分集中在叶峰附近，表示该组数据越稳定，根据数据可直接判断最高分的大小解答：解：
16、由茎叶图可知，乙运动员的得分大部分集中在3040分之间，而甲运动员的得分相对比较散且在低分区的较多，故乙篮球运动员比赛得分更稳定，故答案为：乙点评：本题考查的知识点是茎叶图，解题的关键是根据茎叶图的茎是高位，叶是低位，读出茎叶图中所包含的数据，数据稳定在直观上体现在数据大部分集中在叶峰附近，属于基础题13（5分）已知函数f（x）=，则f（ln3）=e考点：函数的值 专题：函数的性质及应用分析：根据分段函数的表达式直接代入即可得到结论解答：解：1ln32，2ln3+13，由分段函数的表达式可知，f（ln3）=f（1+ln3）=f（ln3e）=，故答案为：e点评：本题主要考查函数值的计算，利用分段
17、函数的表达式直接代入即可，比较基础14（5分）如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB=2，则点A到平面MBC的距离等于考点：点、线、面间的距离计算 专题：空间位置关系与距离分析：首先利用已知条件，过点M作CD的垂线交CD于E点，过E作EFBC于F连接BE，根据BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，利用勾股定理分别求得：ME=，AC=4，BE=，EF=，BM=，进一步设点A到平面MBC的距离为h，利用VABCM=VMABC根据：，解得h的值解答：解：过点M作CD的垂线交CD于E点，过E作EFBC于F连接BE，根据BCD与MCD
18、都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，利用勾股定理解得：ME=，AC=4，BE=，EF=，BM=设点A到平面MBC的距离为h利用VABCM=VMABC则：，解得：h=故答案为：点评：本题考查的知识要点：面面垂直与线面垂直间的转化，勾股定理的应用，锥体的体积的应用，属于基础题型三.解答或证明题15（12分）已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若，求的值考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的求值分析：（1）利用两角和的正弦公式及周期即可得出；（2）利用（1）及已知可得sin，进而得到cos，于是可得解答：解：（1）=所以函数f（x）的最小正周
19、期是2（2）由（1）得，因为，所以即 因为，所以所以=4sincos=点评：本小题主要考查周期的概念，考查三角恒等变换的运算以及化归与转化的数学思想16（13分）对某校2014-2015学年高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取N名学生作为样本，得到这N名学生参加社区服务的次数根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率3，6）10m6，9）np9，12）4q12，1520.05合计N1（1）求出表中N，p及图中a的值；（2）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于9次的学生中任选2人，求至少有一人参加社区服务次数在区间12，15内的概率考点：古典概型及其概率计
20、算公式；频率分布直方图 专题：概率与统计分析：（1）由分组12，15）内的频数是2，频率是0.05，可得，所以N=40再由10+n+4+2=40，解得n=24，由此求得以及的值（2）记“至少有一人参加社区服务次数在区间12，15）内”为事件A这个样本中参加社区服务次数不少于9次的学生共有4+2=6人从这6人中任选2人的所有可能结果，用列举法求得共15种，事件A包含的结果有9种，由此求得事件A发生的概率解答：解：（1）由分组12，15）内的频数是2，频率是0.05，可得，所以N=40因为频数之和为40，所以10+n+4+2=40，解得n=24所以，因为a是对应分组6，9）的频率与组距的商，所以，
21、（2）记“至少有一人参加社区服务次数在区间12，15）内”为事件A这个样本中参加社区服务次数不少于9次的学生共有4+2=6人记在区间9，12）内的4人为a1，a2，a3，a4，在区间12，15）内的2人为b1，b2从这6人中任选2人的所有可能结果有：a1，a2，a1，a3，a1，a4，a1，b1，a1，b2，a2，a3，a2，a4，a2，b1，a2，b2，a3，a4，a3，b1，a3，b2，a4，b1，a4，b2，b1，b2，共15种事件A包含的结果有：a1，b1，a1，b2，a2，b1，a2，b2，a3，b1，a3，b2，a4，b1，a4，b2，b1，b2，共9种所以所求概率为点评：本小题主
22、要考查频数、频率等基本概念，考查古典概型等基础知识，属于基础题17（13分）如图所示，AB是O的直径，点C是O圆周上不同于A、B的任意一点，PA平面ABC，点E是线段PB的中点，点M在上，且MOAC（1）求证：BC平面PAC；（2）求证：平面EOM平面PAC考点：直线与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：（1）由PA平面ABC，证出PABC，由直径所对的圆周角证出BCAC，再利用线面垂直判定定理，即可证出BC平面PAC（2）根据三角形中位线定理证出EOPA，从而得到EO平面PAC，由MOAC证出MO平面PAC，再结合面面平行判定定理即可证出平面EOM平面
