1、2.2直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定学习目标1.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理.2.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题知识点直线与平面平行的判定定理思考1如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在内)和平面有何位置关系？答案平行思考2如图，平面外的直线a平行于平面内的直线b.这两条直线共面吗？直线a与平面相交吗？答案由于直线ab，所以两条直线共面直线a与平面不相交梳理线面平行的判定定理 表示定理图形文字符号直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内一条直线
2、平行，则该直线与此平面平行a1若直线l上有两点到平面的距离相等，则l平面.()2若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线平行()3两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行()类型一线面平行判定定理的理解例1如果两直线ab，且a，则b与的位置关系是()A相交 BbCb Db或b考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案D解析由ab，且a，知b或b.反思与感悟用判定定理判定直线a和平面平行时，必须具备三个条件(1)直线a在平面外，即a；(2)直线b在平面内，即b；(3)两直线a，b平行，即ab，这三个条件缺一不可跟踪训练1下列说法正确的是()A若直线l平行于
3、平面内的无数条直线，则lB若直线a在平面外，则aC若直线ab，直线b，则aD若直线ab，b，那么直线a就平行于平面内的无数条直线考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案D解析A错误，直线l还可以在平面内；B错误，直线a在平面外，包括平行和相交；C错误，a还可以与平面相交或在平面内故选D.类型二直线与平面平行的证明例2如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且.求证：MN平面SBC.考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的证明证明连接AN并延长交BC于P，连接SP.因为ADBC，所以，又因为，所以，所以MNSP，又MN平面SBC，SP平面SBC，
4、所以MN平面SBC.引申探究本例中若M，N分别是SA，BD的中点，试证明MN平面SBC.证明连接AC，由平行四边形的性质可知AC必过BD的中点N，在SAC中，M，N分别为SA，AC的中点，所以MNSC，又因为SC平面SBC，MN平面SBC，所以MN平面SBC.反思与感悟利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理跟踪训练2如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点求证：MN平面PAD.考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的
5、证明证明如图，取PD的中点G，连接GA，GN.G，N分别是PDC的边PD，PC的中点，GNDC，GNDC.M为平行四边形ABCD的边AB的中点，AMDC，AMDC，AMGN，AMGN，四边形AMNG为平行四边形，MNAG.又MN平面PAD，AG平面PAD，MN平面PAD.例3在三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE平面A1MC？请证明你的结论考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的证明解如图，取线段AB的中点为M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点由已知得，O为AC1的中点，连接MD，OE，则MD，OE
6、分别为ABC，ACC1的中位线，所以MDAC且MDAC，OEAC且OEAC，因此MDOE且MDOE.连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DEMO.因为直线DE平面A1MC，MO平面A1MC，所以直线DE平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE平面A1MC.引申探究将本例改为在三棱柱ABCA1B1C1中，若M为AB的中点，求证：BC1平面A1CM.证明如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点又因为M是AB的中点，连接MF，所以BC1MF.因为MF平面A1CM，BC1平面A1CM，所以BC1平面A1CM.反思与感悟证明以柱体为背景包装的线面平行证明题，常
7、用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点，常利用取中点去寻找平行线跟踪训练3如图，O是长方体ABCDA1B1C1D1底面对角线AC与BD的交点，求证：B1O平面A1C1D.考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的证明证明如图，连接B1D1交A1C1于点O1，连接DO1，B1BD1D，B1BD1D，四边形B1BDD1为平行四边形，O1B1DO，O1B1DO，O1B1OD为平行四边形，B1OO1D，B1O平面A1C1D，O1D平面A1C1D，B1O平面A1C1D.1有以下四个说法，其中正确的说法是()若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；若直线与平面内的任意一条直线不相交，则直线与平面
8、平行；若直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行；若平面外的直线与平面内的一条直线平行，则直线与平面不相交A B C D考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案D解析中若直线在平面内，虽与平面内的无数条直线平行，但直线与平面不平行，故不正确，正确2若M，N分别是ABC边AB，AC的中点，则MN与过直线BC的平面的位置关系是()AMNBMN与相交或MNCMN或MNDMN或MN与相交或MN考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案C解析若平面是ABC所在的平面，则MN.若MN，则MN.故选C.3.如图，在正方体ABCDABCD中，E，F分别为底面ABCD和底面ABCD
9、的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有()A1个 B2个 C3个 D4个考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案D解析由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面AB，平面BC，平面CD，平面AD均平行故与EF平行的平面有4个4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则A1C1与平面ACE的位置关系为_考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案平行解析A1C1AC，A1C1平面ACE，AC平面ACE，A1C1平面ACE.5如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ACB90，AB2，BC1，AA1.若D是棱CC1的中点，E是棱AB的中