23、PAC解答：解：（1）点C是以AB为直径的O圆周上不同于A、B的任意一点，ACB=90，即BCACPA平面ABC，BC平面ABC，PABCAC平面PAC，PA平面PAC，ACPA=A，BC平面PAC（2）点E是线段PB的中点，点O是线段AB的中点，EOPAPA平面PAC，EO平面PAC，EO平面PACMOAC，AC平面PAC，MO平面PAC，MO平面PACEO平面EOM，MO平面EOM，EOMO=O，平面EOM平面PAC点评：本题给出特殊锥体，求证线面垂直并证明面面平行，着重考查直线与平面垂直的判定、平面与平面平行的判定定理等知识，考查空间想象能力，属于中档题18（14分）如图1，AD是直角A
24、BC斜边上的高，沿AD把ABC的两部分折成直二面角（如图2），DFAC于F（）证明：BFAC；（）设DCF=，AB与平面BDF所成的角为，二面角BFAD的大小为，试用tan，cos表示tan；（）设AB=AC，E为AB的中点，在线段DC上是否存在一点P，使得DE平面PBF？若存在，求的值；若不存在，请说明理由考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定 专题：三角函数的求值；空间位置关系与距离；空间角分析：（1）首先利用折叠，把平面问题转化成空间问题，进一步利用面面垂直转化成线面垂直和线线垂直（2）利用三角函数及定义建立等量关系（3）存在性问题的确定，先确定结论，然后进行证明，进一步得出结
25、论解答：证明：（）ADDB，ADDC，BDC是二面角BDAC的平面角又二面角BDAC是直二面角，BDDC，BD平面ADC，BDAC，又DFAC，AC平面BDF，BFAC解：（）由（），利用三角形相似得：，解：（）存在，使DE平面PBF理由：连接CE交BF于点M，连接PM，则PMDEAB=AC，AD=DC，F为AC的中点，而E为AB的中点，M为ABC的重心，即在线段DC上存在一点P，此时，使DE平面PBF故答案为：（1）略（2）tancos=tan（3）存在，使DE平面PBF点评：本题考查的知识要点：面面垂直的性质定理与线面垂直和线线垂直的转化，三角函数只是在三角形中的应用，直二面角的应用，存在
26、性问题的确定与证明方法19（14分）已知数列an满足a1=1，（nN*，为常数），且a1，a2+2，a3成等差数列（1）求的值；（2）求数列an的通项公式；（3）设数列bn满足bn=，证明：bn考点：等差数列的性质；数列与不等式的综合 专题：等差数列与等比数列分析：（1）利用数列递推式，结合a1，a2+2，a3成等差数列，即可求的值；（2）由（nN*），可得（n2），利用叠加法，结合等比数列的求和公式，即可求数列an的通项公式；（3）确定数列bn的通项，可得其单调性，即可证明结论解答：（1）解：因为a1=1，（nN*），所以，因为a1，a2+2，a3成等差数列，所以a1+a3=2（a2+2），
27、即2+6=2（3+2），解得=2（2）解：由（1）得，=2，所以（nN*），所以（n2）当n2时，an=a1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1）=1+22+23+2n=2n+13又a1=1也适合上式，所以数列（，a的通项公式为（nN*）（3）证明：由（2）得，所以因为，当n3时，（n1）2+20，所以当n3时，bn+1bn0，即bn+1bn又，所以（nN*）点评：本小题主要考查等差数列的概念，考查数列求和、单调性等基础知识以及运算求解能力、推理论证能力等20（14分）在直三棱柱（侧棱垂直底面）ABCA1B1C1中，AB=AC=1，BAC=90（）若异面直线A1B与B1C1所成的角为60
28、，求棱柱的高；（）设D是BB1的中点，DC1与平面A1BC1所成的角为，当棱柱的高变化时，求sin的最大值考点：点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角 专题：计算题；空间角分析：（）建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设AA1=h，则可得B、B1、C1、A1各点的坐标，得到向量、的坐标，然后根据异面直线A1B与B1C1所成的角60，结合空间向量夹角公式建立关于h的方程，解之可得h=1，即得该棱柱的高；（II）根据（I）所建立的坐标系，可得，从而有，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出是平面平面A1BC1的一个法向量，再用直线与平面所成角的定义得与夹角的余弦值
29、等于sin，由此建立sin关于h的函数关系式，结合基本不等式求最值即可得到：当且仅当时，sin取到最大值由此即可得到sin的最大值解答：解：分别以AB、AC、AA1为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设AA1=h（h0），则有B（1，0，0），B1（1，0，h），C1（0，1，h），A1（0，0，h），（2分）（）异面直线A1B与B1C1所成的角60，即，得，解得h=1，即得该棱柱的高为1（6分）（）D是BB1的中点，得，可得设平面A1BC1的法向量为，于是，可得，即，可取，（8分）于是而=令，（10分），当且仅当，即时，等号成立，故当时，sin的最大值（12分）点评：本题给出直三棱柱，在已知上下底面为等腰直角三角形且异面直线所成角为60度的情况下求棱柱的高，并讨论直线所平面所成角的正弦值着重考查了线面垂直的判定与性质和利用空间向量研究直线与平面所成角等知识，属于中档题