10、点，证明：DE平面AB1C1.考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的证明证明取AB1的中点H，连接EH，HC1.E为棱AB的中点，EHBB1且EHBB1.又D为棱CC1的中点，DC1CC1，又BB1CC1且BB1CC1，EHDC1且EHDC1，四边形EHC1D为平行四边形，DEHC1.又HC1平面AB1C1，DE平面AB1C1，DE平面AB1C1.1判断或证明线面平行的常用方法(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)(2)判定定理法：a，b，aba.(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内2证明线线平行的常用方法(1)利用三角形、梯形中位线的性质(2)利用平行四边形的
11、性质(3)利用平行线分线段成比例定理.一、选择题1能保证直线a与平面平行的条件是()Ab，abBb，c，ab，acCb，A，Ba，C，Db，且ACBDDa，b，ab考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案D2若直线l不平行于平面，且l，则()A内的所有直线与l异面B内不存在与l平行的直线C内存在唯一的直线与l平行D内的直线与l都相交考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案B解析若在平面内存在与直线l平行的直线，因l，故l，这与题意矛盾3过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面()A不可能作出 B只能作出一个C能作出无数个 D上述三种情况都存在考点直线与平面平行的判
12、定题点直线与平面平行的判定答案D解析设直线外两点为A，B，若直线ABl，则过A，B可作无数个平面与l平行；若直线AB与l异面，则只能作一个平面与l平行；若直线AB与l相交，则过A，B没有平面与l平行4.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：OMPD；OM平面PCD；OM平面PDA；OM平面PBA；OM平面PBC.其中正确的个数为()A1 B2 C3 D4考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案C解析由题意知，OM是BPD的中位线，OMPD，故正确；PD平面PCD，OM平面PCD，OM平面PCD，故正确；同理可得：OM平面PDA，
13、故正确；OM与平面PBA和平面PBC都相交，故，不正确故共有3个结论正确5直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面()A有且只有一个B有无数多个C有且只有一个或不存在D不存在考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案A解析在a上任取一点A，则过A与b平行的直线有且只有一条，设为b，又abA，a与b确定一个平面，即为过a与b平行的平面，可知它是唯一的6下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形的是()A B C D考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案B解析对于，如图，连接BC交PN于点D，连接MD.
14、由MDAB，AB平面MNP，MD平面MNP，得AB平面MNP.对于，由ABNP，AB平面MNP，NP平面MNP，可得AB平面MNP.7如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若，则与平面EFGH平行的直线有()A0条 B1条C2条 D3条考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案C解析，EFAB.又EF平面EFGH，AB平面EFGH，AB平面EFGH.同理，由，可证CD平面EFGH.与平面EFGH平行的直线有2条8如图，已知三棱柱ABCA1B1C1中，E是BC的中点，D是AA1上的动点，且m，若AE平面DB1C，则m的值为()A. B1 C. D2考点直线与平面平行的判定
15、题点直线与平面平行的判定答案B解析如图，取CB1的中点G，连接GE，DG，当m1时，ADGEBB1且ADGE，四边形ADGE为平行四边形，则AEDG，又AE平面DB1C，DG平面DB1C，可得AE平面DB1C.二、填空题9已知l，m是两条直线，是平面，若要得到“l”，则需要在条件“m，lm”中另外添加的一个条件是_考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案l10三棱锥SABC中，G为ABC的重心，E在棱SA上，且AE2ES，则EG与平面SBC的关系为_考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案平行解析如图，延长AG交BC于F，连接SF，则由G为ABC的重心知AGGF2，又A
16、EES2，EGSF，又SF平面SBC，EG平面SBC，EG平面SBC.11如图，在五面体FEABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是_考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案平行解析M，N分别是BF，BC的中点，MNCF.又四边形CDEF为矩形，CFDE，MNDE.又MN平面ADE，DE平面ADE，MN平面ADE.三、解答题12(2018届绍兴模拟)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC2，点M，N分别为A1C1，AB1的中点(1)证明：MN平面BB1C1C；(2)若CMMN，求三棱锥MNAC的体积考点直线与
17、平面平行的判定题点直线与平面平行的证明(1)证明连接A1B，BC1，点M，N分别为A1C1，AB1的中点，所以MN为A1BC1的一条中位线，所以MNBC1，又MN平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，所以MN平面BB1C1C.(2)解设点D，E分别为AB，AA1的中点，AA1a，连接ND，CD，则CM2a21，MN21，CN25，由CMMN，得CM2MN2CN2，解得a，又NE平面AA1C1C，NE1，V三棱锥MNACV三棱锥NAMCSAMCNE21.所以三棱锥MNAC的体积为.13如图，在三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点求证：BD平面FGH.考点直线与平面平
18、行的判定题点直线与平面平行的证明证明如图，连接DG，CD，设CDGFO，连接OH.在三棱台DEFABC中，AB2DE，G为AC的中点，可得DFGC且DFGC，所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点，又H为BC的中点，所以OHBD.又OH平面FGH，BD平面FGH，所以BD平面FGH.四、探究与拓展14如图，在四面体ABCD中，M，N分别是ACD，BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案平面ABC，平面ABD解析连接BN，AM，并延长交CD于点E.由题意易得MNAB，MN平面ABC，AB平面ABC，AB平面ABD，MN平面ABC，MN平面ABD.15.如图，四边形ABCD为正方形，ABE为等腰直角三角形，ABAE，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM平面BCE.若存在，指出点M的位置，并证明你的结论考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的证明解如图，存在点M，当点M是线段AE的中点时，PM平面BCE.取BE的中点N，连接CN，MN，MNAB且MNAB，又PCAB且PCAB，所以四边形MNCP为平行四边形，所以PMCN.因为PM平面BCE，CN平面BCE，所以PM平面BCE.
